推理知识点及题型归纳总结
归纳逻辑笔记
归纳逻辑笔记一、归纳逻辑的概念- 定义：从个别性知识推出一般性结论的推理。
- 例如：观察到第一只天鹅是白色的，第二只天鹅是白色的……第n只天鹅是白色的，从而得出“所有天鹅都是白色的”这一结论（虽然这个结论后来被证明是不完全正确的，但这是归纳逻辑的一个典型例子）。
二、归纳推理的类型1. 完全归纳推理- 特点：对某类事物的全部对象都进行考察，从而得出关于该类事物的一般性结论。
- 公式：S1具有（或不具有）P属性，S2具有（或不具有）P属性，……Sn具有（或不具有）P属性，S1、S2、…S n是S类的全部对象，所以，所有S都具有（或不具有）P属性。
- 要求：必须考察该类事物的全部对象，每个对象的情况都要准确无误。
- 优点：结论具有必然性。
- 缺点：当研究对象数量庞大或者无限时，难以做到完全归纳。
例如要考察全世界所有天鹅的颜色，几乎不可能做到完全归纳。
- 重点：要明确完全归纳推理的适用范围有限，在对象可穷尽时才能使用。
2. 不完全归纳推理- 特点：只考察了某类事物的部分对象，就得出关于该类事物的一般性结论。
- 分类：- 简单枚举归纳推理- 定义：根据某类事物的部分对象具有（或不具有）某种属性，并且没有遇到反例，从而推出该类事物的所有对象都具有（或不具有）该属性的推理。
- 公式：S1具有（或不具有）P属性，S2具有（或不具有）P属性，……Sn具有（或不具有）P属性，S1、S2、…Sn是S类的部分对象，并且在考察中未遇到反例，所以，所有S都具有（或不具有）P属性。
- 优点：应用方便、广泛。
例如我们看到很多金属都能导电，如铜、铁、铝等，就得出“所有金属都能导电”的结论。
- 缺点：结论具有或然性，一旦发现反例，结论就会被推翻。
比如曾经认为“所有天鹅都是白色的”，后来发现黑天鹅后这个结论就被推翻了。
- 易错点：不能仅仅因为没有发现反例就轻易认定结论一定正确，要认识到其结论的不确定性。
- 科学归纳推理- 定义：根据某类事物中部分对象与某种属性之间的因果联系，从而推出该类事物的所有对象都具有该属性的推理。
判断推理逻辑推理常考知识点
判断推理逻辑推理常考知识点一、逻辑推理基本概念。
1. 命题。
- 定义：可以判断真假的陈述句。
例如“今天是晴天”就是一个命题。
- 简单命题：不能再分解为更简单命题的命题。
像“小明是学生”。
- 复合命题：由简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题。
如“小明是学生并且小红是老师”，其中“并且”就是逻辑联结词。
2. 逻辑联结词。
- 且（∧）：表示两个命题同时成立。
例如，命题p：小明是男生，命题q：小明是学生，那么p∧q表示小明是男生并且是学生。
当p和q都为真时，p∧q才为真。
- 或（∨）：表示两个命题至少有一个成立。
比如命题p：今天是周一，命题q：今天是周二，p∨q表示今天是周一或者是周二。
只要p、q中有一个为真，p∨q就为真。
- 非（¬）：对一个命题进行否定。
若命题p：小李是好人，那么¬p：小李不是好人。
p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。
3. 充分条件与必要条件。
- 充分条件：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，但未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。
例如，如果天下雨（A），那么地面湿（B），天下雨是地面湿的充分条件。
- 必要条件：如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。
只有年满18周岁（A），才能有选举权（B），年满18周岁是有选举权的必要条件。
1. 三段论推理。
- 定义：由两个包含着一个共同项的性质判断作前提，得出一个新的性质判断为结论的演绎推理。
例如：所有的金属都能导电（大前提），铜是金属（小前提），所以铜能导电（结论）。
- 规则：- 在一个三段论中，有且只能有三个不同的项。
- 中项在前提中至少要周延一次。
- 在前提中不周延的项，在结论中也不得周延。
- 如果前提中有一个是否定的，那么结论也是否定的；如果结论是否定的，那么前提中必有一个是否定的。
推理知识点归纳总结
推理知识点归纳总结1. 推理的类型推理可以分为两种类型：演绎推理和归纳推理。
演绎推理是从一般性的原理或定律得出特殊的结论或应用到特殊情况的推理方法。
演绎推理的基本规则是：如果前提成立，则结论必然成立。
归纳推理是从个别事实得出一般性原则或规律的推理方法。
归纳推理的基本规则是：如果个别情况成立，则一般规律很可能成立。
在日常生活中，归纳推理常用于总结经验，演绎推理常用于解决具体问题。
2. 推理的基本要素推理的基本要素包括前提、推理规则和结论。
前提是推理的起点，是已知的信息或条件；推理规则是根据前提得出结论的方法或规律；结论是由前提和推理规则得出的结果。
在推理过程中，前提起着承上启下的作用，推理规则是推理的逻辑基础，结论是推理的最终目的。
3. 推理的方法推理的方法包括三种：逻辑推理、数学推理和语言推理。
逻辑推理是基于逻辑规律和规则，通过演绎和归纳的方法进行推理。
数学推理是基于数学知识，通过数学推理规则进行推理。
语言推理是基于语言表达和语义逻辑，通过语言规则和词语逻辑进行推理。
不同的推理方法适用于不同的领域和问题，但它们都是通过逻辑思维和规则进行推理得出结论的方法。
