(完整版)基本初等函数的导数公式随堂练习
(完整版)导数的计算练习题
导数的计算练习题【知识点】1、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=；()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x'=． 2、导数运算法则： ()1；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦ 3、复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是：x u x y y u '''=⋅．【习题】1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．92、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 3、y 的导数是（ ） A ．23x B ．213x C ．12- D4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于___________________．5、若()f x =()1f '等于（ ）A ．0B ．13-C ．3D ．13 6、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ）A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -=7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8、已知()53sin f x x x -=+，则()f x '等于（ ）A ．653cos x x ---B ．63cos x x -+C ．653cos x x --+D ．63cos x x --9、函数()22423y x x =-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+- 10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是________________________．11、已知a 为实数，()()()24f x x x a =--，且()10f '-=，则a =___________．12、函数lg y x =在点()1,0处的切线方程是__________________________．13、函数()()211y x x =+-在1x =处的导数等于___________． 14、函数x y x e =-上某点的切线平行于x 轴，则这点的坐标为__________．15、在曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是____________．16、曲线21y x =-与31y x =+在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于__________．17、22sin 35cos y x x =+的导数是_________________________．。
3.2导数的计算练习
考点2 求曲线的切线方程
例例2：求曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程．
[解： y′＝(x3－2x)′＝3x2－2， ∴y′|x＝1＝3×12－2＝1. 即在点(1，－1)处的切线的斜率是1. 由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
二5.若、函填数空f题(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2 ，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2， 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得解－得1x0－＝(1x－或2x0x＝0)＝－(312x－，2)(1－x0)， 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－ 4 (x－1)，
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示 ，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由图象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0. ∴3a＋2b＋c＝0，① 12a＋4b＋c＝0，② 又函数f(x)的图象过点(1,5)， ∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③ 由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12. ∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
(完整版)导数基础练习.
导数基础练习(共2页，共17题）一．选择题（共14题）1．函数f（x）＝sin2x的导数f′(x）＝( )A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x2．曲线f（x）＝lnx+2x在点（1,f（1)）处的切线方程是( )A．3x﹣y+1＝0 B．3x﹣y﹣1＝0 C．3x+y﹣1＝0 D．3x﹣y﹣5＝0 3．若函数f(x）＝sin2x，则f′（）的值为（)A． B．0 C．1 D．﹣4．函数f(x）＝xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx5．的导数是( ）A．B．C．D．6．y＝xlnx的导数是（）A．x B．lnx+1 C．3x D．17．函数y＝cose x的导数是( ）A．﹣e x sine x B．cose x C．﹣e x D．sine x8．已知，则f′（）＝（）A．﹣1+B．﹣1 C．1 D．09．函数的导数是( )A．B． C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x10．函数y＝x2﹣2x在﹣2处的导数是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣811．设y＝ln（2x+3），则y′＝（）A．B．C．D．12．已知函数，则f′（x）等于（）A．B． C．0 D．13．曲线y＝x2+3x在点A（2,10)处的切线的斜率k是( ）A．4 B．5 C．6 D．714．