云南省三校生考试数学
云南省三校联考(四)数学-答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DABAADBC【解析】1．由123n n a a +=+得132(3)n n a a ++=+，而134a +=，故{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以132n n a ++=，即123n n a +=-，故选D ．2．先将其余三人全排列，共有33A 种情况，再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选A ．3．由2(1i)(2i)z +=-，可得2(2i)(34i)(1i)17i 1i (1i)(1i)22z ---===--+-+，所以17i 22z =-+，故z 在复平面内对应的点1722⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B ．4．题意可知3060x x -⎧⎨->⎩≥，，解得36x <≤，所以*{|36}{345}A x x =∈<=N ，，≤，所以集合A 的真子集个数为3217-=，故选A ．5．根据题意，构造函数()1ln f x x x =--，则1()x f x x-'=，当1x ≥时，()f x '≥0，所以()f x 在区间[1)+∞，上单调递增，因此可得(1.3)(1)0f f >=，即(1.3) 1.31ln1.3f =--= 0.3ln1.30->，所以0.3ln1.3>，又指数函数2x y =为单调递增，可得0.3ln1.322>，即b c >．因为0.20.40.3422a b ==>=，所以c b a <<，故选A ．6．α∵为锐角，ππ2π663α<+<，ππ4sin cos 365αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππcos 22cos 36αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7125-=，故选D ．数学参考答案·第2页（共10页）7．若a 与b 的夹角为钝角，则0a b < 且a 与b 不共线，所以(1)120(1)20t t t t --⨯<⎧⎨--⨯-≠⎩，，解得12t -<<且23t ≠，所以“12t -<<”是“a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B ．8．由棱柱的定义可知①错；侧棱延伸后必须交于同一点，所以②错；由三角形两边之和大于第三边，高相同，所以③对；外接球半径为3R V a =，，所以④对，故选C ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ABDACACDAC【解析】9．对于A 选项，由sin sin A B <，根据正弦定理得22a br r<（r 为ABC △外接圆半径），即a b <，则A B <，故A 正确；对于B ，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，229a c ac =++，因为0a >，0c >，所以2293a c ac ac =++≥，3ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，因为1sin 24ABC S ac Bac ==△，所以ABC S △的最大值为4，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则8sin 2sin 1105b A B a ===<，又b a <，则60B A <=︒，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+tan tan 1tan tan A BA B+=--，所以tan tan tan (tan tan 1)A B C A B +=-，所以tan tan tan A B C ++tan (tan tan 1)tan tan tan tan 0C A B C A B C =-+=>，所以tan A ，tan B ，tan C 三个数有0个或2个为负数，又因A ，B ，C 最多一个钝角，所以tan 0A >，tan 0B >，tan 0C >，即A B C ，，都是锐角，所以ABC △一定为锐角三角形，故D 正确，故选ABD ．10．由题意，1233333442()()()3341033410334105P B P B P B =======++++++，，，1(|)P A B80%=，23(|)70%(|)75%P A B P A B ==，，则1122()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =++ 33()(|)0.75P B P A B =，故A 正确；由333()()(|)()P AB P A P A B P B ==，则33()()()P AB P A P B =，数学参考答案·第3页（共10页）所以A 与3B 相互独立，故B 错误；因为23()10P B =，所以237(11010P B =-=，所以222230.840.757()(|)()3410()0.72()()0.7|5P B A P A B P B P B P A A A P ⨯+⨯⨯+====，故C 正确；由题意这次零件抽检中，1号、2号、3号车间生产零件合格数之比为8:7:10，所以从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率为88871025=++，该零件来自2号车间的概率为77871025=++，该零件来自3号车间的概率为101028710255==++，所以该零件来自3号车间的概率最大，故D 错误，故选AC ．11．对于A 中，由2AB AD BC ===，且2CD AB =，可得4CD =，高12O O ===，则圆台轴截面ABCD 的面积为21(24)2⨯+=，所以A 正确；对于B 中，圆台的体积为31π(124)3V =++，所以B 不正确；对于C 中，设圆台的外接球的球心为O ，半径为R ，如图1，连接OA ，OD ，设1OO h =，在直角1OO D △中，可得2222114R OO O D h =+=+，在直角2OO A △中，可得222222(1R OO O A h =+=+，即22(14h h +=+，解得0h =，即O 与1O 重合，所以2R =，所以外接球的体积为3334432ππ2πcm 333R =⨯=，所以C 正确；对于D 中，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm ，底面半径为2cm ，侧面展开图的圆心角2π2π4θ== ．设AD 的中点为P ，连接CP ，如图2，可得90COP ∠=︒，4OC =，213OP =+=，则5CP ==，所以沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm ，所以D 正确，故选ACD ．图1 图2数学参考答案·第4页（共10页）12．对于A ，由()()4f x g x -=，得(2)(2)4f x g x --+=，又()(2)4f x g x +=，所以(2)()f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，选项A 正确；对于B ，由于()f x 的图象关于点(02)，对称，则()()4f x f x -+=，由选项A 的结论可知，(2)()f x f x -=-，则(2)()4f x f x -+=，所以(4)(2)4f x f x -+-=，则()(4)f x f x =-，所以函数()f x 的一个周期为4，因为(2)()4f x f x -+=，所以(1)(3)4f f +=，(2)(4)4f f +=，所以20041()501[(4)(1)(2)(3)]50184008k f k f f f f ==+++=⨯=∑，选项B 错误；对于C ，由()(4)f x f x =+，及()()4f x g x -=，得()(4)g x g x -=--，则函数()g x 的一个周期为4，选项C 正确；对于D ，取π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4()πsin 22g x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，满足题设要求，但16(1)(1)3g g -+=，与()g x 的图象关于点(02)，对称矛盾，则选项D 错误，故选AC ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为向量(52)a = ，，(13)b =- ，，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为：113||(13)101010||||||a b b a a b b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，，． 14．等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列前n 项和公式可知112n S n a d n-=+；可得11n n S S d n n +-=+为定值，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又96396S S -=，即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以10-为首项，公差为1的等差数列，所以9108129S =-+⨯=-，从而918S =-． 15．根据题意，可得5b a <，即2a <，平方的2254b a <，又222a bc +=，所以2225()4c a a -<，即2259c a <，所以15c a <<．数学参考答案·第5页（共10页）16．(2)()20000000()()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '=+-+-++- ，因为1()f x x=-，(1)1f -=，所以2()f x x -'=(2)3()2f x x -=-，(3)4()6f x x -=，(4)5()24f x x -=-，(5)6()120f x x -=，又(1)1!f '-=，(2)(1)2!f -=，(3)(1)63!f -==，(4)(1)244!f -==，(5)(1)1205!f -==．所以23455()1(1)(1)(1)(1)(1)T x x x x x x =++++++++++，故3x 的系数为012345C C C 15++=．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由题意可得2A =，5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，0ω>，因为2πT ω=，所以2ω=．因为π23A ⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 的图象上，所以ππ2sin 2233f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π()6k k ϕ=-∈Z ． 因为π||2ϕ<，所以只有π6ϕ=-满足要求，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………（5分）（2）因为ππ126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以πππ2636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．当ππ263x -=-，即π12x =-时，()f x取得最小值，最小值为π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为存在ππ126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使得不等式()23f x a +≤成立，所以min ()23f x a +≤，即23a +，解得a ≥， 即a的取值范围为32⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭． ……………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：2n n S na n n =+-，则211(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，2n ≥， 两式相减得1(1)121n n n a na n a n -=--+-+，2n ≥，数学参考答案·第6页（共10页）因此1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-，2n ≥， 所以12n n a a --=，2n ≥，故{}n a 是以11a =-为首项，2为公差的等差数列． 12(1)23n a n n =-+-=-∴，*n ∈N ．………………………………………（6分）（2）解：当n 为奇数时，23n n b a n ==-，当n 为偶数时，2n n b n = ． 2013192420()()T b b b b b b =+++++++ ∴2310(1335)(244464204)=-++++⨯+⨯+⨯++⨯ 2310(135)10(244464204)2-+⨯=+⨯+⨯+⨯++⨯2310170(244464204)=+⨯+⨯+⨯++⨯ ，设231010244464204A =⨯+⨯+⨯++⨯ ，① 则23411104244464204A =⨯+⨯+⨯++⨯ ，② ①−②，得23410111032(44444)204A -=+++++-⨯ 101124(14)20414⨯-=-⨯-1158483-⨯-=111058489A ⨯+=∴．