4. 推理的原则推理的原则包括两个方面：逻辑原则和实用原则。
逻辑原则是推理的基本原则，包括排中律、非此即彼、三段论等逻辑原则。
实用原则是推理的实际应用原则，包括经验总结、实践检验、情境推理等实用原则。
逻辑原则是推理的基础，实用原则是推理的灵活应用，二者相辅相成，共同构成推理的完整体系。
5. 推理的误区推理中常见的误区包括：偏见、模糊性和谬误。
偏见是在推理过程中受到主观态度和情感影响而失去客观性和公正性。
模糊性是在推理过程中信息不清晰或缺乏逻辑规则而导致推理结论不确定。
谬误是在推理过程中由于逻辑错误或事实错误而导致推理结论错误。
要避免推理误区，需要调整思维态度、提高信息获取和加强逻辑训练。
6. 推理的应用推理的应用范围非常广泛，包括科学研究、工程技术、医学诊断、社会管理、教育教学等领域。
小学数学推理知识点总结
小学数学推理知识点总结在小学数学的学习中，推理是一项非常重要的能力。
它不仅有助于我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
接下来，让我们一起系统地总结一下小学数学中的推理知识点。
一、推理的定义和类型推理，简单来说，就是根据已知的信息和条件，得出新的结论或判断的过程。
在小学数学中，常见的推理类型有归纳推理、演绎推理和类比推理。
1、归纳推理归纳推理是从个别事实中概括出一般结论的推理方法。
例如，我们观察到 2、4、6、8 都是偶数，并且都能被 2 整除，从而归纳出“所有偶数都能被 2 整除”这个结论。
2、演绎推理演绎推理则是从一般原理推出个别结论的推理方法。
比如，我们知道“所有直角都等于 90 度”，而给出一个角是直角，就可以得出这个角等于 90 度的结论。
3、类比推理类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似，推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。
例如，我们知道三角形的面积公式是“底×高÷2”，当学习梯形面积时，发现梯形可以分割成两个三角形，从而类比推测出梯形的面积公式。
二、数学推理在数与运算中的应用1、数的大小比较在比较数的大小时，我们会运用推理。
比如比较 325 和 289 的大小，我们从百位开始比较，3 大于 2，所以 325 大于 289。
2、运算定律加法交换律（a ＋ b ＝ b ＋ a）、加法结合律（（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)）、乘法交换律（a × b ＝ b × a）、乘法结合律（（a × b) × c＝ a ×（b × c)）和乘法分配律（（a ＋ b) × c ＝ a × c ＋ b × c）等运算定律的推导和应用都离不开推理。
以加法交换律为例，通过观察多个具体的加法算式，如 2 ＋ 3 ＝ 3＋ 2，5 ＋ 6 ＝ 6 ＋ 5 等，归纳出“两个数相加，交换加数的位置，和不变”的结论。
推理的知识点总结
推理的知识点总结一、推理的定义推理是指通过一系列的逻辑推断来达到某个结论的过程。
其中，逻辑和推断是推理的两个关键元素。
逻辑是指依据逻辑规律和法则进行思维的过程，而推断则是指由已知信息得出新的结论或判断的过程。
二、推理的分类根据推理的特点和方式，可以将推理分为直接推理和间接推理两种。
1. 直接推理直接推理是指根据已知的事实和规则直接得出结论的推理方式。
例如，如果A等于B，而B等于C，则可以直接推断出A等于C。
2. 间接推理间接推理是指通过一系列的逻辑推断和推理步骤，最终得出结论的推理方式。
例如，通过已知的条件和规则，通过一系列的逻辑推断，最终得出事实或结论。
三、推理的基本原理推理的基本原理包括三个方面：非矛盾性原则、排中律原理和等同原理。
1. 非矛盾性原则非矛盾性原则是指相互矛盾的命题不能同时成立。
也就是说，如果A是真的，那么非A 就是假的。
这个原则是推理的基础，也是逻辑思维的基础。
2. 排中律原理排中律原理是指一个命题要么是真的，要么是假的，不存在其他的可能性。
也就是说，一个命题不能既是真的又是假的，或者既不是真的也不是假的。
3. 等同原理等同原理是指如果两个命题在任意情况下都同时为真或者同时为假，那么这两个命题就等同。
也就是说，如果A等于B，而B等于C，那么A就等于C。
四、推理方法推理的方法包括直接推理、因果推理、比较推理、假设推理等多种方式。
1. 直接推理直接推理是最为简单直接的一种推理方式，它是根据已知的事实和规则直接得出结论。
2. 因果推理因果推理是指通过对因果关系进行分析和推断，得出结论的一种推理方式。
例如，如果A 是因果B，而B又是因果C，那么可以推断A是因果C。
3. 比较推理比较推理是指通过对不同对象或事物的比较和对比，得出结论的一种推理方式。
例如，通过比较A和B的特点和优缺点，得出A优于B的结论。
4. 假设推理假设推理是指在一定条件下对情况进行假设，进行推理和推断的一种方法。
例如，如果A 是真的，那么假设B也是真的，然后根据这个假设得出结论。
二年级数学下册期末总复习《数学广角——推理》知识点
二年级数学下册期末总复习《数学广角——推理》必记知识点一、简单推理1.两种情况的推理：这类推理通常涉及“不是……就是……”的逻辑结构。
例如，硬币不是正面就是反面，没有第三种可能。
2.3.三种情况的推理：这类推理稍微复杂一些，涉及“确定……不是……就是……”的逻辑。