曲线y＝4x﹣x2上两点A(4，0)，B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB,则点P的坐标为（)A．（1，3）B．（3,3）C．（6,﹣12） D．(2，4)二．填空题(共2题）15．求导：（)′＝_________ ．16．函数y＝的导数是_________ ．三．解答题（共1题）17．求函数y＝e x5 +2的导数．导数基础练习（试题解析）一．选择题（共14题）1．函数f(x）＝sin2x的导数f′（x）＝( )A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．s in2x考点：简单复合函数的导数．考查学生对复合函数的认识,要求学生会对简单复合函数求导．分析：将f（x)＝sin2x看成外函数和内函数,分别求导即可．解答：将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，∴可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x．∴选D．红色sin2x、蓝色sin2x2．曲线f(x）＝lnx+2x在点（1，f(1））处的切线方程是( ）A．3x﹣y+1＝0B．3x﹣y﹣1＝0C．3x+y﹣1＝0D．3x﹣y﹣5＝0考点：简单复合函数的导数；直线的点斜式方程．考查学生对切线方程的理解,要求写生能够熟练掌握．分析:先要求出在给定点的函数值，然后再求出给定点的导数值．将所求代入点斜式方程即可．解答：对f（x）＝lnx+2x求导，得f′(x）＝+2．∴在点(1,f（1）)处可以得到f（1)＝ln1+2＝2，f′（1）＝1+2＝3．∴在点(1，f(1)）处的切线方程是：y﹣f（1)＝f′（1）（x﹣1)，代入化简可得，3x﹣y﹣1＝0．∴选B．红色lnx+2x、蓝色3x﹣y﹣1＝0（即y=3x-1）3．若函数f(x）＝sin2x，则f′（)的值为（)A．B．0C．1D．﹣考点：简单复合函数的导数．计算题．求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则及初等函数的导数公式求出导函数，再求导函数值．分析：先利用复合函数的导数运算法则求出f(x)的导函数,将x＝代入求出值．解答：解:f′（x）＝cos2x（2x)′＝2cos2x，∴f′（）＝2cos＝1，∴选C．红色sin2x、蓝色2cos2x4．函数f（x）＝xsinx+cosx的导数是（)A．x cosx+sinx B．x cosx C．x cosx﹣sinx D．c osx﹣sinx考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．计算题．本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题．分析:利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解答：解：∵f（x）＝xsinx+cosx，∴f′（x）＝(xsinx+cosx）′＝（xsinx）′+（cosx）′＝x′sinx+x（sinx)′﹣sinx＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx,∴选B．红色xsinx+cosx、蓝色xcosx5．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．计算题．本题考查导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属于基础题．分析：利用导数的四则运算法则,按规则认真求导即可解答：解：y′＝＝＝∴选A．红色、绿色y′＝6．y＝xlnx的导数是（）A．x B．l nx+1C．3x D．1考点:导数的乘法与除法法则．导数的综合应用．本题考查导数的乘法法则，考查了基本初等函数的导数公式，属于基础题．分析：直接由导数的乘法法则结合基本初等函数的导数公式求解．解答：解:∵y＝xlnx，∴y′＝(xlnx）′＝x′lnx+x(lnx）′＝．∴选B．红色xlnx、绿色lnx+17．函数y＝cose x的导数是（）A．﹣e x sine x B．c ose x C．﹣e x D．s ine x考点：导数的乘法与除法法则．导数的概念及应用．本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则．分析：根据导数的运算法则即可得到结论．解答：解:函数的导数为f′（x）＝﹣sine x•（e x）′＝﹣e x sine x，∴选A．红色cose x、绿色﹣e x sine x8．已知,则f′（）＝（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0考点：导数的加法与减法法则．计算题．本题主要考查了导数的运算，以及求函数值,解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．分析：本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解答：解:∴选B．红色、绿色－sinx9．函数的导数是( ）A．B．C．e x﹣e﹣x D．e x+e﹣x考点：导数的加法与减法法则．计算题．本题考查导数的运算，牢记求导公式是解本题的关键．分析：根据求导公式（u+v）′＝u′+v′及（e x)′＝e x即可求出函数的导数．解答：解：∵，∴y′＝＝．∴选A．红色、蓝色10．函数y＝x2﹣2x在﹣2处的导数是( ）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8考点：导数的加法与减法法则．计算题；导数的概念及应用．本题考查导数的加法与减法法则，考查基本初等函数的导数公式,是基础的计算题．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析中取x＝﹣2计算即可得到答案．＝2×(﹣2)﹣2＝﹣6．∴选C．解答：解：由y＝x2﹣2x，得y′＝2x﹣2．∴y′|x＝﹣2红色y＝x2﹣2x、蓝色y′＝2x﹣211．设y＝ln（2x+3）,则y′＝（）A．B．C．D．考点：导数的运算．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握复合函数的导数公式,属于基础题．分析：根据复合函数的导数公式即可得到结论．解答：解：∵y＝ln（2x+3）,∴，∴选:D红色ln（2x+3）、蓝色12．已知函数，则f′(x）等于（）A．B．C．0D．考点:导数的运算．导数的概念及应用．本题考查了常数的导数，只要理解常数c′＝0即可解决此问题．分析：我们知道：若函数f（x）＝c为常数，则f′（x）＝0，∴可得出答案．解答:解：∵函数，∴f′(x)＝0．∴选C．13．曲线y＝x2+3x在点A(2，10）处的切线的斜率k是（）A．