故112058481709T ⨯+=+，*n ∈N ．…………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设样本平均数的估计值为x ，则10(400.01500.02600.03700.024800.012900.004)x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． 解得：62x =．所以样本平均数的估计值为62． 前三组的频率和为0.10.20.30.6++=， 前四组的频率和为0.10.20.30.240.84+++=， 第四组的频率为0.24， 所以70%分位数为0.70.6254156510650.2466-+⨯=+=． …………………（4分）数学参考答案·第7页（共10页）（2）因为学生的初试成绩X 近似服从正态分布2()N μσ，，其中6214μσ=≈，． 所以26221490μσ+≈+⨯=．所以1(90)(2)(10.9545)0.022752P x P x μσ=+=-=≥≥．所以估计能参加复试的人数为0.022*********⨯=人． ……………………………（8分） （3）由该学生获一等奖的概率为18可知：218a b =．则21222313(1)C (1)2848P a b a a b a ab a a =-+-=+-=+-． 令213()0148P f a a a a ==+-<<． 322181()244a f a a a a -'=-=．当102a <<时，()0f a '<；当112a <<时，()0f a '>． 所以()f a 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数．所以min 11133()24288f a f ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭．所以P 的最小值为38．…………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：BF ⊥∵平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，BF AE ⊥∴，∵二面角D AB E --为直二面角，且交线为AB ，CB AB ⊥，CB ⊂平面ABCD ， CB ⊥∴平面ABE ，AE ⊂平面ABECB AE ⊥∴，BC BF B = ，BC ，BF ⊂平面BCE ， AE ⊥∴平面BCE ．……………………………………………………………（4分）（2）解：以线段AB 的中点为原点O ，OE ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 平行于AD 的直线为z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系， AE ⊥∵平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，AE BE ⊥∴，在Rt AEB △中，4AB =，O 为AB 的中点，2OE =∴，(020)A -，，∴，(200)E ，，，(024)C ，，，所以(220)AE = ，，，(044)AC =，，，设平面AEC 的一个法向量为()n x y z =，，，图3数学参考答案·第8页（共10页）则00AE n AC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即220440x y y z +=⎧⎨+=⎩，，取1x =，得(111)n =-，，，又平面BAC 的法向量为(100)m =，，，cos 3||||m n m n m n ==，<>=∴， 设二面角B AC E --的平面角为θ，则sin 3θ==， ∴二面角B AC E --的正弦值为3． ………………………………………（8分）（3）解：AD z ∥∵轴，4AD =，(004)AD =，，∴，∴点D 到平面ACE的距离：||3||AD n d n ===． ………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）因为1a =，所以21()e 3e 22x x f x x =-+，可得2()e 3e 2(e 1)(e 2)x x x x f x '=-+=--， 令()0e (12)x f x '<⇒∈，，即(0ln 2)x ∈，， 令()0(0)f x x '>⇒∈-∞，或(ln 2)x ∈+∞，，因此函数()f x 的单调递减区间为(0ln 2)，，单调递增区间为(0)-∞，和(ln 2)+∞，．…………………………………………………………………（5分）（2）由题意可得22()e 3e 2(e )(e 2)x x x x f x a a a a '=-+=--， 因为0a >，所以令()0e (2)x f x a a '<⇒∈，，即(ln ln 2)x a a ∈，， 令()0(ln )f x x a '>⇒∈-∞，或(ln 2)x a ∈+∞，，即函数()f x 在(ln ln 2)a a ，上单调递减，在(ln )a -∞，和(ln 2)a +∞，上单调递增， 252425(ln )2ln 0e 2e 2(ln 2)(2ln 24)0f a a a a f a a a ⎧⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⇒∈⎪⎝⎭⎨ ⎪⎪⎝⎭=-<⎩，，，，数学参考答案·第9页（共10页）当x →-∞时，2211e 3()e 3e 2022x x x af x a a x <⇒=-+<，当x →+∞时，2211e 3()e 3e 2022x x x a f x a a x >⇒=-+>，即函数()f x 存在三个零点从小到大分布在区间(ln )a -∞，，(ln ln 2)a a ，，(ln 2)a +∞，上， 故实数a 的取值范围为524e e 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）依题意得2c =，则1(20)F -，，2(20)F ，，而(2P ，于是122||||a PF PF =+==，从而a =．又222a b c =+，解得2b =， 所以椭圆1C 的方程为22184x y +=．………………………………………（4分）（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点B '，2F B 直线交椭圆于另一点A '，由12F A F B λ=，故12F A F B ∥，由椭圆对称性，21||||BF B F ='，12||||AF A F ='，且四边形ABA B ''为平行四边形． （ⅰ）由题意，直线AB '的斜率不为0，设直线AB '：2x ty =-， 由22228x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 整理得22(2)440t y ty +--=， 设11()A x y ，，22()B x y '，，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+， 由121112333F A F B F A F B y y =⇒=-'⇒=-（*），带入上式，解得：1262t y t =+，2222ty t -=+， 故2222124(2)2t t t -=-++，由于3λ=，12||||F A F B > ，所以0t >， 所以1t =，故1F A 的斜率为1．（ⅱ）由22x ty y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，消去x 整理得220y ty -+=，由2()80t ∆=--<得28t <．所以21221)|||2t AB y y t +'=-==+，数学参考答案·第10页（共10页）AB '与BA '间的距离d =（即点2F 到AB '的距离），故12222111)2222AF F BAB A B t S S t t ''+===++ ，[13)s =∈，，函数1y s s =+在区间[13)，上单调递增，所以11023y s s ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，，则12AF F BS t s s s===++⎝+， 所以四边形12AF F B的面积的取值范围为5⎛ ⎝，． ……………………（12分）。
2024届云南三校高考备考实用性联考卷(五)数学答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（五）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BDCBABCD【解析】1．p ：x y ∃∈R ，，333()x y x y +>+，则p ⌝为x y ∀∈R ，，333()x y x y ++≤，故选B ． 2．(3a b -= ，，||a b -= ，()cos ||||a b a a b a a b a -〈-〉==-，2=，故选D ． 3．由题意得，{|43}{31591317}{|37}A x x k k B x x ==-∈=-=-N ，，，，，，，，≤≤，故{315}A B =- ，，，即A B 中共有3个元素，故选C ． 4．当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，22()log log 1f x x a a a =++=≥，因为函数21()1log 1xx f x x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪+⎩，，，≥的值域为R ，所以1a ≤，所以实数a 的取值范围是(1]-∞，，故选B ． 5．如图1，连接AC ，BD ，设1AC BD O = ，因为四边形ABCD 为矩形，所以1O 为矩形ABCD 外接圆的圆心．连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，分别取EF，AD ，BC 的中点M ，P ，Q ，根据几何体ABCDEF 的对称性可知，直线1OO 交EF 于点M ．连接PQ ，则PQAB ∥，且1O 为PQ 的中点，因为EF AB ∥，所以PQ EF ∥，连接EP ，FQ ，在ADE △与BCF △中，易知EP FQ ===形EFQP 为等腰梯形，所以1MO PQ ⊥，且1MO ==．设1OO m =，球O 的半径为R ，连接OE ，OA ，当O 在线段1O M 上时，由球的性质可知222R OE OA ==，易得1O A ==，则222)1m m -+=+，此时无解．当O 在线段1MO 的延图1长线上时，222)1m m +=++，解得2m =，所以22112R OE ==，所以球O 的表面积24π22πS R ==，故选A ．6．设事件1A 表示选到会做的题，事件2A 表示选到有思路的题，事件3A 表示选到完全没有思路的题；设事件B 表示答对该题，则123(|)1(|)(1)5|34P B A P B A P B A ===，，，设事件U 表示答对8个题，则112233521()()(|)()(|)35()(|)1888P U P A P B A P A P B A P A P B A =+++⨯+=⨯12401916⨯=，设事件C 表示将有思路的题目做对，则22()(|)8()()43P A P B A P C P U ==，故选B ．()0f x <不一定成立，故B 错；对C ，函数()0f x =的根即为y a =与函数343y x x =-的交点横坐标．作出函数343y x x =-的图象如图3，当1a ≥或1a -≤时，函数()f x 有1个零点，故C 错；对D ，函数()f x 有3个零点，则11a -<<，3143(123)2i i x x i -==，，，令cos (0π)x θθ=<<，图2图3则314(cos )3cos cos32θθθ-==，所以，π5π7π3333θ=，，，于是，11πcos cos 9x θ== 22331235π7ππ5π7π4π3πcos coscos cos cos cos cos 2cos cos 9999999x x x x x θθ====++=++=，5π4π5πcos cos cos 0999+=+=，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案BCABDABACD【解析】12．对选项A ：如图4所示，连接12A A ，取BC 中点D ，取11B C 中点E ，连接1A E ，AD ，DE ．由等边三角形的性质得BC AD ⊥，由等腰梯形的性质得BC DE ⊥．又AD DE D = ，AD DE ⊂，平面1ADEA ，所以BC ⊥平面1ADEA ．