完美数教学文档
完美数(完全数)
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本组组员： 曹慧婷 邬皓婷 秦苑嘉
乌世杰
完全数
本组组员： 曹慧婷 邬皓婷 秦苑嘉
乌世杰
什么是完全数？
完全数பைடு நூலகம்特征
完全数都是以6或8结尾的
本组组员为大家找到的8个完全数
6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128
完全数的历史
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全 数 毕达哥拉斯。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽， 因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不过，或许印度人和希伯来 人早就知道它们的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时 所用的基本数字，他们指出，上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕 地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝 造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天 之内把一切事物都造好了。 完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很 久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了 地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成 员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样， 正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的 数论、坏的东西 却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。 但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位 数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾 巴上，接近一万，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远 是偶数。第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多， 直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。 电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言： “能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。” 时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成 为数论中的一大难题。目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需 要满足一系列苛刻的条件。
第七节 费马数、梅森数、完全数
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定义1.18 当自然数 等于它的某些真约数之和，则称 为 当自然数n等于它的某些真约数之和 则称n为 等于它的某些真约数之和， 定义 半完全数。 的真约数有2, 半完全数。如12的真约数有 3, 4, 6，而12=2+4+6，故 的真约数有 ， ， 12是半完全数 是半完全数. 是半完全数
内容小结
1. 费马数及其性质； 2. 梅森数及其性质； 3. 完全数及其性质
作业
P111 1； 5(1),(3); 7 ；
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
二、梅森数
定义1.12 当p是质数时，形状是 p=2p-1的数叫梅森 是质数时， 定义 是质数时 形状是M 的数叫梅森 数。 到目前为止已经找到了37个梅森质数 个梅森质数. 注：到目前为止已经找到了 个梅森质数 求证： 为质数时， 性质 求证：当m ≠ n，m, n为质数时，(Mm, Mn)=1. ， 为质数时
定义1.14 k, n∈ N+, 若σ(n)=kn, 则称 为k倍完全数 用 则称n为 倍完全数 倍完全数, 定义 ∈ pk表示k倍完全数 表示 倍完全数. 倍完全数 如：n=2178540 =22×32×5× 72×13 ×19, σ(n)=4n, × 所以2178540是p4数。 所以 是 定义1.15 k, n∈ N+, 若对于一切 对于一切k<n都有 σ (n) > σ (k ) , 定义 ∈ 都有 n k 则称n为过剩数 为过剩数. 就是过剩数. 则称 为过剩数 如4就是过剩数 就是过剩数 定义1.16 k, n∈ N+, 若对所有的 ≤n都是 的某些不同 若对所有的 所有的k≤ 都是 都是n的某些不同 定义 ∈ 真约数之和，称n为实用数， 如：6就是实用数。 真约数之和， 为实用数， 就是实用数。 为实用数 就是实用数 定义1.17 当n= σ(n)-n-1时，称n为几乎完全数。 为几乎完全数。 定义 时 为几数。 定义1.13 当a∈ N+，若σ(a)=2a, 则称 为完全数。 ∈ 定义 定理1.7.1 正整数 是偶完全数的充分必要条件是 正整数a是偶完全数的充分必要条件是 定理 a=2n(2n+1-1)(n≥1), 且 2n+1-1是质数。 是质数。 ≥ 是质数
小学数学完美教案模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握本节课的知识点，提高学生的数学思维能力。
