高一数学集合与子集、全集、补集人教版 知识精讲

高一数学集合与子集、全集、补集人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容
集合与子集、全集、补集
二. 教学目标
1. 理解集合的概念，知道常用数集及其记法；
2. 了解“属于”关系的意义；
3. 了解有限集、无限集、空集的意义；
4. 了解集合的包含、相等关系的意义；
5. 理解子集、真子集、补集的概念以及全集的意义。

三. 重点和难点
本讲重点是集合的基本概念与表示方法，子集与补集的概念。

难点是集合的两种常用表示方法即列举法与描述法的运用以及弄清元素与子集、属于与包含之间的区别与联系。

【例题讲解】
[例1] 下列条件能够确定一个集合的是（ ）
A. 比较小的正数的全体
B. 由太阳、风、水、火组成的整体
C. 充分接近2的实数全体
D. 高一年级中身材较高的同学组成的整体 解：此题正确选项应为B 。

集合是由某些指定的对象集在一起而构成的。

它是一个原始的数学概念，我们只能给出它的一个描述性的定义。

集合具有三个重要性质，即集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，这三个性质也称为集合的三要性。

根据集合的概念，集合中的元素的形式是没有限制的，即使元素之间没有关联，也可以形成一个集合，如选项B 。

集合的要点是它的元素必须是确定的，即任何一对象要么是某给定集合的元素，要么不是其元素，二者必居其一。

选项A 、C 、D 不能构成集合的原因是整体中的对象不明确，不满足集合中的元素的确定性原则。

[例2] 已知集合{
}
y x y x x A -⋅=,
,与集合{}y x B ,,0=表示同一集合，
求x 、y 的值。

解：（1）若0=x ，则{
}
y A -=,0,0，这与集合中元素的互异性矛盾，故0≠x 。

（2）若0=⋅y x ，由0≠x ，则0=y ，此时，{}
0,,0x B =，与互异性矛盾，
故0≠y 。

（3）若0=-y x ，则y x =，此时{}
0,,2
x x A =，{}
x x B ,,0=故x x =2
，
解得1±=x 。

若1=x ，则{
}0,1,1=A B =，与互异性矛盾。

若1-=x ，则{}0,1,1-=A B =适合。

综上，1-==y x
[例3] 设{
}042
=+=x x x A ，{
}
01)1(22
2=-+++=a x a x x B
（1）若A B ⊆，求实数a 的取值集合；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合；
解：解方程042
=+x x ，则0=x 或4-=x ，故{}4,0-=A
（1）若A B ⊆
① 当φ=B 时，由0)1(4)1(42
2
<--+=∆a a ，则1-<a
② 当φ≠B 时，由B ∈0，则012
=-a ，故1±=a 。

若1=a ，则{}4,0-=B A ⊆ 若1-=a ，则{}A B ⊆=0
由B ∈-4，则0782
=+-a a ，故1=a 或7=a 若1=a ，则{}4,0-=B A ⊆
若7=a ，则{}A B ∉--=12,4 故 7=a 不合题意，舍去。

综上，a 的取值集合为{}
11-<±=a a a 或
（2）若B A ⊆，则{}4,0-=B ，由韦达定理可得1=a ，故a 的取值集合为{
}1。

[例4] 已知{}
2,3,1,22
--+-=a a a I ，R a ∈，I A ⊆，{}4=A C I ，试求集合A 。

解：由I ∈4，则43=+a 或422
=--a a
（1）当43=+a ，即1=a 时，222
-=--a a ，此时{}2,4,1,2--=I 与互异性矛盾。

（2）当422
=--a a 即2-=a 或3=a 时
若 2-=a ，则13=+a ，{}4,1,1,2-=I ，与互异性矛盾。

若3=a ，此时{}6,1,2-=A 满足条件，综上，{}6,1,2-=A
【模拟试题】
一. 选择题
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. {}5,4和{}4,5是两个不同的集合；
B. {}
012=++∈x x R x 是空集； C. 若N a ∈，*
N b ∈，则b a +最小值为2；D. 小于10的偶数集合是有限集； 2. 若集合{}
R x x kx x A ∈=++=,0442只有一个元素，则A 中实系数k 值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 以上均不对
3. 设集合U 为全集，集合M 、N ≠
⊂U ，且N M ⊆，则下列各式成立的是（ ）
A. N C M C U U ⊇
B. M M C U ⊆
C. N C M C U U ⊆
D. M N C U ⊆
4. 设{}z n n x x S ∈==,2，{}
z n n x x P ∈+=,24，则下列关系正确的是（ ） A. P S ⊆ B. P S = C. S ≠⊃P D. S ≠
⊂P
二. 填空题
5. 以下关系正确的是
① {
}φφ∈且φ≠
⊂{}φ ② {}φ⊆0且{}φφ⊆ ③ {}00=且{
}φφ= ④ {}0∈φ且{}φ∈0 6. 已知R U =，{}
53<<=x x A 则=A C U =)(A C C U U
三. 解答题
7. 已知{}
4*<∈=x N x A ，{}
A b b a b a
B ∈=+=,1),(2
，试用列举法表示集合B
【试题答案】
一.
1. B
2. C
3. A
4. C 二.
5. ①
6. {}53≥≤x x x 或 {}
53<<x x
三.
7. 解：{}3,2,1=A ，B={（0，1），（-3，2），（-8，3）}。