人教A版高中数学选修2-2同步练习-第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
人教A版数学选修2-2练习：1.2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (二) 巩固提升
[学生用书P75(单独成册)][A 基础达标]1．(2019·山东潍坊高二模拟检测)函数f (x )＝(2πx )2的导数是( )A ．f ′(x )＝4πxB ．f ′(x )＝4π2xC ．f ′(x )＝8π2xD ．f ′(x )＝16πx解析：选C.f ′(x )＝2×2πx ×2π＝8π2x .2．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x .法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为( )A ．y ＝12x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝2x ＋1解析：选D.由y ＝e 2x ，可得y ′＝2e 2x ，令x ＝0，可得y ′|x ＝0＝2，所以曲线y ＝e 2x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.4．已知曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选C.因为f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，所以a ＝7.5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C.因为f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， 所以f ′(e)＝2f ′(e)＋1e，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________． 解析：f ′(x )＝（sin x ）′（1＋cos x ）－sin x （1＋cos x ）′（1＋cos x ）2＝cos x （1＋cos x ）－sin x （－sin x ）（1＋cos x ）2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x （1＋cos x ）2＝cos x ＋1（1＋cos x ）2 ＝11＋cos x. 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 答案：237．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2.法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(1)＝2，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.答案：－28．已知f (x )＝e x x，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________． 解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4.解：(1)法一：y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝18x 2＋4x －3.法二：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.(2)y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1， 所以y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2. (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝3x e x (ln 3＋1)－2x ln 2.(4)令u ＝12x ＋π4，则y ＝sin u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫12x ＋π4′＝cos u ·12＝12cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. 10．(2019·河北承德高二期末)已知函数f (x )＝(x ＋2)e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设g (x )＝f （x ）（x ＋2）2，计算g (x )的导函数． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋3)e x ，则f ′(0)＝3.又f (0)＝2，所以所求切线方程为y －2＝3x ，即y ＝3x ＋2.(2)g (x )＝e xx ＋2，g ′(x )＝e x （x ＋2）－e x （x ＋2）2＝e x （x ＋1）（x ＋2）2. [B 能力提升]11．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a ＝( ) A.12B ．1C ．－32D ．－1解析：选C.因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为抛物线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．(1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x， 所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点， 即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解， 即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．由Ruize收集整理。
-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2
-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2高中数学中的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
对于这些函数，我们可以利用导数公式和导数运算法则求出它们的导数。
一、常数函数的导数公式和导数运算法则：常数函数的导数恒为零，即对于常数c，有f(x)=c，f’(x)=0。
导数运算法则：常数函数与其他函数进行加减乘除运算时，可以直接将常数提到导数的外面。
二、幂函数的导数公式和导数运算法则：幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，f’(x)=n*x^(n-1)。
导数运算法则：1.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，可以将n视为常数，然后按照常数倍法则进行求导。
2.若幂函数中的指数为常数，则其导数也是幂函数。
三、指数函数的导数公式和导数运算法则：指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=a^x*lna。
导数运算法则：1.对于指数函数f(x)=a^x，可以将指数函数转化为自然指数函数进行求导。
2.若指数函数中的底数为常数，则其导数是指数函数乘以底数的自然对数。
四、对数函数的导数公式和导数运算法则：对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=1/(x*lna)。
导数运算法则：1. 对于对数函数f(x)=log_a(x)，可以将对数函数转化为自然对数函数进行求导。
2.若对数函数中的底数为常数，则其导数是常数除以自变量的乘积再乘以底数的自然对数的相反数。
五、三角函数的导数公式和导数运算法则：1. sin函数的导数公式：(sinx)’=cosx。
2. cos函数的导数公式：(cosx)’=-sinx。
3. tan函数的导数公式：(tanx)’=sec^2(x)。
4. cot函数的导数公式：(cotx)’=-csc^2(x)。
2019新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.2.1-1.2.2