1AA ⊂平面1ADEA ，故1BC AA ⊥，同理2BC AA ⊥，又12AA AA A = ，12AA AA ⊂，平面12A AA ，所以BC ⊥平面12A AA ，正确；对于选项B ：如图5，等腰梯形的高2==，取AB 中点O ，建立如图6所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC △的中心，过1A 作1A G AD ⊥，过E 作EH AD ⊥，22DH O D O H =-13326=-⨯=，3HE ==，所以几何体111ABC A B C -的高为3，所以(100)A -，，，11263A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)B ，，，(00)C，21263B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以11263AA ⎛= ⎝⎭ ，，，(1)0BC =-，21263BB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，设平面22BB C C 的法向量为111()m x y z = ，，，则112111010263m BC x m BB x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+-=⎪⎩，，取x =1m =⎭，所以11102m AA ⎛=+=≠ ⎝⎭ ，所以1AA 与平面22BB C C 不平行，错误；对选项C：1236V =⨯⨯+=⎝⎭，正确；对选项D ：11263B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，103C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，111022B C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，(2)00AB = ，，，21263BB ⎛=-- ⎝⎭，．设平面22AA B B 的法向量为222()n y z x = ，，，图4图5图62222220102AB x n BB x n y ⎧==⎪⎨=-+-=⎪⎩，，取21z =，得到(0)1n = ，，所以直线11B C 与平面22AA B B 所成角θ的正弦值为s in θ==，tan θ=，正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】图7图817．（本小题满分10分）解：（1）1cos 2()2sin cos sin 222xf x x x x x +=--=-- π2sin 23x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x ∈R ∵，()f x ∴的值域为[22---．……………………………（5分）（2）ππ2π2sin 2sin π2sin 2333A B f A B C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-，即2π2sin 03C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由(0π)C ∈，，得π2π2π333C -<-<，2π03C -=∴，即2π3C =，又222222π162cos33c a b ab a b ab ab ==+-=++≥，即163ab ≤，当且仅当a b ==取等号，1116sin 223ABC S ab C =⨯=△≤∴，max ()3ABC S =△∴． ……………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵211(21)20(2)nn n n a na a na n -----=≥， ∴1(2)(1)0(2)n n n a na a n --+=≥， 又0n a >，∴12n n a na -=，即12(2)nn a n n a -=≥． 又32112124622!(2)n n n n a a a a a n n n a a a -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ≥， 且1121!a =⨯，∴2!n n a n = ． ……………………………………………………（6分）12!n n =-． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD DC =，在等边PCD △中，取DC 的中点E ，连接PE ，如图9， 则PE DC ⊥，且PE ⊂平面PCD ，PE ⊥∴平面ABCD ，又AD ⊂∵平面ABCD ，PE AD ⊥∴，已知AD CD ⊥，且PE CD E = ，PE ，CD ⊂平面PCD ，AD ⊥∴平面PCD ， 又AD ⊂∵平面P AD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．图……………………………………………………（6分）9（2）解：过点E 作AD 的平行线与AB 交于点F ，如图10，则DC EF ⊥，又由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的空间直角坐标系，可知：(00P ，，(210)A -，，，(230)B ，，，(010)C ，，，(21AP =- ∴，(040)AB = ，，，(220)CB = ，，，(01CP =-，， 设平面APB 的法向量为111()n x y z =，，，11112040n AP x y y n AB ⎧⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩⊥，，，⊥10y =∴，令1x =12z =，故02)n =，，设平面PBC 的法向量为222()m x y z =，，，22222200x y n CB y n CP+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪⎩⎩ ，⊥，，⊥令2y =，则2x =21z =，故(1)m =，1cos 7||||n m n m n m ===-，<>， 设二面角A PB C --的平面角为θ，则1cos 7θ=．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为100.011000=． 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.95， 所以，一组混合血样呈阳性的概率为10.950.05-=．……………………………………………………………（4分）（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量X ，则16X =，． 由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05，图10则X 的分布列为X 1 6 p0.950.05所以，()(1)1(66 1.25E X p X p X ==⨯+=⨯=）， 总的化验次数为1000()2505E X =； ………………………………（8分）设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量Y ，则111Y =，．10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y 的分布列为Y 1 11 p0.90.1所以()10.9110.12E Y =⨯+⨯=，总的化验次数为1000()20010E Y =， 所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：由椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为12，且点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，在该椭圆上，所以221914a b +=，所以2243a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………………………（4分）（2）证明：设1122()()M x y N x y ，，，，由于该直线斜率不为0，可设1MN L x my =-：， 联立方程1x my =-和22143x y +=，得22(34)690m y my +--=， 0∆>恒成立，根据韦达定理可知， 1212121222693()34342m y y y y my y y y m m -+===-+++ ，，，21122122y yk k x x ==-+，， 2121212111212122(2)(3)3(2)(1)k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++， 121211223()3233()2y y y k k y y y -+-==-++∴，2212121221103k k k k k k k k +=+= ∴．……………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由()e 1x f x x =--，得()e 1x f x =-'， 当(0)x ∈-∞，时，0()()f x x f '<，单调递减， 当(0)x ∈+∞，时，0()()f x x f '>，单调递增．……………………………………………………………（4分）（2）由32(2)4f x x ax -≥得，232e 214x x x ax ---≥，其中0x ≥， ①当0x =时，不等式为：00≥，显然成立，符合题意； ②当0x >时，分离参数a 得，232e 421x x x a x ----≥，记232322233e 4212[(1)e 21]2(1)(e 221)()()x x x x x x x x x x x g x g x x x x -----++----=-'=-=-令22()e 221(0)x h x x x x =--->，则2()2e 42x h x x '=--，2()4(e 1)0x h x "=->，故()h x '单调递增，(0(0))h x h >'='，故函数()h x 单调递增，()(0)0h x h >=， 由()0h x >可得：22e 2210x x x --->恒成立， 故当(01)x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，)0(g x '<，()g x 单调递减； 因此，2max [()](1)7e g x g ==-，综上可得，实数a 的取值范围是2[7e )-+∞，．……………………………………………………（12分）。
云南省三校2023届高三数学联考试题(八)(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知为复数单位，，则的模为（ ）A．B ．1C ．2D ．42.函数的最小正周期为，，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，下列结论中错误的是（ ）A ．函数的单调递增区间为，B．的值域是C ．是的图象的一条对称轴D ．是的图象的一个对称中心3. 老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）A．B．C．D．4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．所有项的二项式系数和为1B ．第4项和第5项的二项式系数最大C ．所有项的系数和为128D ．第4项的系数最大6. 已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为A ．1B ．2C．D．7. 函数在的图象大致是（ ）A． B．C． D．8. 设全集为，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．9.已知，则下列选项中能使成立的是（ ）A．B．C．D．10.在正方体中，下述正确的是（ ）云南省三校2023届高三数学联考试题（八）(高频考点版)云南省三校2023届高三数学联考试题（八）(高频考点版)三、填空题四、解答题A．平面B ．平面C．D ．平面平面11.已知正方体棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．无论M ，N 在何位置，为异面直线B ．若M 是棱中点，则点P的轨迹长度为C ．M ，N 存在唯一的位置，使平面D ．AP 与平面所成角的正弦最大值为12. 热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.根据该走势图，下列结论不正确的是（ ）A ．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B ．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循C ．年月份的方差小于年月份的方差D ．年月份的平均值大于年月份的平均值13.已知函数的图像关于点对称，关于直线对称，最小正周期，则______，的单调递减区间是______.14. 若为奇函数，则实数______.15. 已知向量、的夹角为，，，则的坐标为___________.16. 已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性．(3)解关于t 的不等式：．17. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，．(1)求证：平面PAC ；(2)求二面角的大小．18. 在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.19. 【阅读材料】2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某公司负责生产的A型材料是神舟十三号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为．根据以上阅读材料，解答以下问题：(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合效果更好的模型．回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2附：相关指数的计算公式为：，(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少．附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；②③当时，，．20. 如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，，，，，E为棱PD上一点．(1)求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有成立；(2)若在PB上存在一点H，且，求三棱锥C－ABH的体积。