学生需要学会从已知信息出发，逐步排除不可能的选项，最终确定正确答案。
4.二、稍复杂推理1.方法概述：1.抓住确定信息：在复杂推理中，首先要识别和利用题目中给出的确定信息。
2.使用表格法排除：通过制作表格，列出所有可能性，并根据题目信息逐步排除不可能的选项。
2.实例分析：可以通过具体的例题来讲解和练习这种方法，比如通过人物、动物或物品的排列组合问题进行推理练习。
三、练习题与解析1.选择题与判断题：通过这类题型，学生可以练习如何从给定信息中推理出正确答案。
2.3.填空题与解答题：这类题型要求学生能够综合运用推理技巧，解决更复杂的问题，如根据多个条件进行人物或物品的匹配等。
4.四、复习建议1.理解基础逻辑：确保学生理解基本的逻辑关系，如“与”、“或”、“非”等。
2.3.多做练习题：通过大量的练习来提高学生的推理能力，加深对逻辑推理的理解。
4.5.学会总结：在完成练习题后，鼓励学生总结推理过程中的经验教训，以便更好地掌握推理技巧。
6.五、拓展与提高1.引入更复杂的推理题：随着学生对基础推理的掌握，可以逐步引入更复杂的推理题目，如涉及多个条件和未知数的推理题。
2.3.培养逻辑思维：鼓励学生参与逻辑游戏和谜题解答，以培养他们的逻辑思维和推理能力。
4.综上所述，二年级数学下册期末总复习《数学广角——推理》部分应着重于理解基础逻辑、练习推理技巧，并通过总结和拓展提高来加强学生的逻辑推理能力。
行测推理判断知识点总结
行测推理判断知识点总结行测推理判断是各类公务员考试、事业单位招聘考试中常见的题型，主要考察考生的逻辑推理能力和判断能力。
本文将对行测推理判断的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这一题型。
一、类比推理类比推理是通过对两个或多个事物之间的相似性进行比较，从而推断出它们在某一方面的共同特征。
其常见知识点包括：1.语法关系：主谓、动宾、偏正、并列等关系。
2.语义关系：同义、反义、近义、远义等关系。
3.逻辑关系：因果关系、条件关系、转折关系、递进关系等。
二、定义判断定义判断是根据给定的定义，判断某个事物是否符合该定义的要求。
其常见知识点包括：1.抓住定义中的关键词：定义中的关键词通常包括主体、客体、方式、结果等。
2.分析定义的内涵和外延：内涵是指定义所涵盖的事物的本质特征，外延是指定义所涵盖的事物的范围。
3.排除不符合定义的选项：通过分析选项，排除与定义不符的选项。
三、逻辑判断逻辑判断是根据给定的前提，运用逻辑推理规则，得出结论。
其常见知识点包括：1.直言命题：A、E、I、O四种命题及其推理规则。
2.复言命题：联言命题、选言命题、假言命题及其推理规则。
3.模态命题：必然命题、可能命题及其推理规则。
4.演绎推理：三段论、假言推理、选言推理等。
5.归纳推理：完全归纳推理、不完全归纳推理等。
四、图形推理图形推理是通过观察图形的规律，推断出下一个图形。
其常见知识点包括：1.位置关系：图形的上下、左右、内外等位置关系。
2.形状关系：图形的对称、旋转、翻转等形状变化。
3.数量关系：图形的个数、面积、角度等数量变化。
4.轨迹关系：图形按照一定规律运动形成的轨迹。
五、判断推理判断推理是根据给定的信息，推断出未知的信息。
其常见知识点包括：1.事实判断：根据已知事实，判断未知事实。
2.价值判断：根据已知价值观，判断未知事物的价值。
3.方法判断：根据已知方法，判断未知问题应采用的方法。
总结：行测推理判断涉及多个知识点，需要考生在备考过程中进行系统学习和训练。
判断推理知识点归纳总结
判断推理知识点归纳总结一、推理方法1. 归纳推理归纳推理是从个别的特殊事实出发，推广到一般情况的推理方法。
归纳推理的过程是从一系列现象或事实中总结出一般规律或原则，以此来推断其他未知的情况。
归纳推理是科学家和研究人员进行科学实验和研究的基本方法之一，也是人们在日常生活中进行观察和总结的常用方法。
2. 演绎推理演绎推理是从一般原则或规律出发，推断出具体的结论或结论。
演绎推理的过程是通过一系列已知的前提条件，推出一个必然的结论。
演绎推理是数学、逻辑学和哲学等学科中常用的推理方法，也是法律、经济等领域中重要的推断方式。
3. 反证法反证法是通过假设反面来推导出一个结论的推理方法。
在数学领域中，反证法常常被用来证明某种命题的真假，通过假设命题的否定，推导出一个矛盾，从而证明原命题的真实性。
在日常生活中，反证法也可以用来推断某些假设的真实性或虚假性。
二、推理规律1. 充分条件和必要条件在推理过程中，充分条件和必要条件是两个重要的概念。
充分条件是指如果一个事件发生，那么另一个事件一定会发生；必要条件是指如果一个事件发生，那么另一个事件一定会发生。
充分条件和必要条件是推理的基本规律，也是数学和逻辑学中的重要概念。
2. 相反命题在推理过程中，相反命题是指与已知命题相矛盾的命题。
通过相反命题的对立，可以得出一些重要的推论和结论。
在数学证明中，相反命题通常用来证明某个命题的真假，从而推导出一些重要的结论。
3. 假言命题和析取命题假言命题是由一个前提和一个结论组成的命题，表示“如果...，那么...”的关系。
在推理过程中，假言命题常常被用来推导出一些结论或结论。
析取命题是由若干个命题组合而成的复合命题，表示“或”的关系。
在推理过程中，析取命题常常被用来推导出一些结论或结论。
三、推理能力的培养1. 培养观察力观察是推理能力的基础，只有通过仔细观察和分析，才能得出正确的推理结论。
