完美数
完美数教学文档
完美数无论在外在的物质世界里，还是在内在的精神世界里，都不能没有数学。
最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯；而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。
其中举世闻名的“完美数”(perfect number，又称“完全数”和“完满数”)就是他们首先发现的。
所谓完美数，就是“除其本身以外全部因数之和等于本身”的数。
例如，前两个完美数分别是：6，28。
毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
”不过，有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。
有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字；他们指出，创造世界花了6天，28天则是月亮绕地球一周的天数。
这使得完美数充满了神秘的色彩，所以有些书籍称之为“上帝之数”。
法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。
”可见这种数既优美又稀少。
由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力，2500多年来一直吸引着众多的数学家和业余数学爱好者对它进行探究。
迄今为止，人类仅发现47个完美数，而且都是偶完美数。
至于偶完美数是否无穷和有没有奇完美数，至今没有定论；这已成为数学中的著名难题。
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完美数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。
瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完美数都有这种形式。
因此，人们只要找到2^P-1型素数，就可以发现偶完美数了。
数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。
梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
完美数与梅森素数
完美数与梅森素数作者：蔡天新来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第11期上期，我们讲了公元前5世纪毕达哥拉斯所定义的完美数、友好数及其现状。
完美数等于自身的真因数之和，其中最小的是6，因为有6=1+2+3。
第二小的完美数是28，因为28=1+2+4+7+14。
自诞生以来。
完美数就具有一种诱人的魔力，吸引了众多的数学家和业余数学爱好者。
他们像淘金客一样“趋之若鹜”，永不停歇地去寻找完美数。
我们也曾提到，1747年，客居柏林的瑞士大数学家欧拉证明了，一个偶数n要成为完美数当且仅当它是下列形式的数：n=2p-1（2p-1），①其中p和2p-1-1均为素数。
可是，在这中间约有2300年。
这中间数学家和业余数学爱好者们都去干了些什么呢？难道什么也没做吗？事实上，公元前3世纪问世的欧几里得的《几何原本》中便提到并证明了公式①是偶完美数的充分的条件。
但这个充分条件很可能是由柏拉图的弟子阿契塔首先发现的，他生活在公元前4世纪。
相传，风筝也是他发明的。
当p取2和3时，分别对应于6和28这两个完美数；而当p取5和7时，则分别对应于496和8128。
对于比较小的p，2p-1-1是素数不难验证。
但并非总是如此。
大约在1000年，巴士拉（今伊拉克）出生的阿拉伯数学家海桑猜测，①也是偶完美数的必要的条件。
可他当时无法给出证明。
这不禁让我们想起了非欧几何学的那些最早的探索者，他们也是几位阿拉伯和波斯的数学家。
海桑还是中世纪的最重要的一位物理学家，尤以光学方面的贡献最大。
古希腊的希罗和托勒密认为，人能看见物体是靠眼睛发射出的光线被物体反射的结果。
海桑对此予以纠正，他认为光是由太阳或其他发光体发射出来的，然后通过被看见的物体反射人人眼。
巴士拉位于巴比伦河的人海处，它是伊拉克战争期间美英联军首先攻占的城市。
海桑生前被尊称为“巴士拉先生”，但他的学术生涯主要是在开罗度过的。
他的生活并不如意。
一次，他为了惹人注意。
梅森素数——精选推荐
梅森素数如果⼀个数字的所有真因⼦之和等于⾃⾝，则称它为“完全数”或“完美数”例如：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14早在公元前300多年，欧⼏⾥得就给出了判定完全数的定理：若 2^n - 1 是素数，则 2^(n-1) * (2^n - 1) 是完全数。
其中 ^ 表⽰“乘⽅”运算，乘⽅的优先级⽐四则运算⾼，例如：2^3 = 8， 2 * 2^3 = 16, 2^3-1 = 7但⼈们很快发现，当n很⼤时，判定⼀个⼤数是否为素数到今天也依然是个难题。
因为法国数学家梅森的猜想，我们习惯上把形如：2^n - 1 的素数称为：梅森素数。
截⽌2013年2⽉，⼀共只找到了48个梅森素数。
新近找到的梅森素数太⼤，以⾄于难于⽤⼀般的编程思路窥其全貌，所以我们把任务的难度降低⼀点：1963年，美国伊利诺伊⼤学为了纪念他们找到的第23个梅森素数 n=11213，在每个寄出的信封上都印上了“2^11213-1 是素数”的字样。
2^11213 - 1 这个数字已经很⼤(有3000多位)，请你编程求出这个素数的⼗进制表⽰的最后100位。
答案是⼀个长度为100的数字串，请通过浏览器直接提交该数字。
注意：不要提交解答过程，或其它辅助说明类的内容。
答案BigInteger快速幂。
代码：import java.math.BigInteger;public class Main {public static void main(String[] args) {BigInteger a = BigInteger.ONE;BigInteger b = BigInteger.ONE;BigInteger d = new BigInteger("2");for(int i = 0;i < 100;i ++) {a = a.multiply(BigInteger.TEN);}int c = 11213;while(c != 0) {if(c % 2 == 1) {b = b.multiply(d).mod(a);}d = d.multiply(d).mod(a);c /= 2;}b = b.subtract(BigInteger.ONE);System.out.println(b);}}。
