河北省中考数学总复习课件：专题9
中考数学二轮复习课件-专题九传统数学文化
如图1,☉O和☉I分别是△ABC的外接圆和内切圆,☉I与AB相切于点F,设☉O的半 径为R,☉I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三 条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长AI交☉O于点D,过点I作☉O的直径MN,连接DM,AN. ∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等). ∴△MDI∽△ANI.∴ IM＝ID，
与内心之间的距离为
cm.
【解析】(1)∵O,I,N三点共线,∴OI+IN=ON, ∴IN=ON-OI=R-d; 答案:R-d
(2)BD=ID. 理由如下: 如图3,过点I作☉O的直径MN,连接AI交☉O于D,连接MD,BI,BD, ∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI. ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI,∴ BD=ID.
【题组过关】
1.(202X·临沂中考)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书大约在一
千五百年前,其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问
人与车各几何?”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余两辆车;若
每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少?设有x人,y辆车,可列方程组为
人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,
使对称之美惊艳了千年的时光.在下列与扬州有关的标识或简图中,不是轴对称
图形的是
(C)
【规律方法】中心对称图形绕着某个点旋转180°后与自身重合;轴对称图形沿 着某条直线进行对折,直线两旁的部分能够完全重合.
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
2015年河北中考数学总复习课件(第9课时_分式方程及其应用)
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第9课时┃ 分式方程及其应用
考点3 分式方程的应用
列分式方程解应用题与列其他方程解应用题的步骤基本 相同，但需要注意的是进行双验根，既要检验是不是原方程的 根，还要检验是不是使实际问题有意义．
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第9课时┃ 分式方程及其应用
冀 考 探 究
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第9课时┃ 分式方程及其应用
考点2 分式方程的解法
基本 把分式方程转化为整式方程， 即分式方程去分母 ――→ 换元 分式 思想 整式方程 方程 的解 直接 方程两边同乘各分式的______________ 最简公分母 ， 约去分 法 去分 母，化为整式方程，再求根验根 母法
课 前 热 身
x－1 1 4 1 1．下列关于 x 的方程：① ＝5；② ＝ ；③ (x－ 3 x x－1 x 1 x 1)＋x＝1； ④ ＝ 中， 是分式方程的有 a b－1 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 ( C )
解 析 由分式方程的定义：分母中含有未知数的方 程叫做分式方程，即可判断得出结果．
冀考解读 课前热身 考点聚焦 冀考探究
第9课时┃ 分式方程及其应用
解 析
( C )
B．0
C．1
D．2
x－3 m 方程 ＝ 两边同时乘 x－2，得 x－3＝ x－2 2－x
－m.解得 x＝3－m.因为方程有增根，所以 x＝2，即 3－m ＝2，所以 m＝1.故选 C.
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第9课时┃ 分式方程及其应用
5．[2014· 唐山市古冶区二模] 某工程队铺设一条 480 米的 道路， 开工后， 由于引进先进设备， 工作效率比原计划提高 50%， 结果提前 4 天完成任务．若设原计划每天铺设 x 米，根据题意 可列方程为 ( C ) 480 480 A. － ＝4 x （1－50%）x 480 480 B. － ＝4 （1－50%）x x 480 480 C. － ＝4 x （1＋50%）x 480 480 D. － ＝4 （1＋50%）x x
中考数学复习专题9：阅读理解型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。
中考数学(河北专版)总复习考点整合 能力突破课件：第9节 定义、命题、定理 (共19张PPT)
·考点一 定 义
·考点二 命 ·考点三 定 ·考点四 证 题 理 明
考点一 定义 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定 义．如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义．
注意
定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，
例如“一些”“大概”“差不多”等不能在定义中出现.
考点二 命题
1．定义：判断一件事情的语句，叫做命题． 2．理解：命题的定义包括两层含义： 句子 (1)命题必须是一个完整的__________________ ； (2) 这 个 句 子 必 须 对 某 事 情 作 出 肯 定 或 者 否 定 的 判断 ________________ ，二者缺一不可． 条件和结论 两部分组成．条 3．命题的结构：每个命题都有______________ 已知 的事项，结论是由已知事项推断出的事项． 件是_______
大，基础性较强．
【探解法】本题考查命题的同时结合了二次函数的相关性质、 计算．因为 y ＝ x2 － 6x ＋ 10 ＝ (x － 3)2 ＋ 1 ，所以当 x
＝3时，y有最小值1，故①错误；
【探解法】n为任意实数，当x＝3＋n时，y＝(3＋n－3)2＋1＝n2 ＋1，当x＝3－n时，y＝(3－n－3)2＋1＝n2＋1，所 以两函数值相等，故②错误； 若 n>3 ，且 n 是整数，当 n≤x≤n ＋ 1 时，令 x ＝ n ， 则y＝n2－6n＋10，令x＝n＋1，则y＝(n＋1－3)2＋1 ＝n2－4n＋5，因为(n2－4n＋5)－(n2－6n＋10)＝2n －5，所以y的整数值的个数是2n－5＋1＝2n－4(个)，
a<b.