2. 过程与方法：通过小组合作、探究活动，培养学生自主学习、合作交流的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握本节课的知识点，如加减法、乘除法等。
2. 教学难点：灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学思维能力。
三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、实物教具、课堂练习题等。
2. 学生准备：预习本节课内容，做好课堂笔记。
四、教学过程（一）导入新课1. 教师通过生活中的实例，引导学生回顾已学过的数学知识，激发学生学习新知识的兴趣。
2. 提问：同学们，你们在日常生活中都遇到过哪些数学问题？又是如何解决的？（二）新课讲授1. 教师讲解本节课的知识点，如加减法、乘除法等，结合课件和实物教具，让学生直观地理解知识。
2. 学生跟随教师一起学习，做好课堂笔记。
3. 教师引导学生进行小组合作，共同探讨本节课的知识点，提高学生的合作交流能力。
（三）课堂练习1. 教师布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
2. 学生独立完成练习题，教师巡视指导，解答学生疑问。
（四）探究活动1. 教师提出问题，引导学生进行探究活动，如：如何用加减法计算两位数相加？2. 学生分组讨论，分享探究结果，教师点评并总结。
（五）总结与反思1. 教师对本节课的知识点进行总结，强调重点和难点。
2. 学生分享自己的学习心得，反思自己在学习过程中的收获与不足。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作交流能力等。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度。
3. 课后反馈：通过问卷调查、访谈等方式，了解学生对本节课的满意度和建议。
六、板书设计1. 标题：小学数学XX课2. 内容：本节课的知识点、重点、难点、课堂练习题、探究活动等。
七、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，总结经验教训。
完美数
完美数6的因数有:1﹑2﹑3﹑6,而1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 完美数28的因数有1、2、4、7、14、28,而 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28=1 完美数496的因数有1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,而 1/2 + 1/4 +1/8 +……+ 1/248 +1/496 = 1
五年级下册第14页人教“你知道吗”
执教：南郊中心小学张红艳
古希腊数学家毕达哥拉斯,2500 多年前的人类数学学科的创始人之 一,他将数学与艺术结合在一勾股定理便是 他的重要发现.
任何一个自然数的因数中都有1和它本身, 我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真 因数. 一个所有真因数的和正好等于这个数,我们 把这个数叫做完美数或者完全数.
完美数有: 6
28 496 8128
130816（六位数） 2096128（七位数） 33550336(八位数） 8589869056（十位数) 137438691328(十二位数) 2305843008139952128（十九位数)
任何一个完美数都可以写成几个连续自然数的和吗?
6=1+2+3 28= 1+2+3+4+5+6+7 496= 1+2+3+……+29+30+31 8128= 1+2+3+......+125+126+127 ……
……
每个完美数的因数(除1以外)的倒数之和等于1.
28=13+33…… 496=13+33+53+73 8128=13+33+53+……+133+153
初中完全数的教案
初中完全数的教案教学目标：1. 让学生了解完全数的概念，理解完全数的特点。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的团队合作意识和交流表达能力。
教学重点：1. 完全数的概念及特点。
2. 运用完全数解决实际问题。
教学难点：1. 完全数的概念的理解。
2. 运用完全数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备完全数的定义及例子。
2. 学生准备笔记本和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过数列的形式引导学生发现完全数的特点。
2. 学生观察数列，发现完全数的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师给出完全数的定义，解释完全数的概念。
2. 教师通过举例说明完全数的特点。
3. 学生跟随教师一起探讨完全数的特点，理解完全数的概念。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出练习题，学生独立完成。
2. 学生互相交流解题思路，教师进行讲解和指导。
四、实际问题解决（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，学生分组讨论如何运用完全数解决。
2. 各组学生给出解题方案，教师进行评价和讲解。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生总结完全数的特点及运用方法。
2. 学生分享学习收获和感受。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置作业，要求学生巩固完全数的概念和运用方法。
教学反思：本节课通过数列的形式引导学生发现完全数的特点，通过举例和练习让学生理解完全数的概念。