2024届云南三校高考备考实用性联考卷(六)数学-答案
数学参考答案·第1页（共9页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCACCDBA【解析】1．由题意，{|13}U A x x x =<或≥ ，(){034}U A B = ，， ∴，故选B ．2．(1)i 1i (1)i 12i2i z z z z -=+⇒--=-⇒=-⇒=+，故选C ． 3．由于1sin cos 44αα==，所以22cos sin 2αα+=54-，故选A ．4．由20217n n ->-得2n <或8.5n >，所以8n =时，n S 取得最小值，故选C ．5．由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππ66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵，∴πππ2626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，()[21]g x ∈-，∴，故选C ． 6．设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D '是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即lg 0.6lg 4F F≈'≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选D ．7．连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF △中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5aMF =， 28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =，故选B ．数学参考答案·第2页（共9页）8．因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C = ，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，BC ⊂平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图1所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，下面计算该长方体外接球半径R 的最小值；因为10AB BC = ，所以22220AB BC AB BC += ≥，所以22220525AB BC SC +++=≥，即2(2)25R ≥，所以52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACBCDABDABC【解析】9．因为()()f x f x -=-，所以A 正确；因为1()02f x x x =-=，得2x =，所以C 正确，故选AC ．10．圆M 的圆心为(01)M -，，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为(20)N ，，半径21r =；A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆心(20)N ，到直线AB 的距离5d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，||AB==，C 正确；D 选项，圆心(01)M -，到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确，故选BCD ．图1数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A ，连接11AD A D ，，则11A D AD AB ⊥⊥，平面1111ADD A A D AB AB AD A ⊥= ，，，∴AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ⊥∴平面11ABC D ，1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，AB ∥∴平面11CDD C ，点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，所以B 正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P点的轨迹的长度为π2；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ．对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角．设AC BD O = ，则AC BD ⊥．因为P 是ABC △内（包括边界）的动点，所以当P 与O重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P =∠，当P 与B重合时，DP DB ==最大，此时11sin 13DPD D P ==∠，所以13si 3n DPD ∈⎢⎣∠⎦，，故选ABD ．12．由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0)+∞，上有唯一的极值点且不等于零，又12()mx g x x +'=且0m <，所以当102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ln(2)0m =-->，解得102m -<<，且有12102x x m <<-<，111()ln 12f x x mx '=++∵11222220ln 12()ln 120ln 12x mx f x x mx x mx '=⇒=--=++=⇒=--，，111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<．因为12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在212x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭数学参考答案·第4页（共9页）111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x = 1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x '=+-=+>，所以函数()h x 在(1)+∞，上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-，故选ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为每组小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82．14．a b λ+ 与c 垂直，则()(3)0a b a b λ+-= ，即2233a a b a b b λλ+-- (13)a b λλ=+-30-=，其中π11||||cos 11322a b a b ==⨯⨯= ，代入可解得5λ=-．15．因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+．所以当(0π)x ∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(π2π)x ∈，时，()0f x '<，()f x 为减函数；所以()f x 在[02π]，上的最大值(π)π1b f ==+．又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[02π]，上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-．16．如图2，因为21||||F P F H b ==，所以||2PH a =．因为1sin F PO ∠=，所以1tan 2FPO ∠=，在1Rt PHF△中，1tan 2bF PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=，又因为a=所以b =，所以双曲线方程为22136x y -=．因为tan MON ∠=-，所以sin 3MON ∠=．设00()Q x y ，到两渐近线的距离为12d d ，，则图2数学参考答案·第5页（共9页）220012|2|3x y d d -== ．又因为220026x y -=，所以122d d = ，所以12||||sin sin OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠ ．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B B B =，即23sin 4B =， 又因为ABC △为锐角三角形，所以π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 2B =，所以π3B =．12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =． 选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=， 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=， 又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =， 因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以π3B =．…………………………………………（5分）（2）由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac c a =+，即ac a c =+． 在△ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=， 解得6ac =（3ac =-舍去）．故1π1sin 6232ABC S ac ==⨯=△ ………………………………（10分）数学参考答案·第6页（共9页）18．（本小题满分12分）（1）证明：∵点E 在 AB 上且AB 为直径，AE EB ⊥∴，又ABCD ABE AD AB AD ABCD ⊥⊥⊂平面平面，，且平面∵，AD ABE ⊥平面∴， BE ABE ⊂平面∵，AD BE ⊥∴，又DA AE A = ∵，BE ADE ⊥平面∴． ………………………………（6分）（2）解：当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点， 此时AE BE =，OE AB ⊥， 取CD 中点F ，连接OF ，如图3， 则OF AD ∥，即OF ABE ⊥平面， 又OE AB ⊥∵，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(000)(010)(010)(011)(100)O A B C E -，，，，，，，，，，，，，，∴， (021)(110)AC AE ==，，，，，∴，设平面ACE 的一个法向量为()n x y z = ，，，则200n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1x =，可得(112)n =-，，，平面ADE 的一个法向量为(110)BE =-，，，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3． …………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由题知，当1n =时，113S a ==， 当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥． 因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，图3数学参考答案·第7页（共9页）综上，*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………………………（6分）（2）由（1）知(1)n n n c a b =-*131()122n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩N ，，，，≥所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ①， 23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②， ①−②得23412151111511122222222222n n n n n n nT --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：01p =，212211C 22p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，424413C 28p ⎛⎫== ⎪⎝⎭． ………………………（6分）（2）证明：法一：设2()k n n =∈N ，则22221(2)!1C 2!!2nnn k n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，同理22221222221(22)!1C2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n +++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 因为n ∈N ，所以11222n +≤，所以+212k kp p ，即220k k p p +-≥． 