其中真命题的序号是( C ) A．① C．③ B．② D．④
专题09 分式方程(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
C． x 2 5 3
1
D．
x
0
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A、 x 1 不是方程，故本选项错误；
x
B、方程 1 1 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
x 1 2x 3
C、方程 x 2 5 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20－y)个， 依题意得：110y＋80(20－y)≤1800， 解得 y 6 2 ，
3
即y的最大值为6， ∴最多购买6个篮球． 【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一 次不等式．
实际应用 的实际意义，检验结果是 分式方程的基本思想和列方程解应用题的
否合理．
意识．
思维导图
知识点梳理
知识点1：分式方程及其解法
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方 程的解．
3
D、方程 1 x 0 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误．
故选B．
【答案】B．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【例2】（2022•牡丹江）若关于x的方程 mx 1 3无解，则m的值为（ ） x 1
A．1
B．1或3
边同乘以(x－1)得：mx－1＝3x－3，∴(m－3) x＝－2． 当m－3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意． 当m－3≠0时，x 2 ，
中考数学总复习讲义课件：核心素养专题九 数学文化
B．160
256 C. 3
D．64
【解析】 作出几何体的直观图如答图所示：
跟踪训练 3 答图 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱， 则三棱柱的体积 V1＝12×4×4×4＝32， 四棱锥的体积 V2＝13×2×4×4×1＝332， 由三视图可知两个四棱锥大小相等， ∴V＝V1＋2V2＝1630.
跟踪训练 1.[2018·孝义期末]公元前 5 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，
即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数比(分数)表示，后来，当这一学派中
的希帕索斯发现，边长为 1 的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示
时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此，引发了第一次数学危机，这儿“不能
3．[2019·汉阳区模拟]我国古代数学名著《九章算术》记载：刍甍者，下有袤有广， 而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．翻译为：底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．图 6 为一刍甍的三视图，其中 正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为( A )
图6
160 A. 3
类型一 以科技或数学时事为题材 典例 [2019·广元]我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方 法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公 共部分形成的几何体．如图 1 所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型， 它的俯视图是( A )
跟踪训练 1.[2019·宜昌]古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利
用整数或整数的比表示的数”指的是( B )
A．有理数
B．无理数
C．合数
D．质数
河北省中考数学备考PPT课件
2015河北省中考评价报告
5
2016河北省数学中考说明
中考说明指引着中考方向 1、考查的内容、及其变化尽在其中
2、当年中考题好多从题型示例改编 不做具体《说明》分析，举例理解
6
7
16年此处没有改变，应对方案------
8
对于 根与系数关系，三元一 次方程组，没有提到。 加特殊符号的“垂经定理”考 试要求中没有说明，在考试内 容中写“垂直于弦的直径”。 策略--，
以考定教、以学定教
---2016年中考复习策略
1
整体概况
概况一
点击此处输入 相关文本内容
01
概况二
点击此处输入 相关文本内容
02
概况三
点击此处输入 相关文本内容
03
2
今年的中考怎么考？ 体会每一轮复习的策略
3
以考定教 考什么心中有数
4
研读四个决定中考方 向的材料
2016河北省数学中考说明 数学新课标
用蓝色或黑色笔写下来，把还有问题的考
点用红色笔写下来，都写在书的扉页就可
以，左边写会的，右边写不会的，形成对
1、《河北省2015年初级中学学业考 试分析评介及教育教学质量研究 报告》是河北最权威的中考评价
2、当它对当年的中考题指出什么不 足时，下年一定会改正的----
24
在2015年的报告中写到“难度 在0.40~0.70之间的试题数量和分 值偏---，而难度在0.70以上的试 题数量与分值略显偏---”，为从 整体上保证76-78分的平均分，下 一步会调整----
结果：拖沓前松后紧，不能训练不全面 或太快前紧后松，忽视了达成度
，再吃夹生饭。
处方：备课组长提前细致的做出 计划。一轮按知识点走、按计划 走，复习到了但部分学生不熟悉 正常，记录。用天天小测补。
2020届中考数学总复习课件：核心素养专题九 数学文化 (共25张PPT)
8．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九
日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)利用我们学习过的知识可以计算出 63
野鸭与大雁经过_1_6__天相遇．
V≈316L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3，那么，近似公式 V≈725
L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( B )
22
25
A. 7
B. 8
C.15507
D.311535
【解析】 316×3＝725π，∴π＝285.
3．[2019·长沙]《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思
ห้องสมุดไป่ตู้
是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头
还剩余 1 尺，问木头长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确
的是( A )
y＝x＋4.5， A.0.5y＝x－1
解：设共有 x 人， 根据题意得x3＋2＝x－2 9， 去分母得 2x＋12＝3x－27， 解得 x＝39，∴39－2 9＝15. 答：共有 39 人，15 辆车．
12．(8 分)[2020·中考预测]我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道 题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追 及之．” 译文：良马平均每天能跑 240 里，驽马平均每天能跑 150 里．现驽马出发 12 天后良马 从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
河北省中考数学复习 第3章 函数 第9讲 函数及其图象课件.pptx
类型3 函数的表示与函数图象 【例3】[2017·北京中考]小苏和小林在如图1所示的跑道上进行 4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位： m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图2所示．下列叙述正确 的是( D )
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程 D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
C错误，D正确．
技法点拨►1.在运动变化过程中，要根据自变量的不同取值范 围，分段研究函数的类型和特征． 2．常见的图象意义问题有两种背景：一种是结合几何图形的 运动变化；另一种是生产生活中的实际问题，比如常见的行程 问题函数图象(折线形的s－t函数图象)．
8
六年真题全练 命题点 函数图象 [2013·河北，16,3分]如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB， CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12，动点P从点A出发，沿折线 AD－DC－CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时 间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是( )
取全体实数
分式型，如y＝
a x
根式型，如y＝ x
分母不为0，即x≠0 被开方数大于等于0，即x≥0
分式＋根式型，如y＝ 同时满足两个条件：①被开方数大于等
a
x
于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0
实际问题型
满足函数存在条件的同时还要保证有实 际意义
【思路分析】由题意，得x＋2≥0且x≠0.解得x≥－2且x≠0. 6
7
【思路分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，
小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而