在实际问题解决环节，学生分组讨论，培养了团队合作意识和交流表达能力。
整体教学过程顺利，学生对完全数的概念有了较好的理解，能够运用完全数解决实际问题。
但在课堂练习环节，部分学生对完全数的特点掌握不够熟练，需要在课后加强练习和复习。
在今后的教学中，要注意引导学生多角度思考问题，提高学生的解题能力。
五年级：完美的数和谐的数
五年级:完美的数·和谐的数这是古希腊的一个神话故事。
战神瓦尔骑在高头大马上，指挥着部队操练。
队形按照瓦尔的命令变换着，既整齐，又威武。
当各队都是6人的4个分队，排成4种不同的方阵（允许排成一行或一列）时，瓦尔发现：每个方阵最前排的人数的和1＋2＋3＋6＝12，恰恰是每队人数6的2倍。
瓦尔又命令：各队都是28人的6个分队，排成6种不同的方阵，奇迹再次出现：每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋7＋14＋28＝56，恰恰也是28的2倍。
战神为他的杰作振发。
可是，除了6和28以外，瓦尔再也没有找到一个类似的数。
例如，每队20人的分队可以排成6种不同的方阵，每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋5＋10＋20＝42，而不是20的2倍。
显然，在上面的排列中，每个方阵最前排的人数都一定是这个方阵总人数的约数。
并且，方阵的人数有几个约数，就可以排成几种不同的方阵。
这就是说，6和28的美妙之处在于：它的所有约数的和，正好等于本身的2倍。
或者说，它的所有真因子（除了本身以外的约数）之和恰好等于它本身。
数学家们给这种数起了一个好听的名字：完全数。
6和28是完全数中最小的两个。
还有没有其他的完全数呢？数学家们发现，在自然数里，完全数非常稀少，在1到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。
公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了计算完全数的公式：如果2n-1是一个质数，那么由公式N=2n-1（2n－1）算出的数一定是一个完全数。
例如，当n＝2时，22－1=3是一个质数，于是N2＝22-1×（22-1）＝2×3＝6是一个完全数。
当n＝3时，N3＝28是一个完全数。
当n＝5时，N5＝496也是一个完全数。
尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。
完全数教学设计
完全数教学设计主题：完全数年级：中学数学-高中目标：学生可以理解完全数的定义，识别完全数，掌握寻找完全数的方法，探究与完全数相关的数学问题。
教学内容：1. 什么是完全数？- 完全数的定义是：一个数的因子（除了本身）之和等于它本身。
- 例如，6是一个完全数，因为6的因子是1,2和3，且1+2+3=6。
2. 如何找到完全数？- 推荐几种产生完全数的方法：- 通过数学公式：2^(n-1)（2^n-1），其中n是质数。
- 通过试除法：从1到该数的一半遍历，将该数能够整除的数相加，如果等于该数本身，则该数就是完全数。
- 介绍并比较这两种方法。
3. 完全数的一些性质和特点。
- 完全数只有几个，其中最小的两个是6和28。
- 完全数与素数的联系：完全数都是偶数，且2^(p-1)(2^p - 1)形式的完全数的p必须是质数。
- 完全数的组成：每个完全数都可以表示为一些素数的乘积。
4. 完全数与其他数学领域的联系。
- 完全数与三角形数、多边形数之间有什么关系？- 完全数与欧几里得算法、完全图之间有什么联系？教学活动：1. 若要使用Venn图或表格，线上或线下完成练习2中的方法比较。
2. 要求学生使用百度或库搜网等搜索引擎进行研究性学习，然后自由报告以上界面构成的活动。
3. 基于寻找完全数的方法，现场制作“完全数地图”/“完全数跳棋”等类型的游戏。
4. 在小组中展示完全数与其他数学领域的连接，并将研究结果展示给全班同学。
教学评估：1. 研究性学习：学生在课堂上展示所发现的完全数的性质和特点，并在白板上进行比较和总结。
2. 游戏设计：学生参与了寻找完全数的方法设计类比，制作了各种类型的游戏，并向全班同学展示了他们的工作。
3. 模拟面试：设计让学生相互面试，并为相应的角色提供问题，以便演示每个学生的知识。
4. 课程的跟进：找学生解决难点；响应他们的问题和反馈，以便更好地进行下一个主题的学习。
完美数的知识点总结
完美数的知识点总结6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248完美数一直以来都是数学研究的一个重要课题，它们具有很多有趣的特性和性质。
在本文中，我们将对完美数的相关知识进行总结和介绍。
完美数的历史完美数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家尤凯里德（Euclid）认为完美数是神圣和完美的，并在他的《几何原本》中对完美数进行了讨论。
在古希腊时期，古罗马数学家提奥菲卢斯（Theophylus）也对完美数进行了相关研究。
随着数学的发展，完美数的研究逐渐深入，一些著名的数学家如费马、欧几里得、欧拉等人都对完美数进行了研究。
其中，欧拉在18世纪对完美数的性质做出了重要的贡献，他提出了许多关于完美数的猜想和定理。
直到今天，完美数仍然是数学研究的一个重要课题，许多数学家致力于发现新的完美数以及完美数之间的关系和性质。
完美数的性质完美数有许多有趣的性质，下面我们将逐一介绍。
完美数的定义一个正整数如果等于它的所有真因子之和，则称其为完美数。
其中，真因子是除了自身以外的所有正因子。
例如，6的真因子为1、2、3，它们的和为6，所以6是一个完美数。
完美数的表述完美数可以用数学符号表示为：Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中n是一个素数。
这个公式是由欧拉提出的，其中2^(n-1)是一个偶数，(2^n - 1)是一个素数。
因此，所有的完美数都可以表示为一个偶数乘以一个素数。
完美数的特征从定义和表述可以看出，完美数具有以下几个特征：1. 完美数必须是偶数。