法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2n n k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，数学参考答案·第8页（共9页）因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->； 综上，220k k p p +-≥． ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为x my b =+．联立24y x x my b ⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①， 因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点(40)，， 设点()D x y ，，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=， 所以点D 的运动轨迹为以(20)，为圆心，半径为2的圆（原点除外）． …………（5分） （2）由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB = ，11(12)CA x y =-- ，，22(12)CB x y =--，， 则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++21212121()(2)()2516y y y y m y y b =+-++-+③， 将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+．当32(1)b m -=+时，直线AB 过(52)P -，．当32(1)b m -=-+时，直线AB 过(12)，，此时C 在AB 上，不合题意． 所以直线AB 恒过(52)P -，． 因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD △中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =， 所以||DQ 为定值． 此时Q 的坐标为(30)，，故存在点(30)Q ，，使得||DQ 为定值．………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分12分）解：（1）3()1f x x x =-+，则2()31f x x '=-，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥， 曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为272333184223y x x ⎛⎫+=+⇒=- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<， 故，用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-． …………（5分） （2）将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----， 令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==， 因为2()31x f x '=-，()f x的极小值为0f =>⎝⎭， 因此，()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥， 所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有0 1.35x ≈-，所以320 1.351.353 1.355 1.356()( 1.35)(2.46 5.46 6.756) 3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤ 8.685=-．方法二：3201131516()(1)3 2.728.16e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤．320 1.51.53 1.55 1.56272715()( 1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：≤8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-．…………………………………………（12分）。
云南省2022年数学三校生期末考试
云南省2022年数学三校生期末考试一、填空题。
(共23分)1、4∶()===24÷()=()%2、如果a×=b×=c×=d×(a、b、c、d都大于0)，那么a、b、c、d中，()最大，()最小。
3、六(1)班女生人数是男生的45，男生人数是女生人数的()%，女生比男生人数少()%。
4、一项工程，甲每月完成它的512，2个月完成这项工程的()，还剩下这项工程的()。
5、一种大豆的出油率是10%，300千克大豆可出油()千克，要榨300千克豆油需大豆()千克。
6、()乘6的倒数等于1;20吨比()吨少;()平方米比15平方米多13平方米。
7、冰化成水后，体积减少了112，水结成冰后，体积增加()。
8、一种电扇300元，先后两次降价，第一次按八折售出，第二次降价10%。
这种电扇最后售价()元。
9、一根绳子长8米，对折再对折，每段绳长是()，每段绳长是这根绳子的()。
10、一个长方体棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是5：3：2。
这个长方体的体积是()立方厘米。
11、化简比，并求比值。
5.4：18;20分钟：2小时;3吨：600千克.化简比是：()()()比值是：()()()二、判断。
(共5分)1、两个长方体体积相等，表面积就一定相等。
()2、男生人数比女生多，女生人数则比男生少。
()3、一千克糖用去25千克后，还剩下它的60%。
()4、一件商品先涨价10%，再降价10%，现价与原价相同()5、如果a∶b=30，那么∶=5。
()三、选择题。
(共5分)1、一个长方体有4个面的面积相等，其余两个面一定是()。
A.长方形B.正方形C.无法确定2、甲数的17等于乙数的18，甲数、乙数不为0，那么甲数()乙数。
A.大于B.小于C.等于D.无法确定3、一年前王老师把3000元钱存入了银行，定期2年。
年利息按2.25%计算，到期可得本金和税后利息一共()元。
A.3000B.3108C.108D.31354、男生占全班人数的13，这个班的男女生人数比是()。
2023-2024学年云南省三校高三(上)联考数学试卷(一)+答案解析(附后)
2023-2024学年云南省三校高三（上）联考数学试卷（一）1.已知集合，，则集合( )A. B. 或C. D. 或2.已知复数，则z的虚部是( )A. B. C. D.3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于( )A. B. 8 C. 或8 D. 64.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间月近似地满足关系其中a，b为正常数，经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过个月参考数据：( )A. 20B. 27C. 32D. 405.某调查机构对某地区互联网行业进行了调查统计，得到如下该地区的互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计知该地区互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为，现从该地区互联网行业从业人员中选出1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为( )注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生A. B. C. D.6.已知函数的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是( )A. 的图象关于直线对称B. 是奇函数C. 在上单调递减D. 的图象关于点对称7.已知，则( )A. B. C. D.8.已知函数，则单调递增的一个充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.9.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是( )A.B. 直线为函数图象的一条对称轴C. 函数在区间上存在3个零点D. 若在区间上的根为，，则10.点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则( )A. 存在点P，使得B. 弦长AB的最小值为C. 点A，B在以OP为直径的圆上D. 线段AB经过一个定点11.在数列中，为非零常数，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A. 是等方差数列B. 若正项等方差数列的首项，且，，是等比数列，则C. 等比数列不可能为等方差数列D. 存在数列既是等差数列，又是等方差数列12.如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是( )A. 直线可能与平面相交B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为C. 的周长的最小值为D. 当点M是的中点时，CM与平面所成角最大13.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是______.14.已知，设，则函数的最大值为______ .15.曲线过坐标原点的切线方程为______ .16.双曲线的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为______ .17.已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项.求数列的通项公式；设，为数列的前n项和，记，求的取值范围. 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A；若，求周长的取值范围.19.如图，在四棱锥中，已知，证明：平面AOP；若，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.20.某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸单位：得到如表统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线甲49232824102乙214151716151完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？一等品非一等品合计甲乙合计将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这2个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附，其中；21.已知椭圆的左、右顶点分别为、，T为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且求椭圆C的标准方程；设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.22.已知当时，求函数的单调区间；当时，证明：函数有且仅有一个零点.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，得或，则或，又，所以或故选：解一元二次不等式化简B，再根据并集的定义可求出结果．本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，集合的描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的乘除法法则，对z化简，再结合虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可得，解得，再由可得，故选由求出的值，进而得到的值，再由运算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求出，是解题的关键，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：依题意列方程组得，解得，，所以，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以故选：根据v和t的两组值求出a，b，再根据求出t，即可得解．