6.3.1 平面向量基本定理(课件)高一数学同步精品课堂(新教材人教版必修第二册)
解： A→B＝C→B－C→A＝e1－e2，因为 D，E，F 依次是边 AB 的四等 分点，
所以A→F＝34A→B＝43(e1－e2)，所以C→F＝C→A＋A→F＝e2＋43(e1－e2)＝43 e1＋14e2.
将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是运 用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为 止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的 唯一性求解．
在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，A→N＝3N→C，M 为 BC 的中点，则
M→N＝
(用 a，b 表示)．
41(b－a) 解析：∵A→C＝A→B＋B→C＝a＋b， 又A→N＝34A→C＝34a＋34b, A→M＝A→B＋B→M＝a＋12b， ∴M→N＝A→N－A→M＝－41a＋14b＝14(b－a)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基
底．
( ×)
(2)零向量可以作为基向量．
( ×)
(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．
(× )
预习验收 衔接课堂 1．如果 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，那么(A )
A．若实数 m，n 使得 me1＋ne2＝0，则 m＝n＝0 B．空间任一向量 a 可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2 为实数 C．对于实数 m，n，me1＋ne2 不一定在此平面上 D．对于平面内的某一向量 a，存在两对以上的实数 m，n，使 a＝me1 ＋ne2
2．已知 e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基 底的是(C )
A．a＝e2，b＝e1＋2e2 B．a＝e1－2e2，b＝－e1－2e2 C．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2 D．a＝e1－3e2，b＝6e1＋2e2
向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义． 2．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
预习关键词
基底、平面向量基本定理、夹角、垂直
深度预习 分步思考 平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线v 向量，那么对
于这一平面内的任一 向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ2e2.
(2)基底：若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有 向量的一个基底．
数学（人教版） 必修第二册 第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
第一阶段 课前自学质疑
感知新课 确定重点
素养导学 我们在物理中学过力的分解，已知两个分力 F1 和 F2 的大小和方 向，则任一力 F 在两个分力方向上的分解是唯一的，即存在唯一的 一对实数 λ1，λ2 使 F＝λ1F1＋λ2F2(F1 与 F2 不共线)．在数学中，是否 也存在两个不共线的向量 a，b，使平面内任一向量都可用 a，b 来表 示？答案是肯定的．这就是我们这一节要学习的平面向量基本定理.
学科素养
1．数学运算； 2．直观想象
探究归纳 1 对基底概念的理解
【例】设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量 中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2 和 e1－e2 B．3e1－4e2 和 6e1－8e2 C．e1＋2e2 和 2e1＋e2 D．e1 和 e1＋e2
B 解析：选项 B 中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2 与 3e1 －4e2 共线，∴不能作为基底；选项 A，C，D 中两向量均不共线，可 以作为基底．故选 B.
两个向量能否构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外， 一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基 底唯一线性表示出来．
给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有
向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内
所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
其中，说法正确的有( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
B 解析：只要两个平面向量不共线都可以作为基底，所以①错 误，②③正确.
探究归纳 2 用基底表示向量
探究题 1 已知▱ABCD 中，B→P＝32B→C，若A→B＝a，B→C＝b，则P→D
等于
(用 a，b 表示)．
31b－a 解析：P→D＝P→C＋C→D＝31B→C＋C→D＝13b＋(－A→B)＝13b－a. 探究题 2 在△ABC 中，点 D，E，F 依次是边 AB 的四等分点，设C→B＝e1，C→A＝e2，试以{e1，e2} 为基底表示C→F.
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6.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高一必修第二册课件
第六章 平面向量及其应用 6.3.1平面向量基本定理
此处添加副标题内容
温故知新
1.两向量共线性质的内容？
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
2.两向量垂直性质的内容？
引入新课
由力的分解得到启发，我们能否通过作平 行四边形，将向量分解为两个向量，使向 量是这两个向量的和呢？
课堂探究
平面向量基本定理
如果e1 、e2是同 一平面内的两个不共线的向 量，那么对于这一平面内的任何向量 a，有且只 有一对实数 1, 2，使
a 1e1 2 e2
若 e1 , e 2不共线，我们把
叫 e1做, e表2 示这一平
面内所有向量的一个基底。
课堂探究 思考： 一组平面向量的基底有多少对？
课堂探究
给定两个不共
线向量 e1 , e 2 ，如何使用平
行四边形法则 ，将这两个向
e1
量表示任意
课堂探究
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1
e1 A
O
C
B N
显然：
课堂探究
这样我们就把向量a分解成了：
a=λ1e1+λ2e2
思考 ：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
M
CF
Aa
M
C
a
O
NN B O
N
E
课堂探究 注意 1、基底不唯一，关键是不共线.
2、由定理可将任一向量 a 在给出 基底 e1, e2 的条件下进行分解.
3、基底给定时，分解形式唯一.