4B．5C．6D．7考点：导数的几何意义．计算题．本题考查函数在某点导数的几何意义的应用．分析：曲线y＝x2+3x在点A（2，10）处的切线的斜率k就等于函数y＝x2+3x在点A（2，10）处的导数值．解答:解:曲线y＝x2+3x在点A(2，10）处的切线的斜率，k＝y′＝2x+3＝2×2+3＝7,∴答案为7．红色x2+3x、蓝色2x+314．曲线y＝4x﹣x2上两点A（4,0），B（2，4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（)A．（1，3）B．（3，3）C．(6，﹣12)D．（2，4）考点：导数的几何意义．考核导数的几何意义及两条直线平行斜率的关系．分析：首先求出弦AB的斜率,再利用导数的几何意义求出P点坐标．解答：解：设点P（x0，y），∵A（4，0），B（2，4)，∴kAB＝＝﹣2．∵过点P的切线l平行于弦AB,∴kl＝﹣2，∴根据导数的几何意义得知，曲线在点P的导数y′＝4﹣2x＝4﹣2x＝﹣2,即x＝3,∵点P（x0，y)在曲线y＝4x﹣x2上，∴y＝4x﹣x2＝3．∴选B．红色4x﹣x2、蓝色4﹣2x二．填空题（共2题）15．求导：（)′＝，．考点：简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算，根据复合函数的导数公式是解决本题的关键．分析: 根据复合函数的导数公式进行求解即可． 解答： 解：＝（x 2+1)21，则函数的导数为y′＝（x 2+1）21－(x 2+1)′＝（x 2+1）21－×2x＝，∴答案为：红色、蓝色16．函数y ＝的导数是 ．考点： 简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题主要考查导数的计算,根据复合函数的导数公式进行计算是解决本题的关键．分析： 根据复合函数的导数公式进行计算即可． 解答：解：函数的导数为y′＝＝，∴答案为：红色、蓝色三．解答题（共1题）17．求函数y＝e x5-+2的导数．考点：简单复合函数的导数．导数的概念及应用．本题考查导数的运算，以及导数基本知识的考查．分析：直接利用复合函数的导数求解运算法则求解即可．解答：解：函数y＝e x5-+2的导数：y′＝﹣5e x5-．∴答案为：y′＝﹣5e x5-．红色e x5-+2、蓝色﹣5e x5-。
高中数学《基本初等函数的导数》知识点讲解及重点练习
§5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝x 3 f ′(x )＝3x 2 f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若y ＝sin 60°，则y ′＝cos 60°.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 0； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x； (3)y ＝lg x ； (4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝0.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫13x ln 13＝－⎝⎛⎭⎫13x ln 3. (3)y ′＝1x ln 10.(4)∵y ＝x 2x＝32,x∴31223322y'x 'x x ⎛⎫===. ⎪⎝⎭(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．(3)要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝2 020； (2)y ＝13x 2；(3)y ＝4x ； (4)y ＝log 3x .解 (1)因为y ＝2 020， 所以y ′＝(2 020)′＝0. (2)因为y ＝13x 2＝23x -，所以y ′＝251332233.x x ---=-－ (3)因为y ＝4x ， 所以y ′＝4x ln 4. (4)因为y ＝log 3x ， 所以y ′＝1x ln 3. 二、利用导数研究曲线的切线方程例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 的过点O (0,0)的切线方程．解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2 (1)函数y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为( ) A ．y ＝12x －16 B ．y ＝12x ＋16 C ．y ＝－12x －16 D ．y ＝－12x ＋16答案 A解析 因为y ′＝3x 2， 当x ＝2时，y ′＝12， 故切线的斜率为12， 切线方程为y ＝12x －16.(2)已知曲线y ＝ln x 的一条切线方程为x －y ＋c ＝0，求c 的值． 解 设切点为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线方程为x －y ＋c ＝0，其斜率为1. 所以0=|x x y'＝1x 0＝1，即x 0＝1， 所以切点为(1,0)． 所以1－0＋c ＝0， 所以c ＝－1.利用导数公式求切点坐标问题典例 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得P (1,1)，∴与直线l 平行的抛物线的切线方程为2x －y －1＝0. 故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．[素养提升] (1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． (2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．1．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③，④正确．2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)121=828⨯=-3．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案 ACD解析 只有B 是错误的．因为y ′132212'x 'x --⎛⎫===-= ⎪⎝⎭4．已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝ .答案 1解析 因为f (x )＝ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.1．