本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，由统计图可知，，所以，所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为故选：记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，根据统计图求得，，再根据条件概率的定义即可求解．本题考查条件概率相关知识，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，，所以，又，所以，所以，所以，所以的图象不关于直线对称，故A错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，所以不是奇函数，故B错误；令，得，当时，得函数在上单调递增，所以函数在上不单调递增，故C错误；令，得，当时，可得函数的图象关于点对称，故D正确．故选：先根据函数的图象关于直线对称，由，，求得，从而得到，然后再逐项判断．本题考查了三角函数的图象性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：，，，所以，，所以故选：，，作商，利用基本不等式可得，得，根据对数函数的单调性可得本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由且，令，要使单调递增，即恒成立，当时满足题设；当，可得，则，满足题设；综上，使单调递增，则，A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件．故选：对函数求导，根据单调递增有在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为，所以，所以周期，故A正确；对于B，因为为偶函数，所以，又，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，又在区间上的根为，，所以，故D错误．故选：根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误．本题考查了抽象函数的奇偶生、单调性及周期性，属于中档题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，设，则，当且仅当时，等号成立，因为，，，，所以，所以，所以，故不存在点P，使得，故A不正确；对于B，根据圆的对称性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以故B正确；对于C，因为，，所以OP既是直角三角形OAP的外接圆的直径，又是直角三角形OBP的外接圆的直径，所以点A，B在以OP为直径的圆上，故C正确；对于D，设，则OP的中点为，所以以OP为直径的圆的方程为，即，因为AB是圆与圆的公共弦，所以直线AB的方程为：，当时，，所以直线AB：过定点，因为定点在圆内，所以线段AB经过定点，故D正确．故选：对于A，设，根据得，，得，可得A不正确；对于B，根据四边形面积关系列式求出，根据可求出，可得B正确；对于C，用以OP为直径的圆的方程和圆相减得公共弦所在直线方程，可得定点坐标，可得D正确．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，因为，，，，所以不是等方差数列，故A错误；对于B，因为，，，所以，，因为，，是等比数列，所以，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，则当时，且，若，则，则，不合题意，若，则，得，又，所以为常数，必有，与假设矛盾，故存在数列既是等差数列，又是等方差数列．故D错误；对于C，设等比数列的公比为q，则，则当时，，若为常数，则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确．故选：根据等方差数列的定义依次分析、运算四个选项可得答案．本题考查数列中的新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A，连，AC，，，，因为，平面，平面，所以平面，同理得平面，又，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A错误；对于B，过点M作，垂足为E，作，垂足为F，易得，因为平面ACD，所以平面ACD，，因为平面，所以平面，因为，，所以，所以故B正确；对于C，的周长为，，则最小时，的周长最小，将平面与平面展成同一平面，如图：当点A，M，C共线时，最小，作，交AB的延长线于N，则，，则，所以，即的周长的最小值为，故C错误；对于D，当点M是的中点时，，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以CM与平面所成角为，为最大角，故D正确．故选：对于A，根据线面平行和面面平行推出平面，故A错误；对于B，根据等体积法求出两个三棱锥的体积之和可得B正确；对于C，将平面与平面展成同一平面，根据点A，M，C共线时，最小，计算可得C错误；对于D，当点M是的中点时，可证平面，从而可得D正确．本题考查了空间点线面位置关系、空间角的求解，考查了空间想象能力、转化思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为故答案为：结合正态分布特点先求出，再结合独立重复试验的概率公式，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：，由，得，即的定义域为，令，因为，所以，所以在上为增函数，所以时，故答案为：由，求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值．本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于中档题15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，则过切点的切线的斜率为，切线方程为，又切线过原点，，即，解得，切线方程为故答案为：求出原函数的导函数，设切点坐标，利用导数得到过切点的切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，即可求得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，设切点是关键，是中档题．16.【答案】2【解析】解：双曲线的左焦点为，渐近线方程为，设F关于的对称点为，由题意可得，且，可得，代入可得，，则离心率故答案为：设双曲线的左焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．17.【答案】解：设公比为q，依题意得，得，解得或，当时，，，，不合题意，当时，，，满足，故由得，则，所以，所以，由于，得，所以，故的取值范围是【解析】根据等比数列的通项公式和等差中项列式求出和q可得结果；由等差数列求和公式求出，再根据裂项求和法求出，可得的取值范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以，因为，所以，得，即由知，，由正弦定理得，，所以，，所以，因为，所以，所以故【解析】利用正弦定理化边为角，并结合诱导公式与二倍角公式，化简可得，再根据A的取值范围，得解；由正弦定理得，，再利用三角恒等变换公式，推出，然后根据B的取值范围，并结合正弦函数的值域，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：在中，，所以所以，所以，所以又，所以又，OP，平面AOP，所以平面由知平面AOP，又平面OABC，所以平面平面AOP，又，所以，以OC为x轴，OA为y轴，过O且垂直于平面OABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．在直角三角形AOC中，，所以，在中，，则，所以，所以，又，所以又设平面POC的法向量，由，得，令，则，所以，设平面PAB的法向量，由，得，令，则，所以，所以，所以平面POC与平面PAB所成角的余弦值为【解析】计算可得，又，由线面垂直的判定可得平面以OC为x轴，OA为y轴，过O且垂直于平面OABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果．本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求两平面所成角的余弦值，考查了转化思想，属中档题．20.【答案】解：由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180，，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P；由已知零件为三等品的频率为，设余下的40个零件中三等品个数为X，则，，设检验费用与赔偿费用之和为Y，若不对余下的所有零件进行检验，则，所以若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为元，，应对剩下零件进行检验．【解析】作出列联表，求出，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和由二项分布可知，求出，分别求出对剩下的所有零件检测和不检测的费用，比较大小即可求解．本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：不妨设T的坐标为，则，则，又、，则故可得，可得，故可得椭圆C的方程为解：因为，且、均为非零向量，则当点A、B均为椭圆C的顶点时，则；若直线OA、OB的斜率都存在时，设直线OA的方程为，则直线OB的方程为，联立可得，所以，，同理可得，此时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故当时，的面积存在最小值，且最小值为【解析】设T的坐标为，可得出，利用斜率公式结合可求出的值，即可得出椭圆C的标准方程；分析可知，分两种情况讨论：①当点A、B均为椭圆C的顶点时，直接求出的面积；②直线OA、OB的斜率都存在时，设直线OA的方程为，则直线OB的方程为，求出、关于k的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，综合可得出结论．本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆相交的位置关系，联立方程，利用三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．22.【答案】解：当时，，函数定义域为R，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；证明：当时，，函数定义域为，可得，不妨设，可得，所以函数在上单调递增，又，所以存在唯一一点，使，此时，即，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，极大值，不妨设，可得，所以函数在上单调递减，此时，则函数在内无零点，又，所以在内有且只有一个零点，综上，有且只有一个零点．【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；将代入函数的解析式中，利用导数判断单调性，求出极值，再结合零点存在性定理进行求证即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．。
2024届云南省三校高三下学期高考备考联考(七)数学试卷及答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A BCD C A C【解析】1．由{|1}A x x =-≤≤0，得{|1U A x x =<- 或0}x >，而{1134}B =-，，，，依题意，阴影部分表示的集合(){134}U A B = ，， ，故选B ． 2．设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故1i z =-，故1i 1i 2++-=，故选A ．3．由题知，222||1()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++= ，，所以1π2cos 1cos 23θθθ===，，，故选B ．4．由题意可知A ：两人都没选择篮球，即4416(5525P A =⨯=，所以9()1(25P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则428()5525P AB ⨯==⨯，所以8()825(|)9()925P AB P B A P A ===，故选C．5．如图1所示，高线为MN，由方斗的容积为28升，可得128(4163MN =++ ，解得3MN =．由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB ==，AB =，侧面积为，所以方斗的表面积为2(20s =+，故选D ． 6．设a ，b ，c 分别为角A，B ，C 所对的边，在ABC △中，由正弦定理可得，22sinsin sin a b c R A B C ====，所以sin 2c C =，11sin 22244ABC c abc S ab C ab ==== △ =，故选C ．图1数学参考答案·第2页（共10页）7．