在日常生活中，可以通过观察周围的事物和现象，培养自己的观察力。
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推理知识点及题型归纳总结知识点精讲1．合情推理合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法．(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理．(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理．2．演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理．特别是“三段论”推理，其模式为：(1) 大前提——已知的一般结论． (2) 小前提——所研究的特殊情况． (3) 结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若S ∈M ，则S 有性质P ；②检验，S '∈M ；③故S '具有性质P ．注 如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．题型归纳及思路提示题型1 归纳推理 思路提示对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，好一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明．这里遵循的是由特殊到一般的推理原理．例14.1 (2012湖北理13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，23，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：(1)4位回文数有＿＿＿＿个；(2)2n ＋1(n N +∈)位回文数有＿＿＿个．分析 本题可通过归纳推理，结合计数原理求解．解析 解法一：由于本题是填空题，不需要严谨的推导过程，由此可以通过归纳推理获得结论．通过分析回文数的特征，可知3位回文数与4位回文数的个数相同，9×101个．因为1位回文数与2位回文数的个数为9×100个；3位回文数与4位回文数的个数为9×101个，5位回文数与6位回文数的个数为9×102个．根据此规律，推测2n ＋1位回文数有9×10n个． 解法二：利用排列组合求解． 从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1，4位取相同且非零数有19C ＝9(种)不同的方法；第2，3位可取0，有110C ＝10(种)不同的取法，即4位回文数有90个；(2)由题意可知：首位与末位不能取0，故有9种方法，其余各位置关于中间数对称，每两数都有10种方法，正中间数也有10种方法，故2n ＋1(n N +∈)位回文数有9×10n个．评注 本题实际上是通过归纳推理求解，即找规律． 变式1 观察下列各式： 55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )． A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125变式2 n 个自然数按规律排成如图14－1所示的序列：依次规律从2013→2015，箭头方向应为( )．A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓变式3 下面的倒三角形数阵满足如图14－2所示的排列．图14－2(1)第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n－1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是＿＿＿＿＿＿＿．例14.2(2012江西理6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )．A．28 B．76 C．123 D．199解析从给出等式的特点可观察发现，等式左端的值，从第三项开始，后一项是前两项的和，照此规律，则有：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，∴a10＋b10＝123．故选C．评注本题也可通过演绎推理得出正确答案．由a＋b＝1，a2＋b2＝3可知，2ab＝－2，即ab＝－1；所以a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝112＋2＝123．变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？(1)2223sin15sin75sin1352︒+︒+︒=，2223sin30sin90sin1502︒+︒+︒=，2223sin45sin105sin1652︒+︒+︒=，2223sin60sin120sin1802︒+︒+︒=．(2)223sin10sin10cos50sin504︒+︒︒+︒=，223sin15sin15cos45sin454︒+︒︒+︒=，223sin20sin20cos40sin404︒+︒︒+︒=，223sin25sin25cos35sin354︒+︒︒+︒=．