知识清单： (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． (3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法． 3．常见误区：不化简成基本初等函数.1．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝－sin x B ．(x 3)′＝x 3ln x C ．(e x )′＝x e x －1 D ．(ln x )′＝1x ln 10答案 A2．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′352;5x -= ④(cos 2)′＝－sin 2. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 ∵②(x －1)′＝－x －2； ④(cos 2)′＝0. ∴②④错误，故选A.3．已知函数f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，若f ′(－1)＝－4，则α的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝αx α－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴a ＝4.4．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 5．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1) D ．(1，－1)答案 BC解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 6．已知[cf (x )]′＝cf ′(x )，其中c 为常数．若f (x )＝ln 5log 5x ，则曲线f (x )在点A (1,0)处的切线方程为 ． 答案 x －y －1＝0解析 由已知得f ′(x )＝ln 51x ln 5＝1x， 所以f ′(1)＝1，在A 点处的切线方程为x －y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是 ． 答案 4解析 因为y ′＝12x，所以切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a2，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，所以a ＝4.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1) 解析 设f (x )＝e x ， 则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1.设g (x )＝1x (x >0)，则g ′(x )＝－1x2.由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1. 所以P (1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上，所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，则k ＝2或k ＝－4， 所以直线方程为y ＋2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12或 y ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.11．已知函数f (x )＝x 3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不能确定答案 B解析 y ′＝f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，x 30)， 由3x 20＝1，得x 0＝±33， 即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处均有斜率为1的切线，故有2条． 12．若曲线y ＝x α＋1(α∈Q 且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝ . 答案 2解析 y ′＝αx α－1，所以y ′|x ＝1＝α，所以切线方程为y －2＝α(x －1)，即y ＝αx －α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.13．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1， ∴由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析 由已知得，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x .15．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解 导函数y ′＝(n ＋1)x n ，切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，所以切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，0，则a n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.。
《基本初等函数的导数》第一课时作业练习
2.(1)图像略
（3）猜测y=sinx的导数为 y’=cosx ，与基本初等函数导数公式表示sinx的导数公式一样.
作业练习
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
春季
课题
《基本初等函数的导数》第一课时
教科书
书 名：《普通Leabharlann 中教科书·数学》(人教A版2017课标版)选择性必修第二册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年5月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
作业练习
1.基础训练：求曲线 在点（4，2）处的切线方程。
2.拓广探索：
请按步骤，完成下面的任务.
(1)利用信息技术工具，分别画出h=1，0.5，0.1，0.05时，
函数 的图象.
(2)画出函数 y=cosx 的图象，并与上面的四个图象比较，
当h越来越小时，你观察到了什么？
(3)大胆猜测y=sinx 的导数，它与基本初等函数的导数
公式中的sinx的导数公式一样吗？
3.网上导数的发展历史.