根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以1234n a n =+++++(1)(2)2n n n +=≥，经检验11a =符合上式，所以(1)()2*n n n a n ∈+=N ，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则11121223n S ⎡⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ 1111223411n n n ⎤⎛⎫⎛⎫+-++-=- ⎪ ⎪⎥++⎝⎭⎝⎭⎦，所以3026023131S =-=，故选A ． 8．根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()e ln x g x x x x =--，(0e)x ∈，，则函数e (n )l xf x x x a x =---在(0e)，上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点．111(1)(e 1)()e e 1e (1)(1)e x x xx x x x x g x x x x x x x x ++-⎛⎫=+--=+-=+-= ⎪⎝⎭'，令()e x h x x = 1-，(0e)x ∈，，则()e e 0x x h x x ='+>，故()h x 在(0e)，上单调递增，因为(0)10h =-<，(1)e 10h =->，所以存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0h x =，即00 e 10x x -=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，0()0h x <， ()0g x '<，()g x 单调递减，当0e x x <<时，0()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0min 000000()()e ln 11x g x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x →+∞，故(0e)x ∈，，()[1)g x ∈+∞，，所以1a ≥，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号9 10 11 答案AB AD ABD【解析】 9．对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A正确；对于B ，根据方差公式2222121[(()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，可知若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0，则12n x x x === ，B 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于D ，2χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB ．数学参考答案·第3页（共10页）10．对A ，由(0)1f =-，1ϕ=-，即sin 2ϕ=，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ=-∴，又()f x 的图象过点π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω-=∴，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，2ω=∴，所以π5π()2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，则5π5π23π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ2k +，k ∈Z ，方程()1f x =在(0)m ，上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π424242，，，，，，而第7个根为13π4，所以5π13π24m <≤，故D 正确，故选AD ． 11．对A 选项：当αβ⊥时，因为l αβ= ，AC l ⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为BD l ⊥，AC AB BD ==，所以AD ==，所以sin 3AC CDA CD ∠===，故A 正确；对B 选项：如图2，过A 作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB DE ∥，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE BD ∥，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠=︒，由AC l ⊥、AE l ⊥、AC AE A = ，且AC ，AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE l ∥，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥．由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠=︒，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠=︒，即直线AB 与CD 所成角为45︒，故B 正确；对于D ，如图3，作AE BD ∥，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC △中，易得CE =，在ACE △中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，图2 图3数学参考答案·第4页（共10页）120CAE ∠=︒，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得2CO =，1HO =，2CH =，所以cos 7OH CHO CH∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠=︒，如图4，分别取线段AD ，AE 的中点G ，M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE △的外接圆半径112sin120r =⨯=︒，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π3R =C 错误，故选ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】 12．含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x -+-=- ，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，23458a a a a +++=∴．13．()f x 定义域为210x b +>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-．14．如图5，伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C ，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由OF BC ⊥,||||OF OB ==，得||a c BF +==45FBC∠=︒，||2AB a =，||BC =，在ABC △中，60BAC ∠=︒，则75ACB ∠=︒，1sin 75sin(4530)2︒=︒+︒=+ 图5 图4数学参考答案·第5页（共10页）4+=，由正弦定理得，2sin 75sin 60a =︒︒，解得2a =，则2c -=，所以该椭圆的离心率2ce a== 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）圆1C ：22(3)1x y ++=的圆心为1(30)C -，，半径为1， 圆2C ：22(3)1x y -+=的圆心为2(30)C ，，半径为1， 设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则12||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（2分）可得21||||2CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则21||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（4分）可得12||||2CC CC -=； 综上所述：12||||||2CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1a =，3c =， 可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=．……………………………（6分）（2）联立方程22180y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 消去y 得227280x mx m ---=， ………………………………………（8分）则222428(8)32(7)0m m m ∆=++=+>，可知直线与双曲线相交，………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）如图6，设1122()()A x y B x y ，，，，线段AB 的中点为00()M x y ，， 可得12027x x m x +==，0087m y x m =+=，即877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，， ………………………………………………………（11分）且877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±， 又0m >，所以实数m 的值为7． ………………………………………（13分）16．（本小题满分15分） 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，21()2a f x x x -'=+， ……………………………………………………（1分）又曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线12y x =-垂直，所以(1)122f a -+'==，即1a =． ………………………………………（3分）1()ln 2f x x x x =++∴，2(1)(21)()(0)x x f x x x +-=>'， 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，， 由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………………………（6分）（2）由（1）知不等式()22mf x x x+≥恒成立， 可化为1ln 222m x x x x x+++≥恒成立，即ln 12m x x + ≤恒成立．………………………………………………………（8分）令()ln 1g x x x =+ ，……………………………………（10分）当1e 0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．………………………………………………………（12分）图6数学参考答案·第7页（共10页）所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-． ……………………………………（13分）由ln 12mx x + ≤恒成立， 得22e m -≤，即实数m 的取值范围是22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，． ………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB MC ，，由已知可得12AM MF MD BM CM ====，，，……………………………………………………………（2分）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD FM =⊂，平面ADEF ， FM AD FM ⊥⊥，∴平面ABCD ， ……………………………………………………………（4分）MB MC ⊂，∵平面ABCD FM MB FM MC ⊥⊥，，∴，BF CF ==∴ 222BF CF BC +=，∴BF CF ⊥∴．…………………………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(130)(021)(011)C E F ，，，，，，，，，……………………………………………………………（8分）(011)(111)(010)AF CE EF ==--=- ，，，，，，，，∴，……………………（9分） 设平面CEF 的法向量为()n x y z = ，，，则00n EF y n CE x y z ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩，，令1x =得(101)n =，，， …………………………………（12分） 设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，||1sin |cos |2||||AF n AF n AF n θ=〈〉===，．………………………（14分）ππ026θθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，∵∴，即直线AF 与平面CEF． ……………………………（15分）图7数学参考答案·第8页（共10页）18．