数学赏金猎人题目
数学赏金猎人题目
数学赏金猎人题目
数学赏金猎人是一个寻找和解决数学难题的人。
他们专注于研究数学，发现新的数学定理和解决复杂的数学问题。
为了挑战他们的才智，我们为数学赏金猎人们准备了一道难题。
以下是题目：
题目：寻找完美数
一个完美数是指除了自己本身之外的所有真因子之和等于此数本身
的正整数。
例如，6的真因子是1，2，3，而它们的和为6，所以6
是一个完美数。
现在，寻找一个更大的完美数。
你的任务是找出一个完美数，它的真因子之和大于本身。
提示：
1. 你可以使用程序来辅助你寻找完美数。
2. 在编写程序时，你可以先计算一个数的真因子之和，然后将其与
该数本身进行比较。
解决这个问题可能需要一定的数学知识和编程技巧。
你可能需要使用
循环和条件语句来遍历可能的数，并计算其真因子之和。
你还可以使用数学定理来辅助你的计算。
一旦你找到一个满足条件的完美数，你可以把它提交给我们，并有机会获得奖金。
数学赏金猎人们，快来挑战这个题目吧！展示你们的数学才华和解决问题的能力，赢取丰厚的奖金！我们期待着你们的答案！。
几种有趣的数
几种有趣的数几种有趣的数———完美数、回文数、相亲数、金兰数、自幂数江苏省泗阳县李口中学沈正中1. 完美数某数的所有的真约数（真约数：列出某数的所有约数，去掉该数本身——最大约数，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完美数，又称完全数或完备数。
对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数（又称作缺数）。
类似地有1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, ……等都是亏数。
对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数（又称作又称丰数或过剩数或富裕数）。
类似地有12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ……等都是盈数。
以上列出的盈数都是偶数。
最小的奇数盈数是945，奇数盈数较少。
所以，完美数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。
例如：第一个完美数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。
第二个完美数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
第三个完美数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248 =496。
后面的完美数还有8128、33550336, ……等等。
古希腊人非常重视完美数。
毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。
也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数。
前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。
完美数的知识点总结
完美数的知识点总结6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248完美数一直以来都是数学研究的一个重要课题，它们具有很多有趣的特性和性质。
在本文中，我们将对完美数的相关知识进行总结和介绍。
完美数的历史完美数的概念最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家尤凯里德（Euclid）认为完美数是神圣和完美的，并在他的《几何原本》中对完美数进行了讨论。
在古希腊时期，古罗马数学家提奥菲卢斯（Theophylus）也对完美数进行了相关研究。
随着数学的发展，完美数的研究逐渐深入，一些著名的数学家如费马、欧几里得、欧拉等人都对完美数进行了研究。
其中，欧拉在18世纪对完美数的性质做出了重要的贡献，他提出了许多关于完美数的猜想和定理。
直到今天，完美数仍然是数学研究的一个重要课题，许多数学家致力于发现新的完美数以及完美数之间的关系和性质。
完美数的性质完美数有许多有趣的性质，下面我们将逐一介绍。
完美数的定义一个正整数如果等于它的所有真因子之和，则称其为完美数。
其中，真因子是除了自身以外的所有正因子。
例如，6的真因子为1、2、3，它们的和为6，所以6是一个完美数。
完美数的表述完美数可以用数学符号表示为：Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中n是一个素数。
这个公式是由欧拉提出的，其中2^(n-1)是一个偶数，(2^n - 1)是一个素数。
因此，所有的完美数都可以表示为一个偶数乘以一个素数。
完美数的特征从定义和表述可以看出，完美数具有以下几个特征：1. 完美数必须是偶数。
因为假设P是一个奇数完美数，那么它的所有真因子中至少包含1和P本身，但P本身是奇数，所以P的真因子之和必定是一个偶数，这与完美数的定义相矛盾。
2. 完美数的素因子分解中一定有重复。
由表述可以得知，Pn = 2^(n-1) * (2^n - 1)，其中2^(n-1)和(2^n - 1)都是Pn素因子分解中的一部分，由于n是素数，所以2^(n-1)和(2^n - 1)构成一对相异素数。
生活中有趣的数学知识
生活中有趣的数学知识生活中有许多有趣的数学知识，它们不仅能帮助我们更好地理解数学的奥妙，还能让我们在生活中应用数学思维解决问题。
下面就来介绍一些生活中有趣的数学知识。
1. 数学之美：斐波那契数列斐波那契数列是一个非常有趣的数列。
它的定义是，第一个和第二个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
数列的前几个数是1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列在自然界和艺术中都有广泛的应用。
例如，螺旋形状的壳、树叶的排列方式，甚至是音乐的节奏都可以和斐波那契数列相关联。