变式2 某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数： ①22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒； ②22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； ③22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒； ④22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．例14.3 设函数()2xf x x =+(x ＞0)，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+， 32()(())78xf x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且n ≥2时，1()(())n n f x f f x -=＝＿＿＿＿．解析 由2，4，8，16，…得：2n ；1，3，5，7，15，…，即为21n -，所以()(21)2n nnxf x x =-+．评注 在归纳猜想()n f x 的通项公式时，要认真分析每一项中的系数与对应的项数之间的关系． 变式1 0()cos f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()n n f x f x n N +'=∈，则2015()f x ＝( )．A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x变式2 已知数列{}n a 的第1项11a =，且11nn na a a +=+(n ＝1，2，…)，猜想a 2014＝＿＿＿＿＿． 例14.4 (2013湖北理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝21122n n +， 正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝23122n n -， 六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ，… …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝＿＿＿＿＿．解析：由N (n ，k )＝2k k a n b n +(k ≥3)，其中数列{}n a 是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{}n b 是以12为首项，12-为公差的等差数列，所以N (n ，k )＝21222k k n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k ≥3)，所 N (n ，24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10，24)＝11×102－10×10＝1000．变式1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图14－3所示的三角形数：图14－3将三角形数1，3，6，10，…记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测：(1)2012b 是数列{}n a 中的第＿＿＿项； (2)21n b -＝＿＿＿＿＿．(用k 表示)变式2 如图14－4所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分．那么：(1)在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n (n ≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？图14－4 题型2 类比推理 思路提示两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征．这里的类比有从方法(过程)进行类比，有从知识(结论)进行类比．我们可以从不同角度出发确定类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维(平面与空间)之间，椭圆与双曲线之间，等差数列与等比数列之间等．例14.5 当x R ∈，1x <时，有如下表达式：2111n x x n x+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-，两边同时积分得：1111122222200011d +d +d ++d +d 1nx x x x x x x x x⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰，从而得到如下等式： 23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：23101211111112223212n nnn n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝＿＿＿＿＿．分析 利用导数与定积分的关系求解，还要注意所给式子的特点以及二项式定理的应用． 