因为假设P是一个奇数完美数，那么它的所有真因子中至少包含1和P本身，但P本身是奇数，所以P的真因子之和必定是一个偶数，这与完美数的定义相矛盾。
2. 完美数的素因子分解中一定有重复。
由表述可以得知，Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中2^(n-1)和(2^n - 1)都是Pn素因子分解中的一部分，由于n是素数，所以2^(n-1)和(2^n - 1)构成一对相异素数。
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完美数
无论在外在的物质世界里，还是在内在的精神世界里，都不能没有数学。
最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯；而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。
其中举世闻名的“完美数”(perfect number，又称“完全数”和“完满数”)就是他们首先发现的。
所谓完美数，就是“除其本身以外全部因数之和等于本身”的数。
例如，前两个完美数分别是：6，28。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
”不过，有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。
有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字；他们指出，创造世界花了6天，28天则是月亮绕地球一周的天数。
这使得完美数充满了神秘的色彩，所以有些书籍称之为“上帝之数”。
法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。
”可见这种数既优美又稀少。
由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力，2500多年来一直吸引着众多的数学家和业余数学爱好者对它进行探究。
迄今为止，人类仅发现47个完美数，而且都是偶完美数。
至于偶完美数是否无穷和有没有奇完美数，至今没有定论；这已成为数学中的著名难题。
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完美数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)
是完美数。
瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完美数都有这种形式。
因此，人们只要找到2^P-1型素数，就可以发现偶完美数了。
数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。
梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了
2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时已知的最大素数。
第8个偶完美数——2^30(2^31-1)也由此而来。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”
值得提出的是：在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。
此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数
分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾向全世界宣布了为通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目来寻找梅森素数而设立的奖金。
它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。
后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。
当然，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。
美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯通过参加GIMPS项目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1；该数也是目前已知的最大素数。
这个素数有12978189位；如果用普通字号(4号)将它连续打下来，其长度可超过50公里！人类也因此发现了迄今已知的最大偶完美数
——2^43112608(2^43112609-1)。
史密斯的成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。
前不久，他获得了EFF颁布的10万美元大奖。
目前，世界上有180多个国家和地区超过25万人参加了GIMPS项目，并动用了近50万台计算机联网来寻找新的梅森素数。
该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置计算资源来获得相当于超级计算机的运算能力。
著名的《自然》杂志说：GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情，而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。
梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。
它是发现已知最大偶完美数的唯一途径；其探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用；另外它还可用来测试计算机硬件运算是否正确。
由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。