2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法规（一）[A基础达标 ]1．给出以下结论：① (sin x ) ′＝ cos x ；②若 f ( x ) ＝12，则 f ′(3) ＝－ 2 ；x27③ (e x ) ′＝ e x ；1④ (log 4x ) ′＝ x ln 4 .此中正确的有 ( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个1′＝ ( x － 2－分析：选 D. 因为 (sinx ) ′＝ cosx ，因此①正确； f ′(x ) ＝ x 2) ′＝－ 2x32xx，因此③正确；因为(log 41，则 f ′(3) ＝－ 27，因此②正确；因为(e ) ′＝ e x ) ′＝ x ln 4 ，因此④正确．α1 12．若幂函数 f ( x ) ＝ mx 的图象经过点 A 4， 2 ，则它在点 A 处的切线方程是 ()A ． 2x － y ＝ 0B ． 2x ＋ y ＝ 0C ． 4x － 4y ＋ 1＝0D ． 4x ＋ 4y ＋ 1＝0分析：选 C. 因为函数f ( x ) ＝α为幂函数，因此＝ 1. 又幂函数f ( ) ＝x α的图象经过mxmx111111点A ，因此f ( x ) ＝ ， ′()＝ ， ′f ( x ) 的图象在， α＝ ，因此2 x ＝1，因此4 2 2x 2 f x f 411点 A 处的切线方程为 y － 2＝ x －4，即 4x － 4y ＋ 1＝ 0.π 13．过曲线 y ＝cos x 上一点 P 3，且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线方程为 ()2 2π3A ． 2x － 3y － 3 ＋ 2 ＝ 03π －1＝0B. 3x ＋ 2y －32π3C ． 2x ＋ 3y － 3 ＋ 2 ＝ 0D. 3x＋ 2y－3π3＋1＝0分析：选 A. 因为y ＝ cosx，因此y′＝－ sinx，曲线在点Pπ，1处的切线斜率是′|32y xπ＝－ sin π3P 且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的斜率为2＝＝－2，因此过点，所333以所求的直线方程为y －1＝2x－π，即 2x－ 3 －2π＋3＝ 0.233y324．设曲线y ＝n＋ 1(∈N*) 在点 (1 ，1) 处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1· 2· · n x n x x的值为 ()11A. nB.n＋1nC.n＋1D． 1n分析：选 B. 由题意得x n＝n＋1，1 23－ 1n＝1，应选 B.则 x1· x2· · x n＝× × × ×n×n＋12 34n n＋1x cos xP 处的切线的倾斜角，则α 的取5．已知点P在曲线y＝ 2sin上，α为曲线在点22值范围是 ()3ππ 3πA.4，πB. －4，4π3ππ3πC.4，4D.0，4∪ 4，π分析：选 D. 因为y＝ 2sin x x x，因此 y′＝cos x，设 P( x ，y) ．由题意，知2cos 2＝ sin切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tanα＝cos x ，因此－1≤tanα≤1.π3π因为 0≤α＜π，因此α∈ 0，4∪4，π ，应选 D.16．已知函数f ( x) ＝x，且f′ ( a) －f ( a) ＝－ 2，则a＝ ________．11分析： f ( x)＝x，因此 f ′(x)＝－x2，1 1f′ ( a) －f ( a) ＝－a2－a＝－ 2.即 2a2－a－ 1＝ 0，解得 a ＝ 1 或 a ＝－ 12.1 答案：1或－27．曲线 y ＝ x 3 在点 (1 ，1) 处的切线与 x 轴、直线 x ＝ 2 所围成的三角形的面积为 ________ ．分析：因为22y －1＝ 3( xy ′＝ 3x . 因此切线的斜率为y ′|x ＝ 1＝3×1＝ 3，因此切线方程为2 012－28 －1) ，与 x 轴的交点为， ，与直线 x ＝ 2 的交点为 (2 ，4) ．因此 S ＝ 2 × 3 ×4＝3 .38答案： 3x18．设曲线 y ＝ e 在点 (0 ，1) 处的切线与曲线 y ＝ x ( x >0) 上点 P 处的切线垂直， 则点 P 的坐标为 ________．分析：设f ( x ) ＝ e x ，则 ′( ) ＝ e x ，fx1因此 f ′(0) ＝ 1. 设 g ( x ) ＝ x ( x >0) ，1则 g ′(x ) ＝－ x 2 . 由题意可得 g ′(x P ) ＝－ 1，解得 x P ＝1.因此 P (1 ，1) ．答案： (1 ， 1)9．求与曲线 y ＝ f ( x ) ＝ 3 x 2在点 P (8 ，4) 处的切线垂直，且过点(4 ， 8) 的直线方程．33 221211 2y ′＝ ( ) ′＝2 －＝ －3 解：因为 y ＝x ，因此x x 3′＝ x 3. 因此 f ′(8)3 × 8 ＝ ，即33 曲线在点 P (8 ，4) 处的切线的斜率为13. 因此合适条件的直线的斜率为－3. 从而合适条件的直线方程为 y － 8＝－ 3( x － 4) ，即 3x ＋ y － 20＝ 0.xP 到直线 y ＝ x 的最小距离．10．点 P 是曲线 y ＝ e 上任意一点，求点 解：依据题意设平行于直线 y ＝ x 的直线与曲线 ＝ e x 相切于点 ( 0， 0) ，该切点即为y P x y与 y ＝ x 距离近来的点，如图．则在点 P ( x ， y ) 处的切线斜率为 1，0 0即 y ′|x ＝ x ＝ 1.因为 y ′＝ (e x ) ′＝ e x ，xx因此 e 0＝ 1，得 x 0＝ 0，代入 y ＝e ，得 y 0＝ 1，即 P (0 ，1) ．2利用点到直线的距离公式得距离为2 .[B 能力提高 ]11．若函数y＝f ( x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称 y＝ f ( x)拥有T性质．