1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1函数f(x)=0的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案A2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案A3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±.∴可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案B4y=cos x在x=处的切线斜率为()A. B.- C.- D.解析∵y'=(cos x)'=-sin x,∴y'=-sin=-.答案C5曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析∵y'=(ln x)'=,∴y'|x=e=.∴切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.答案x-e y=06若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.解析∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴ln a=-1.∴a=.答案7曲线y=sin x在点处的切线方程为.解析因为y'=(sin x)'=cos x,所以y'.所以切线方程为y--,即x-2y+=0.答案x-2y+=08求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.(2)y'=(log4x)'=.(3)y'=()'=()'=-.9若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.分析求质点P在t=8 s时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s时的导数.解∵s'=()'=()'=-,∴s'|t=8=-×2-1=.故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.能力提升1下列结论正确的个数为()①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'|x=3=-;③若y=2x,则y'=2x ln 2;④若y=log2x,则y'=.A.0B.1C.2D.3解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.答案D2曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为y'=e x,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1,所以所围成的三角形的面积S=×1×|-e2|=.答案D3若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案A4正弦曲线y=sin x(x∈(0,2π))上切线的斜率等于的切点坐标为.解析设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cos x0=,所以x0=,y0=或x0=,y0=-.故切点坐标为或-.答案或-5已知P,Q为抛物线x2=y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=y上,∴-①②∴即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立---得-故点A的纵坐标为-8.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)》课后训练
课后训练1．下列求导正确的是( )．A. 211'1+x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．21(log )'ln2x x =C ．1(3+ln 3)'3ln 3+3x x=⋅ D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．若sin ()=sin cos x f x x x +，则'4f π⎛⎫⎪⎝⎭等于( )．A. 2B. 4C. 12 D ．12-3．函数y ＝cos2x 在点,04π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程是( )．A ．4x ＋2y ＋π＝0B ．4x －2y ＋π＝0C ．4x －2y －π＝0D ．4x ＋2y －π＝04．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是( )． A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x5．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为__________． 6．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝__________.7．若函数e ()=x f x 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．8．已知曲线y =(1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线的方程； (2)过点P (0,5)且与曲线相切的切线的方程．已知向量2,tan 224x x a cosπ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,tan 2424x x b ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，令f (x )＝a ·b ，是否存在实数x ∈[0，π]，使f (x )＋f ′(x )＝0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．参考答案1. 答案：B 解析：2111=()'+'=1x x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3，(x 2cos x )′＝2x ·cos x ＋x 2·(－sin x )．2. 答案：C 解析：2sin 'sin cos sin sin cos ''()=sin cos x x x x x x f x x x ()⋅(+)-(+)(+)2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x (+)-(-)=(+) 211'sin cos 42f x x π⎛⎫=∴= ⎪(+)⎝⎭. 3. 答案：D解析：令y ＝f (x )，则f ′(x )＝(cos 2x )′＝－2sin 2x ， ∴'= 2.4f π⎛⎫-⎪⎝⎭∴切线方程为24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即：4x ＋2y －π＝0. 4. 答案：D解析：若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有f ″(x )＜0；若f (x )＝ln x －2x ，则21'()=f x x -，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有f ″(x )＜0； 若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有f ″(x )＜0；若f (x )＝－x e －x ，则f ″(x )＝2e －x －x e －x ＝(2－x )e －x ，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有f ″(x )＞0，故选D.5. 答案：y ＝3x ＋1 解析：y ′＝(x ·e x ＋2x ＋1)′＝(x ·e x )′＋(2x )′＋(1)′ ＝e x ＋x ·e x ＋2，∴y ′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.6. 答案：53-解析：f ′(x )＝2f ′(2)·x ＋5，令x ＝2，则f ′(2)＝4f ′(2)＋5， ∴5'(2)=.3f -7. 解：由于e ()=x f x x ，∴e ()c f c c.又22e e e 1'()=x x x x xf x x x ⋅-(-)=，∴2e 1'()=c cf c c(-).依题意知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴2e e 1=0c c c c c (-)+.∴2c －1＝0，得12c =.8. 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，由y ='y = ∴当x ＝x 0时，'y =∵切线与直线y ＝2x －4平行，∴258x=，∴252y=.则所求切线方程为2525=228y x⎛⎫--⎪⎝⎭，即8x－4y＋25＝0.(2)∵P(0,5)不在曲线y=故需设切点为M(t，u)，，∵切线过M(t，u)和P(0,5)，55ut t-==，∴t，得t＝2(t＝0舍去)，∴切点为(2,10)，斜率为52，∴切线方程为510=(-2)2y x-，即5x－2y＋10＝0.解：存在．f(x)＝a·b1tan tan122 sin tan tan22424242221tan1tan22x x x x x x x x xx x πππ+-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+++⋅-+⋅⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+2=2sin cos +2cos1=sin cos222x x xx x-+，令f(x)＋f′(x)＝0，即f(x)＋f′(x)＝sin x＋cos x＋cos x－sin x＝2cos x＝0.可得=+k2xππ(k为整数)，因为x∈[0，π]，所以=2xπ，即存在实数=2xπ∈[0，π]，使得f(x)＋f′(x)＝0.。