2. 数学之趣：完美的数在数学中，完美数是指一个数恰好等于它的因子（不包括它本身）之和。
例如，6是一个完美数，因为它的因子是1、2、3，而它们的和也是6。
目前已知的完美数只有少数几个，其中最小的是6，然后是28、496和8128。
完美数的研究不仅仅是一种数学上的兴趣，还与密码学和计算机科学等领域有着密切的关联。
3. 数学之妙：黄金分割比例黄金分割比例是一个美学上非常重要的比例。
它的定义是，将一条线段分成两部分，较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比例约等于1.618，常用希腊字母φ表示。
黄金分割比例在建筑、艺术和设计中被广泛运用。
例如，古希腊的神庙就采用了黄金分割比例，使得建筑更加和谐美观。
4. 数学之巧：平方根的近似计算平方根是数学中一个非常常见的运算，但是精确计算平方根并不容易。
在日常生活中，我们经常使用近似计算来求解平方根。
其中一个简便的方法是牛顿迭代法。
这个方法的基本思想是从一个初始猜测开始，通过不断迭代逼近平方根的真实值。
这种近似计算的方法可以在没有计算器的情况下快速求解平方根，非常实用。
5. 数学之智：概率与统计概率与统计是数学中非常重要的分支，它们在生活中的应用非常广泛。
例如，在购买彩票时，我们需要根据概率来选择号码；在进行市场调研时，我们需要借助统计方法来分析数据。
概率与统计的基本概念和方法可以帮助我们更好地理解和应用生活中的各种随机现象。
完美数的概念
完美数的概念
完美数又称完全数或完备数，是一些特殊的自然数。
它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
定义：如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数”。
各个小于它的约数（真约数，列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Per fect number），又称完美数或完备数。
特有性质：
1、所有的完全数都是三角形数。
2、所有的完全数的倒数都是调和数。
3、可以表示成连续奇立方数之和。
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。
不但如此，而且它们的数量为连续质数。
5、完全数都是以6或8结尾。
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。
）
6、各位数字辗转式相加个位数是1。
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。
7、它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。
除6以外的完全数，它们被3除余1，9除余1，还有1/2被27除余1。
28/ 3 商9余1，28/9 商3余1，28/27 商1余1。
496/3 商165余1，496/9 商55余1。
8128/3 商2709余1，8128/9 商903余1，8 128/27 商301余1。
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完美数（Perfect number）
任何一个自然数的因数中都有1和它本身，我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真因数。
如6的所有真因数是1、2、3，而且6=1＋2＋3。
像这样，一个数所有真因数的和正好等于这个数，通常把这个数叫做完美数或完备数。
古希腊人非常重视完美数。
毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。
也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了48个完美数，而且都是偶完美数。
前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。
完美数有许多有趣的性质：
1.所有的完全数都是三角形数
例如:
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31
8128=1+2+3…+126+127
2.所有的完全数的倒数都是调和数
例如:
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。
例如: 28=1³+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3
4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
不但如此，而且它们的数量为连续质数。
例如:
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12
33550336=2^12+2^13+……+2^24
5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。
(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。
)
6.各位数字辗转式相加个位数是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。
例如:
28:2+8=10，1+0=1
496:4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
8128:8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1
33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1
7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1
除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。
28/3 商9，余1
28/9 商3，余1
28/27 商1，余1
496/3 商165，余1
496/9 商55，余1
8128/3 商2709，余1 8128/9 商903，余1 8128/27 商301，余1。