以下函数中拥有T性质的是 ()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3分析：选 A. 设函数y ＝(x) 的图象上两点(1，1)，( 2，2)，则由导数的几何意义f P x y Q x y可知，点 P，Q处切线的斜率分别为 k ＝ f ′(x )，k＝f ′(x )，若函数拥有T性质，则 k ·k211221＝f ′(x1)· f ′(x2)＝－1.对于A选项， f ′( x)＝cos x，明显 k1· k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，因此该函数拥有1( x＞ 0) ，明显k1·k2＝1·1 T 性质；对于 B 选项，f′ ( x) ＝x xx21＝－ 1 无解，故该函数不拥有T 性质；对于 C 选项，f′ ( x) ＝ e x＞0，明显k1·k2＝ e x1·e x2＝－ 1 无解，故该函数不拥有T 性质；对于 D 选项，f′( x) ＝ 3x 222＝≥ 0，明显k1·k＝ 3x1·3x2－1 无解，故该函数不拥有T 性质．应选 A.12．设f0( x) ＝ sin x，f1( x) ＝f′0 ( x) ，f2( x) ＝f′1( x) ，，f n＋1( x) ＝f′n( x) ，n∈ N，则 f 2 018( x)＝________．分析：由已知 f 1( x)＝cos x， f 2( x)＝－sin x，f 3( x)＝－cos x， f 4( x)＝ sin x，f5( x)＝cos x，挨次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018 ( x) ＝f2( x) ＝－ sin x.答案：－ sin x13．若曲线f ( x) ＝x－2在点 ( a，a－2)( a>0) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求 log 3a的值．2解：由题意，得 f ′(x)＝－2x－3，因此曲线 f( x) 在点 ( a，a － 2－ 2－ 3) 处的切线方程为y－ a ＝－2a ( x－ a)，3a令 x＝0，得 y＝3a－2，令 y＝0，得 x＝2.因此1× 3 －2×3＝3，2a2a3解得a＝4.因此log3a＝2.214．( 选做题) 已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，能否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明原由．解：不存在．原由以下：因为y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P( x0，y0) ，因此两条曲线在P( x0， y0)处切线的斜率分别为k1＝y′1| x＝ x0＝cos x0， k2＝y′2| x＝x0＝－ sin x0.若使两条切线相互垂直，一定使cos x· ( － sin x )＝－1，即sin x ·cos x＝ 1，也0000就是 sin 2x0＝2，这是不行能的，因此两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。
5.2.1 基本初等函数的导数vs5.2.2 导数的四则运算法则(同步练习)(附答案)
5.2.1 基本初等函数的导数vs5.2.2 导数的四则运算法则（同步练习）一、选择题1.已知函数f(x)＝x 2＋sin xx ，则该函数的导函数f ′(x)＝( )A.2x ＋cos x x 2B.x 2＋xcos x －sin x x 2C.2x ＋xcos x －sin x x 2D.2x －cosx2.函数f(x)＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A.10 B.5 C.－1 D.－373.曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A.π3B.π4C.3π4D.－π4 4.已知函数f(x)＝ax x 2＋3，若f ′(1)＝12，则实数a 的值为( )A.2B.4C.6D.85.下列函数满足f ′(x)＝f(x)的是( ) A.f(x)＝e x B.f(x)＝cos x C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ln x6.已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( )A.13B.23C.－23D.－137.若幂函数f(x)＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A.2x －y ＝0B.2x ＋y ＝0C.4x －4y ＋1＝0D.4x ＋4y ＋1＝0 8.(多选)以下运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3 C .(2x )′＝2x ln 2 D.(lg x)′＝1xln 109.(多选)直线y＝12x＋b能作为下列函数的图象的切线的是()A.f(x)＝1x B.f(x)＝x4C.f(x)＝sin xD.f(x)＝e x二、填空题10.曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________11.已知函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)，若f ′(1)＝1，则a＝________12.曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________13.已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________三、解答题14.求下列函数的导数：(1)y＝2x2；(2)y＝sin x－1x－1；(3)y＝(x＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－1；(4)y＝2sinx2cosx2．