人教A版高中数学选修2-2提能达标过关：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k＝1x0.由⎩⎨⎧y0＝kx0，y0＝ln x0，得⎩⎨⎧x0＝e，y0＝1.∴k＝1e.答案：C二、填空题6．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.解析：∵f(x)＝10x，∴f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y＝1ln 2(x－1)，令x＝0，得y＝－1ln 2，令y＝0，得x＝1，∴S＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2.答案：1 2ln 28．(2019·寿光高二月考)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________.解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为 k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m ＝1x 0，可得12x 02－ln x 0－1＝0， 令f (x )＝12x 2－ln x －1，x >1，∴f ′(x )＝x －1x >0，∴f (x )在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝1－ln 2>0，f (3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x 02－ln x 0－1＝0的根x 0∈(3，2)． ∴3<x 0<2.由Ruize收集整理。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.2.2基本初等函数的导数公式(一)(含答案)
选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3， 即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
人教版数学高二A版选修2-2练习 1.2.3基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)
第一章 导数及其应用1.2 导数的计算1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）A 级 基础巩固一、选择题1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α 解析：由f (x )＝sin π3－cos x ，得f ′(x )＝sin x ， 所以f ′(α)＝sin α.答案：A2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133解析：因为f (x )＝3ax 2＋18x ＋6，所以由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. 答案：B3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：切线的斜率即为求y ＝4x 在x ＝2处的值．答案：C4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12解析：由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，所以A 错；由y ＝e x 得，y ′＝e x 为非奇非偶函数，所以B 错；C 中y ＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}，所以C 错；D 中y ＝cos x －12，y ′＝－sin x 为奇函数，所以选D.答案：D5．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令f (x )＝ax －ln (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝____．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x ＞0，所以x ＝1. 答案：17．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：28．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1，2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是__________________．解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52， b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 答案：f (x )＝－52x －12e x ＋1 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x e x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2x x 2＋1； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解：(1)y ′＝x ′·e x ＋x ·(e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6.所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x x 2＋1′＝（2x ）′（x 2＋1）－2x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝ 2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝2－2x 2（x 2＋1）2. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x . 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.B 级 能力提升1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为() A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：由f(x)＝x2－2x－4ln x得f′(x)＝2x－2－4x＞0，整理得（x＋1）（x－2）x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．答案：C2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.答案：－43．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e＝1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.所以b＝0，d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以切点为(1，－1)．所以a ＋c ＋1＝－1. 因为f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，所以4a ＋2c ＝1，所以a ＝52，c ＝－92. 所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
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第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导
数的运算法则（一）
A 级 基础巩固
一、选择题 1．给出下列结论：
①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝
⎛⎭⎪⎫－1x ′＝1
2x x .
其中正确的个数是( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝3
2，而⎝ ⎛⎭
⎪⎫32′
＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －2－1＝－2x －3
＝－2x 3，所以③错
误.⎝
⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －12－1＝12x －32＝1
2x x ，所以④正确．
答案：B
2．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－2，则a 的值等于( ) A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
解析：若a ＝2，则f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝2x ， 所以f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件． 答案：A
3．已知曲线y ＝x 3在点(2，8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b ＝( )
A ．4
B ．－4
C ．28
D ．－28
解析：因为y ′＝3x 2，所以点(2，8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. 所以切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16， 所以k ＝12，b ＝－16，所以k －b ＝28. 答案：C
4．已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( ) A ．1
B.1
2
C ．－1或1
2
D ．－1
解析：由g (x )＝ln x ，得x >0，且g ′(x )＝1
x .