解析 设f (x )＝()()()231012111231n nn n n n C x C x C x C x n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+所以0122()(1)n nn n n n n f x C C x C x C x x '=+++⋅⋅⋅+=+．所以11111122001111113(1)d (1)1(10)12112112n n n n n f x x x n n n n -+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰， 即23110121111111131222321212n n nnnn n C C C C n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 变式1 通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； … …(n ＋1)2－n 2＝2×n ＋1．将以上各式分别相加，得：21(1)12(123n +-=⨯++…＋n )＋n ． 即1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +． 类比上述求法：请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．变式2 已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，过点P 的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得22yy p '=，则p y y '=，所以动点P 的切线的斜率0p k y =．类似上述方法，求出双曲线2212y x -=在点P处的切线方程．变式3 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-② 由①＋②得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= ③令A αβ+=，B αβ-=，则2A B α+=，2A Bβ-=， 代入③式得：sin sin 2sincos 22A B A BA B +-+=． (1)类比上述推理方法，根据两角和差的余弦公式，证明：cos cos 2sinsin 22A B A BA B +--=-．(2)若△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足cos2cos21cos2A B C -=-，试判断△ABC 的形状．例14.6 已知正三角形内切圆半径是高的13，把这个结论类比到正四面体中，类似结论应该是＿＿＿．解析 正三角形内切圆和正四面体内切球这两类对象的相似特征为“正三角形内切圆圆心到正三角形三边等距，正四面体内切球球心到正四面体四个面等距”，这就是类比转化的条件所在，如图14－5所示，由性质知正三角形内切圆圆心O 1也是正三角形的垂心，O 1在BC 边的高AD 上，连接O 1A ，O 1B ，O 1C ，△O 1AB ≌△O 1BC ≌△O 1AC ，11111133223ABC O BC S S BC AD BC O D O D AD ∆∆=⇒⋅=⨯⋅⇒=．如图14－6所示，类比正四面体ABCD 内切球球心O 2在四面体的高AH 上，连接O 2A ，O 2B ，O 2C ，O 2D ，O 2－ADC ≌O 2－ABC ≌O 2－ABD ≌O 2－BCD ，24A BCD O BCD V V --=，13BCD S AH ∆⋅＝2211434BCD S O H O H AH ∆⨯⋅⇒=．故类似的结论为：正四面体内切球半径是高的14．评注 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则a ∶h ∶r ∶R ＝13∶33其中r ∶R ＝1∶2，即圆心将高线分成的线段比为1∶2，同理，设正四面体的棱长为a ，高为h ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则则a ∶h ∶r ∶R ＝1666，其中r ∶R ＝1∶3，即球心将高线分成的线段比为1∶3．有些平面中的定义、定理、性质可以类比到空间，在学习中可以通过类比去发现新问题．变式1 平面直角坐标系中，直线的一般方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，圆心C (x 0，y 0)，半径r ＞0的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，类比到空间直角坐标系内平面的一般方程为①＿＿＿，球心在C (x 0，y 0，z 0)，半径为r ＞0的球的方程为②＿＿＿＿＿．变式2 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面部分分别为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方； (3)斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1． 写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：＿＿＿＿＿。