15.设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f ′(x)满足f ′(1)＝2a，f ′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．16.已知点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：由题意可得f ′(x)＝(2x ＋cos x )x －(x 2＋sin x )x 2＝x 2＋xcos x －sin xx 2，故选B ．2.D 解析：∵f(x)＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x)＝3x 2＋4，∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7，又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，故切线在x 轴上的截距为－37．故选D ．3.B 解析：点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32在曲线上，∵y′＝x ，即k ＝y′|x ＝1＝1，这时倾斜角为π4．4.B 解析：∵f(x)＝axx 2＋3∴f ′(x)＝a (x 2＋3)－2ax 2(x 2＋3)2＝3a －ax 2(x 2＋3)2．∵f ′(1)＝12，∴3a －a 42＝12，解得a ＝4．故选B ．5.A 解析：若f(x)＝e x ，则f ′(x)＝e x ＝f(x)，故A 正确；若f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝－sin x ≠f(x)，故B 错误；若f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝cos x ≠f(x)，故C 错误；若f(x)＝ln x ，则f ′(x)＝1x ≠f(x)，故D 错误．故选A ．6.D 解析：因为y′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3×1＝3，而直线ax －by －2＝0的斜率k′＝ab ，由题设k′k ＝－1，即k′＝a b ＝－13，故选D ．7.C 解析：因为函数f(x)＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f(x)＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f(x)＝x 12，f ′(x)＝12x，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f(x)的图象在点A 处的切线方程为y－12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0. 8.CD9.BCD 解析：f(x)＝1x ，故f ′(x)＝－1x 2＝12，无解，故A 排除；f(x)＝x 4，故f ′(x)＝4x 3＝12，故x ＝12，即曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，116的切线为y ＝12x －316，B 正确；f(x)＝sin x ，故f ′(x)＝cos x ＝12，取x ＝π3，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32的切线为y ＝12x －π6＋32，C 正确；f(x)＝e x ，故f ′(x)＝e x ＝12，故x ＝－ln 2，曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，12的切线为y ＝12x ＋12ln 2＋12，D 正确；故选BCD ．二、填空题10.答案：y ＝3x解析：因为y′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x)e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝3，所以切线方程为y ＝3x ． 11.答案：e 解析：∵f(x)＝log a x ，∴f ′(x)＝1xln a ，由条件知1ln a＝1，∴a ＝e ． 12.答案：y ＝2x －e解析：y′＝ln x ＋1，y′|x ＝e ＝ln e ＋1＝2，所以切线方程为y －e ＝2(x －e)，化简得2x －y －e ＝0 13.答案：eln 3 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y′＝3x ln 3，所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝3x 0ln 3·x ，又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，所以x 0＝1ln 3＝log 3 e ．所以k ＝eln 3．三、解答题14.解：(1)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＝(2x －2)′＝－4x －3．(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x －1′＝cos x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1′＝cos x －－1(x －1)2＝cos x ＋1(x －1)2． (3)因为y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x ＝1－x x ， 所以y′＝－1·x －(1－x )·12x x ＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－(x ＋1)x 2x 2．