故2x ＋1＝1
x ，
即2x 2＋x －1＝0， 解得x ＝1
2或x ＝－1.
又因x >0， 故x ＝1
2，选B.
答案：B
5．曲线y ＝sin x 在x ＝0处的切线的倾斜角是( ) A.π2
B.π3
C.π6
D.π4
解析：由题知，y ′＝cos x ，所以y ′|x ＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜
角为α，则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝π
4
.
答案：D 二、填空题
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3，x <0，
ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为
________．
解析：f ′(x )＝⎩⎨⎧3x 2，x <0，
1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎨⎧0<a <1，1a ＝12
或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，
3a 2
＝12，解得a ＝1
12
或a ＝－2.
答案：
1
12
或－2 7．曲线y ＝x 3＋3x 在点(1，4)处的切线方程为____________． 解析：对函数求导得到y ′＝3x 2＋3，当x ＝1时，y ′＝6，又点(1，4)在切线上，所以切线方程为y －4＝6(x －1)，即6x －y －2＝0.
答案：6x －y －2＝0
8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________．
解析：设切点坐标为(x 0，x 3
0)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 2
0＝12，解得x 0＝±
2，故切点为(2，8)或(－2，－8)．
答案：(2，8)或(－2，－8) 三、解答题
9．求下列函数的导数： (1)y ＝5
x 3；
(2)y ＝1x
4；
(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2 x 4； (4)y ＝log 2 x 2－log 2 x .
解：(1)y ′＝(5
x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝3
55
x 2
.
(2)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.
(3)因为y ＝－2sin x 2⎝
⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝
⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x
2＝sin x ，
所以y ′＝(sin x )′＝cos x .
(4)因为y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， 所以y ′＝(log 2x )′＝1
x ln 2
.
10．求曲线y ＝1
x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成
的三角形的面积．
解：由⎩⎨⎧y ＝1x ，
y ＝x 2
得交点A 的坐标为(1，1)．
由y ＝x 2得y ′＝2x ，
所以y ＝x 2在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.
由y ＝1x ，得y ′＝－1x
2，
所以y ＝1
x 在点A (1，1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，
即y ＝－x ＋2.
又直线y ＝2x －1与x 轴交点为B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，
直线y ＝－x ＋2与x 轴交点为C (2，0)， 所以所求面积S ＝12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－12×1＝3
4.
B 级 能力提升
1．某质点的运动方程为s ＝1
t 4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，
则质点在t ＝3 s 时的速度为( )
A ．－4×3－4 m/s
B ．－3×3－4 m/s
C ．－5×3－5 m/s
D ．－4×3－5 m/s
解析：由s ＝1
t 4得s ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5.
所以s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D. 答案：D
2．已知f (x )＝cos x (x ∈[0，2π])，g (x )＝x ，解不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为________．
解析：f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，所以不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0，变为－sin x ＋1≤0.
即sin x ≥1，又sin x ≤1，所以sin x ＝1， 又x ∈[0，2π]，所以x ＝π
2
.
答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
π2
3．已知曲线y ＝x ，求：
(1)与直线y ＝2x －4平行的曲线的切线方程；
(2)求过点P (0，1)且与曲线相切的切线方程． 解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x ，得y ′|x ＝x 0＝
12x 0
. 因为切线与y ＝2x －4平行，所以1
2x 0＝2，
所以x 0＝
116，所以y 0＝14
. 则所求切线方程为y －14＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －116，
即16x －8y ＋1＝0.
(2)设切点P 1(x 1，x 1)，则切线斜率为y ′|x ＝x 1＝1
2x 1，
所以切线方程为y －x 1＝
1
2x 1
(x －x 1)． 又切线过点P (0，1)，所以1－x 1＝1
2x 1(－x 1)，
即x 1＝2，x 1＝4.
所以切线方程为y －2＝1
4(x －4)，
即x －4y ＋4＝0.。