练习巩固
1.下列说法中，正确的是 __②___③
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表 示该平面的所有向量的基底
此处添加副标题内容
温故知新
1.两向量共线性质的内容？
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
2.两向量垂直性质的内容？
引入新课
由力的分解得到启发，我们能否通过作平 行四边形，将向量分解为两个向量，使向 量是这两个向量的和呢？
课堂探究
平面向量基本定理
如果e1 、e2是同 一平面内的两个不共线的向 量，那么对于这一平面内的任何向量 a，有且只 有一对实数 1, 2，使
a 1e1 2 e2
若 e1 , e 2不共线，我们把
叫 e1做, e表2 示这一平
面内所有向量的一个基底。
课堂探究 思考： 一组平面向量的基底有多少对？
课堂探究
给定两个不共
线向量 e1 , e 2 ，如何使用平
行四边形法则 ，将这两个向
e1
量表示任意
课堂探究
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1
e1 A
O
C
B N
显然：
课堂探究
这样我们就把向量a分解成了：
a=λ1e1+λ2e2
思考 ：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
M
CF
Aa
M
C
a
O
NN B O
N
E
课堂探究 注意 1、基底不唯一，关键是不共线.
2、由定理可将任一向量 a 在给出 基底 e1, e2 的条件下进行分解.
3、基底给定时，分解形式唯一.
练习巩固
1.下列说法中，正确的是 __②___③
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表 示该平面的所有向量的基底
6.3.1 平面向量基本定理课件(共54张PPT)
例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝ 2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B ＝b，试用{a，b}为基底表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意 向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为 平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为__(－__∞__，__4_)_∪__(_4_，__＋__∞__) _.
解析 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线. a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 所以21≠2λ，得 λ≠4.
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D ＝b，B→D＝c，则以{a，b}为基底时，A→C可表示为__a_＋__b___， 以{a，c}为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析 以{a，b}为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意 向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为 平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为__(－__∞__，__4_)_∪__(_4_，__＋__∞__) _.
解析 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线. a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 所以21≠2λ，得 λ≠4.
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D ＝b，B→D＝c，则以{a，b}为基底时，A→C可表示为__a_＋__b___， 以{a，c}为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析 以{a，b}为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.
2021新教材高中数学第6章6.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册
第六章平面向量及其应用6.3ꢀ平面向量基本定理及坐标表示6.3.1ꢀ平面向量基本定理素养目标·定方向必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向素养目标学法指导1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也1．了解基底的含义，理进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类解并掌握平面向量基本定比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些理，会用基底表示平面内社会架构组成的基本单位等.任一向量.(直观想象)2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四2．能够灵活运用平面向边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以量基本定理解决相关问题理解..(数据分析)3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.必备知识·探新知知识点1平面向量的基本定理如果e，e是同一平面内的两个__不__共__线__ꢀ_向量，那么对于这一平面12内的_______向量a，_______________实数λ，λ，使a＝___λ__e_＋__λ__e_ꢀ__.任一ꢀ有且只有一对ꢀ121122知识点2基底若e，e___不__共__线__ꢀ，我们把{e，e}叫做表示这一平面内__所__有__ꢀ_向1212量的一个基底.[知识解读]ꢀ对平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.λ，λ是被a，e，e唯一确定的数值.1212(3)e，e是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e共线时，λ1212＝0；当a与e共线时，λ＝0；当a＝0时，λ＝λ＝0．2112(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.关键能力·攻重难题型探究题型一对基底概念的理解典例1BCꢀ[分析]ꢀ应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e与e不共线12和平面内向量a用基底e、e表示的唯一性求解.12[解析]ꢀ由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λλ＝0或μμ＝0时不一定成立，应1212为λμ－λμ＝0．故选BC．1221[归纳提升]ꢀ(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e，e是基12底，则必有e≠0，e≠0且e与e不共线，如0与e，e与2e，e＋e与1212111122(e＋e)等，均不能构成基底.12【对点练习】❶ꢀ(1)如果e，e是平面内所有向量的一组基底，那12么(ꢀꢀ)AꢀA．若实数m、n使得m e＋n e＝0，则m＝n＝012B．空间任一向量a可以表示为a＝λe＋λe，其中λ，λ为实数112212C．对于实数m、n，m e＋n e不一定在此平面上12D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝m e1＋n e2(2)设e、e是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e与e＋e12112；②e－2e与e－2e；③e－2e与4e－2e；④e＋e与e－e其中不122112211212．③ꢀ能作为平面内所有向量的一组基底的是_____.(写出所有满足条件的序号)题型二用基底表示向量典例2①②③ꢀ[分析]ꢀ用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.[归纳提升]ꢀ用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义.(2)模型：Aꢀ题型三平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN 典例3＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.当λe＋λe＝0时恒有λ＝λ＝0 112212当λ＝0时，a与e共线21若a＝λ1e1＋λe当λ＝0时，a与e共线2212λ＝λ＝0时，a＝012易错警示忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例4[错因分析]ꢀ本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.[误区警示]ꢀ当条件不明确时要分类讨论.【对点练习】❹ꢀ已知向量e、e不共线，实数x、y满足(3x－4y)e121＋(2x－3y)e＝6e＋3e，则x－y等于__3_ꢀ_.212。
6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
44
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB
人教版高中数学必修第二册： 6.3.1平面向量基本定理【课件】
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ B ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解： ①与不共线；② = − ，则与共线； ③ 与不共
线； ④ = −，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不
共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
于是∆是直角三角形.