(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，故y′＝cos x ．15.解：因为f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ．令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3． 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32．则f(x)＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f(1)＝－52．又因为f ′(1)＝－3，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0．16.解：设P (x 0，y 0)(x 0>0)，已知P 到直线y ＝x －2距离最小， 则点P 处切线与直线y ＝x －2平行．又y′＝2x－1x，令2x0－1x0＝1，x0>0，则x0＝1，故P(1,1)．所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.2 基本初等函数的导数公式
1．下列结论不正确的是( )
A ．若y ＝e 3
，则y ′＝0 B ．若y ＝
1
x
，则y ′＝－1
2x
C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1
2x
D ．若y ＝3x ，则y ′＝3
2．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝
⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x =3＝－227.其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．1
2
4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
B ．[0，π)
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4
5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.12e 2
B.94
e 2 C ．2e 2 D ．e 2 6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *
)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )
A ．1n
B ．1n ＋1
C ．n n ＋1
D ．1
课后探究
1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x
的切线，则实数k 的值为
2．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为
一、选择题
2．已知函数f (x )＝x 3
的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．不确定
4．y ＝x α
在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1
5．f (x )＝
1x 3
x 2
，则f ′(－1)＝( )
A ．52
B ．－52
C ．53
D ．－53
6.函数y ＝e x
在点(2，e 2
)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A ．94e 2 B ．2e 2
C ．e 2
D ．e
2
2
二、填空题
7．曲线y ＝x n
在x ＝2处的导数为12，则n 等于________．
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5
t ，则质点在t ＝32时的速度等于________． 9．在曲线y ＝4
x
2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．
三、解答题
10．求证双曲线y ＝1
x
上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．
一、选择题
11．(2014·北京东城区联考)曲线y ＝13x 3
在x ＝1处切线的倾斜角为( )
A ．1
B ．－π4
C ．π4
D ．5π4
12．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3
x
4；
②y ＝3
x ，则y ′＝133x ；
③y ＝log 2x ，则y ′＝1
x
；
④y ＝cos x ，则y ′＝sin x ；
⑤已知f (x )＝3x
，则f ′(2)＝[f (2)]′. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
14．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于1
2的点为( )
A ．(π3，32
)
B ．(－π3，－32)或(π3，32)
C ．(2k π＋π3，3
2
)
D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－3
2)
二、填空题
15．两曲线y ＝1
x
与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________．
求过曲线x y cos =上点)2
1
,3(
πP 且与过这点的切线垂直的直线. 13．求过曲线y ＝e x
上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
处的切线方程。
在、求函数2
cos 2π
=
=x x y。