（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==． …………………………………………………………（3分）（2）由题可知ξ可取123，，，221123222222224444C C C C C 7(1)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（4分）221123222222224444C C C C C 7(3)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（5分） 11(2)1(1)(3)18P P P ξξξ==-=-==， ………………………………………（6分）所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为………………………………………（8分）（3）记1n a -为第(2)n n ≥号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，……………………………………………………………（9分）1n b -为第(2)n n ≥号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211318b b ==，…………………………………………………………（10分）则第(2)n n ≥号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----， 且12222211(1)(3)322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，………………………………………（12分）得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，， 而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，数学参考答案·第9页（共10页）所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………（15分）因此111111()123(1)322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）①解：因为(021)A ，，，(132)B -，，， 则021402032(112)132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- ，，．……………………………………………………………（3分）②证明：设111()A x y z ，，，222()B x y z ，，，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i z ⨯=++--- 122112211221()z z x z x x y x y y z y --=-，，， 将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换， 可得211221122112()OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，，， 故(000)0OA OB OB OA ⨯+⨯== ，，．………………………………………（7分）（2）证明：因为sin AOB ∠==OA OB =，故1||||sin 2AOBS OA OB AOB =∠=△， 故要证1||2AOBS OA OB =⨯△，只需证||OA OB ⨯= 即证2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=- ．数学参考答案·第10页（共10页）由（1）111()OA x y z = ，，，222()OB x y z =，，，122112211221()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，，， 故2222122112211221||()()()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又2222111||OA x y z =++ ，2222222||OB x y z =++ ，22121212()()OA OB x x y y z z =++ ，则2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-成立， 故1||2AOB S OA OB =⨯△． ………………………………………（13分）（3）解：由（2）1||2AOB S OA OB =⨯△， 得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1||2|2||2|AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⨯=⨯△， 故21()||63AOB OA OB S OA OB ⨯=⨯⨯△，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB △为底面、||OA OB ⨯为高的三棱锥体积的6倍． ………………………………………（17分）。
2023-2024学年云南省三校高三高考实用性联考卷(八)数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2023-2024学年云南省三校高三高考备考实用性联考卷（八）数学试题已知，是方程的两个复根，则A. 2B. 4C. 2iD. 4i 2.已知集合，，若，则( )A. 0或1B. 1或2C. 0或2D. 0或1或23.有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在前排，乙同学站在后排的概率为( )A. B. C.D. 4.平面向量与的夹角为，已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )A.B.C.D.5.已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，如图，过的直线交E 于P ，Q 两点，且轴，，则E 的离心率为( )A. B. C. D.6.已知正四棱锥的高为h ，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高h 的值为( )A. 2B.C. 4D.7.定义方程的实数根x叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为m，n，则m，n的大小关系为( )A. B. C. D.8.若，则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，都是定义在R上且不恒为0的函数，则( )A. 为偶函数B. 为奇函数C. 若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D. 若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数10.已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则11.在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于A，B两点.则( )A. 若A点的横坐标为，B点的纵坐标为，则B.C.D. 以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为12.已知在长方体中，，，点P是四边形内包含边界的一动点，设二面角的大小为，直线PB与平面ABCD所成的角为，若，则( )A. 点P的轨迹为一条抛物线B. 直线与直线CD所成角的最大值为C. 线段PB长的最小值为3D. 三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2018年云南省高等职业技术教育招生考试试题
数 学
一．选择题（每小题2分，共40分）
1．若0a b <<，则2()b a a b -+-可化简为（ ） A ．0 B ． 22b a - C ．22b a + D ．22a b -
2．若31,31a b =+=-，则b a a b
+=（ ） A ． 4 B ．3 C ．2 D ．1
3．设842,3,4,a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ． a b c <<
B ． b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
4．已知命题p ：{22,}2k k k z π
απαππ+<<+∈；q ： {tan 0}αα<，那么p 是q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．即充分而不必要条件
5．集合{05,}x x x ≤≤且为奇数的的真子集个数是（ ）
A ． 9
B ．8
C ．7
D ．6
6．集合A=2{2430},x x ax a -+-= B={},x x R ∈若A B φ⋂=,则a 为（ ）
A ． 13a a <>或
B ． 13a ≤≤
C ．13a <<
D ．13a a ≤≥或
7．23x -<的解集在数轴上表示为
8．已知函数23(1)3y x =-+的图象是由函数23y x =的图象移动得到，其方法是（ ?）。
A ．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
9．以下函数中， 是奇函数（ ）
A ． 2()cos f x x x =+
B ．()sin f x x x =+
C ．1()sin f x x x
=⋅ D ． 2()sin f x x x e =++
10．已知角α的终边过点（5,12），则2cos 32
α-= （ ） A ． 3013- B ．3013 C ．169482 D ．169482
- 11．已知1tan 42tan 2
αα
+=，则cos()2πα-= A ． 1 B ．
12
C
D
13
．已知4,8,a b a b ==⋅=r r r r 且 则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ） A ． 6π B ． 4π C ．3π D ． 2
π 14．设直线1l 经过点（4,1），并与直线2:240l x y +-=平行，则直线1l 的方程为（ ）
A ． 132y x =+
B ．3y x =+
C ．33y x =+
D ． 132
y x =-+ 15若两条直线(88)20256(412)30m x y m x m y ++=---+--=与重合，则m =（ ）
A ． 43
B ． 0
C ．32
D ． 12
16．圆：22440x x y y ++-=与y 轴的位置关系是（ ）
A ． 相交不过原点
B ．相交过原点
C ．相离
D ． 相切不过原点
17．若椭圆的短轴是长轴的13
，则椭圆的离心率是（ ） A ． 35 B ．
C ．12
D ．
18．在直径为6cm 的圆柱体杯中，放入一个半径为2cm 的钢球并完全沉于水中，此时圆柱体杯中水位上升的高度是（ ）
A ． 3227cm
B ．1627cm
C ．827cm
D ．427
cm 19．已知等差数列{}n a 中，101925,3s a a =+=，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ． 1722n -
B ．722n -
C ．2n
D ．2217n + 20．25(12)(13)i i -++的共轭复数是（ ）
A ．-2
B ．27i -+
C ．2i -+
D ．i -
二．填空题（每小题2分，共20分）。
21．已知集合A=2
1025}y x x =-+-{函数的单调区间，B={51}x x ->，则A B ⋂=
22．不等式组6025lg(23)1
x x x -⎧≥⎪-⎨⎪-<⎩的解集为
23函数3(3)3
x y x x =≠-的反函数是 ． 24
．函数lg(21)y x =++的定义域为 ． 25．若函数21y x bx =++顶点的横坐标为
12
，则函数最小值为 ． 26．已知12lg3,lg 2,lg5lg 5
a b c ====，则 ． 27．设函数2211()3f x x x x -=++，则(2)f = ． 28
．函数sin 3y x x =+的周期是 ．
29．已知圆锥体与半径为2的圆柱体底面积，高相同，母线比为5:4则圆锥体的体积为 ．
30．数列3，27，53，81，111，⋅⋅⋅的一个通项公式为 ．
三．解答题
31．在-2和7之间插入m 个数之后，构成与首项为-2的等差数列{}n a ，且13m s =，求m 的值和从第几项开始0m s >．
32．A 、B 两个桶里都放有液体，第一次把A 里桶的液体往B 桶里倒，使B 桶里的液体加倍，第二次把B 里桶的液体往A 桶里倒，使A 桶里所剩的液体加倍，第三又次把A 里桶的液体往B 桶里倒，使B 桶里所剩的液体加倍，这样一来，两桶里各有液体48升，问A 、B 两桶里原有液体各是多少升？
33．已知1sin()cos()1,sin(
)cos(),,224
πππαπββααβ---=-+-=，是第一象限的角，求：（1）sin cos αβ和的值；
（2）证明：sin(2)sin αββ+=．
34．在△ABC 中最大角C 是最小角B 的二倍，三边长,,c a b 成等差数列，求,,a b c ．
35．已知顶点在原点，焦点在x 轴上开口向右的抛物线被直线:1l y x =+，求抛物线的方程．。