1. 在∆中， = ，
Ԧ
= ，若 ，分别在 ， 边上，
2
1
A）
且 = 2， = 2.则向量 + 表示（
Ԧ
3
A.
B.
3
C.
D.
解：如图所示， = + ，
2
因为 = 2，所以 = 3 .
Ԧ 1 ， 2 的方向分解，能
发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则 = + . 由与1 共线，与2 共线可得，存在实数
1 ，2 ，使得 = 1 1 ， = 2 2 ，所以Ԧ = 1 1 + 2 2 .
也就是说，与1 ， 2 都不共线的向量都可以表示成
Ԧ
1 1 + 2 2
的形式.
问题3 当是与
Ԧ
Ԧ
1 或 2 共线的非零向量时， 是否也可以表
示成1 1 + 2 2 的形式？当是零向量呢？
Ԧ
平面内任一向量都可以按
Ԧ
1 ， 2 的方向分解，表示成1 1 + 2 2
存在唯一一个实数，使 = .
Ԧ
思考 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由
6.3.1平面向量基本定理课件(人教版)
成立.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册
巩固新知
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
新教材高中数学第6章平面向量及其应用：平面向量基本定理pptx课件新人教A版必修第二册
1．已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所
有向量基底的是( )
A．{A→B，D→C}
B．{A→D，B→C}
C．{B→C，C→B}
D．{A→B，D→A}
D [由于A→B，D→A不共线，所以是一组基底．]
2．设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，则( )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C B．A→D＝13A→B－43A→C
所以O→B＝O→P＋P→B＝O→P－B→P＝23μ－2λa＋μ3＋λb，
又O→B＝b，所以2μ33μ＋－λ＝2λ＝1，0，
解得λ＝54， μ＝53，
所以B→P＝45B→N，即 BP∶PN＝4∶1.
2．将本例中点 M，N 的位置改为“O→M＝12M→B， N 为 OA 的中点”，其他条件不变，试用 a，b 表示 O→P.
用基底表示向量
【例 2】 (1)(多选题)D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB
上的中点，且B→C＝a，C→A＝b，则下列结论正确的是( )
A．A→D＝－12a－b
B．B→E＝a＋12b
C．C→F＝－12a＋12b
D．E→F＝12a
(2)如图所示，▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点， DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] B→N＝O→N－O→B＝12a－b， O→M＝O→A＋A→M＝O→A＋13A→B＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13O→B＝23a ＋13b. 因为 B，P，N 和 O，P，M 分别共线， 所以存在实数 λ，μ 使B→P＝λB→N＝2λa－λb，
O→P＝μO→M＝23μa＋μ3b，
6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册
AB, AD, BE, CF.
A
F
B
E
D
C
练习2已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=e1+2e2，c=-3e1+12e2，
请用a，b表示c.
小结：
用基底表示向量的方法：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底
表示为止
（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求
ห้องสมุดไป่ตู้
a
e1
e2
a 0e1 2 e2
a
思考2：当
a 是零向量时，a
还可以表示成
a 0e1 0e2
1 e1 2 e2的形式吗？
结论1：一般地，对给定不共线的向量 , ，任意一个向量都可以
表示成λ1 +λ2 的形式．
思考3：平面内任一向量都可以表示成λ1 +λ2 （ ， 不共
1
AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形
2
C
．
证明：设
CD a, DA b,
则 CA a b, DB b, 于是CB a b,
2
A
2
CA CB (a b)( a b) a b .
1
2
因为CD＝ AB，所以CD＝DA．因为 a
2
所以
CA．
CB 0
则λ1－ ， λ2 －全为0
（假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，
则 =
−
−
,由此可得 , 共线，
与已知 , 不共线矛盾．）
即λ1=μ1，λ2=μ2。
A
F
B
E
D
C
练习2已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=e1+2e2，c=-3e1+12e2，
请用a，b表示c.
小结：
用基底表示向量的方法：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底
表示为止
（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求
ห้องสมุดไป่ตู้
a
e1
e2
a 0e1 2 e2
a
思考2：当
a 是零向量时，a
还可以表示成
a 0e1 0e2
1 e1 2 e2的形式吗？
结论1：一般地，对给定不共线的向量 , ，任意一个向量都可以
表示成λ1 +λ2 的形式．
思考3：平面内任一向量都可以表示成λ1 +λ2 （ ， 不共
1
AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形
2
C
．
证明：设
CD a, DA b,
则 CA a b, DB b, 于是CB a b,
2
A
2
CA CB (a b)( a b) a b .
1
2
因为CD＝ AB，所以CD＝DA．因为 a
2
所以
CA．
CB 0
则λ1－ ， λ2 －全为0
（假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，
则 =
−
−
,由此可得 , 共线，
与已知 , 不共线矛盾．）
即λ1=μ1，λ2=μ2。
人教A版(2019)必修第二册 6.3.1 平面向量基本定理 课件(共19张PPT)
课本第27页练习第2题，习题6.3第1题.
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，