思维特训(四) 绝对值与分类讨论

思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 ·
1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．
用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎨⎧a （a >0），
0（a ＝0），－a （a <0）.
2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .
3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳． 典题精练 ·
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|.
(1)|AB|＝________；
(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值．
2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)|5－(－2)|的值为________；
(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；
(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；
(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：
【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值． 【解决问题】
解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c
＝1＋1＋1 ＝3；①当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c
＝a a ＋－b b ＋－c c
＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值； (2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．
4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：
|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7－21|＝________；
①|－12
＋0.8|＝________； ①⎪⎪⎪⎪717－718＝________．
(2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009
. 5．探索研究：
(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：
①|－2|＋|3|________|－2＋3|；
①|－1
2|＋|－
1
3|________|－
1
2
－1
3|；
①|6|＋|－3|________|6－3|；
①|0|＋|－8|________|0－8|.
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)
(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2019|＝|x－2019|时，求x的取值范围．
详解详析
1．解：(1)因为|a＋4|＋(b－1)2＝0，所以a＝－4，b＝1，所以|AB|＝|a－b|＝5.
(2)当点P在点A左侧时，|P A|－|PB|＝－(|PB|－|P A|)＝－|AB|＝－5≠2，不符合题意；
当点P在点B右侧时，|P A|－|PB|＝|AB|＝5≠2，不符合题意．
当点P在点A，B之间时，|P A|＝|x－(－4)|＝x＋4，|PB|＝|x－1|＝1－x.
因为|P A|－|PB|＝2，所以x＋4－(1－x)＝2，
解得x＝－1
2.
2．解：(1)7
(2)因为|x－3|＝1，所以x－3＝±1，解得x＝2或4.故x的值为2或4.
(3)根据绝对值的几何意义可知，x必在－1与3之间，故x－3＜0，x＋1＞0，
所以原式可化为3－x＝x＋1，所以x＝1.
(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．
若x的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x－x－1＝7，解得x＝－2.5；
若x的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x－3＋x＋1＝7，解得x＝4.5.
综上可得，x的值为－2.5或4.5.
3．解：(1)因为abc＜0，
所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，
则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c
＝－1－1－1＝－3； ①当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，
则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c
＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c
的值为－3或1. (2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，
所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.
4．解：(1)①21－7 ①0.8－12 ①717－718
(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15
. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.
①因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13
|. ①因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，
所以|6|＋|－3|＞|6－3|.
①因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，
所以|0|＋|－8|＝|0－8|.
(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，
所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.
(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2019同号或x 为0，所以当|x |＋|－2019|＝|x －2019|时，x 的取值范围是x ≤0.。