求线性目标函数的取值范围或最值.docx
2017-2018学年高中数学北师大版必修5课件：求线性目标函数的最值
题型一
题型一
题型二
题型三
令 y=− ������ +
3
2
������ -1 3
, 要使z 取得最大值,
2
只需将直线 l0:y=− ������平移至经过点A. 3 ������-������-2 = 0, 联立 得A(3,1). ������ + 2������-5 = 0, 故 zmax= 2×3+3×1+ 1=10.
题型一
题型二
题型三
由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为
1 z-1,且随 2
1 2
1 2
1 2
z 变化的一组平行直线.
1 2 1 2 1 2
由图可知,当直线 y=- x+ z-1 经过可行域上的点 A 时,截距 z-1 最小,即 z 最小, 解方程组 ������ = -2, ������-������ = 1, 得 即 A(-2,-3), ������ + 2 = 0, ������ = -3, ∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6. 最大.∴zmax=x+2y+2=4+2=6. ∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6.
第1课时 求线性目标函数的最值
1.了解线性规划的意义. 2.理解目标函数、约束条件、二元线性规划、可行解、可行域、 最优解等基本概念. 3.会求线性目标函数的最值.
线性规划中的基本概念
名称 意义 约束条件 变量 x,y 满足的一组条件 线性约束条 由 x,y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 件 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式 线性目标函 目标函数是关于 x,y 的一次解析式 数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小 题 值问题
线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。
线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。
最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。
其中一种常用的方法是图形法。
首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。
然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。
通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。
另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。
这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。
单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。
这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。
线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。
在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。
在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。
总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。
通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。
高考数学备考中等生百日捷进提升系列专题07利用线性规划求目标函数的最值(捷进提升篇)原.doc
笫七章不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背重点知识】1.平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集•确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出來，结合图形通过计算解决.2.线性规划问题解题步骤：①作图——画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线/;②平移——将直线/平行移动，以确定最优解的对应点4的位置；③求值——解有关方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，求出目标函数的最值.3.最优解的确定方法：线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当Q0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（--般是两直线交点）的位置得到的；当肚0时，则是向下方平移. 【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）线性目标函数屮的z不是直线亦血=2在），轴上的截距，把H 77目标函数化为y=-x4-二可知一是直线ax+by=z在）•，轴上的截距，要根据b的符号确定目b bb标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.（2）数形结合思想要牢记，作图—定要准确，整点问题要验证解决.（3）求解线性规划屮含参问题的基本方法：线性规划中的含参问题主耍有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数.解决此类问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或収值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件.2.典型例题：0<x<4例1已知关于无,y的不等式组｛x+y-4»0 ,所表示的平面区域的面积为16,则£的Ax-y + 4>0值为（）yni ，例2已知实数兀y 满足ly<2x-\y 如果目标函数z = 的最小值为-1,则实数加等于y<m()A. 7 B ・ 5C. 4D. 3x+y-2<0 例3兀,y 满足约朿条件x-2y-2<0,若z = y-ax^得最大值的最优解不咋二，则实数2x-y + 2>0d 的值为( )A, — — 1 B. — C.2 或 1 2 2【练一练提升能力】 x+yWl1. 已知不等式组表示的平面区域为M,若直线y = kx — 3k 与平面区域M 有公 y>0共点，则k 的取值范围是()2. 给定区域£>：,令点集7 = {(x 0,y 0)e Z)|X 0,>;}G Z,(x 0,y 0)是么二兀+歹在D 上収得最大 值或最小值的点},则T 中的点共确定 _____ 条不同的直线.D. — 3D. 2或一 1 A.丄0 B. (1] -OO —L 3 J L 3」 C. °5 D. 1—OO —— ，3A. -1 或 3B. 1 C ・1或一33.若实数芯)•满足条件(则7 = •的最大值是■【背一背重点知识】已知兀>0, y>0,贝|J（1）如果积xy是定值”，那么当且仅当时，兀+y有最小值是2“（简记：积定和最小）.⑵如果和兀+y是定值卩，那么当且仅当x = y时，小有最大值是厶（简记：和定积最大）.〜〜4【讲一讲提高技能】1•必备技能：（1）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧，使其满足基本不等式中“正"（即条件要求中字母为正数）、“定"不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错课.而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键./ 1 \2（2）.对于公式临，ab< -—要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两j 2丿个公式也体现了cib和a+b的转化关系.（3）.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得：若忽略了某个条件，就会出现错误.2.典型例题：例1若实数x,y满足xy = l f则x2 + 2y2的最小值为 ________________ 例2某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位: 辆/小时）与车流速度u （假设车辆以相同速度u行驶，单位：米/秒）平均车长/（单位：米）的值有关，其公式为F= 27600°VV2+18V +20/（1） ___________________________________________ 如果不限定车型，/ = 6.05,则最大车流量为______________________________________________ 辆/小时；（2） _____________________________________________________________ 如果限定车型,1 = 5,则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_________________________ 辆/小时.【练一练提升能力】2 11..己知x>0,y>0,且一+ —= 1,若x+2y>m2+2m恒成立，则实数加的值取值范圉是（）A. m > 4或加5-2 B・m<-4或加A . [70】 c. [C.3] D. [3.+X )1. 一元二次方程根的判别式；2. 导数的计算公式及求导法则.【讲一讲提高技能】1. 必备技能：恒成立问题的解法：(1) 用一元二次方程根的判别式法.有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题，若能把 不等式转化成二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解 决.(2) 分离参数求最值法.如果能够将参数分离出來，建立起明确的参数和变量的关系，则可 以利用函数的单调性求解.«>/(%)恒成立Od>.f(x)畑，即大于时大于函数/(兀)值域 的上界.a<f{x)恒成立oaV/GL”，即小于时小于函数/(x)值域的下界.2 .典型例题：例1若函数丄在(丄.+X )是增函数，则a 的取值范围是() x 22. 若 log 4(3^ + 4/?) = log 2 J",贝I J Q + /?的最小值是(A.6 + 2巧B. 7 + 2語 D.7 + 4 巧3. 若正实数满足a + b = l,则() A. 丄+丄有最大值a bB. ab 有最小值丄 4C. y/a 4- y[b 冇最大值 /7D. a 2+b 2有最小值出 2 C. 6 + 4^3不等式恒成立问题【背一背重点知识】\x + 2y-4<0,例2当实数兀，y满足%-y-l<0,时，15处+yW4恒成立，则实数Q的取值范围是X> \y【练一练提升能力】2 1 1A. 10B. 9C. 8D. 7「已知。
线性目标函数最值
。
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线性规划
练习1: 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
2x+y=0 y
解第第线 一 二性 步 步xy规 ： ：划 在 在yx问 平 可题面行1的直域一角内般坐找步标到2x+骤系最y=：中优-3作解O 出所可 对C行 应(12,域 的122)； 点x+y；=3 第的三 最步 大y： 值解 或方 最1程小的值最。优解A(，-1,从-1而) 求出目标函数B(2,-1)
x 1
时,z的最大值和最小值.
y
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1 所 表 示 的 区 域.
2.作直线l0 : 2x y 0
x-4y+3=0 3.作一组与直线l0平行的 直线l : 2x y t, t R
（2）设z=2x+y，则式中变量x,y满足
的二元一次不等式组叫做x,y的
；
z=2x+y 叫做
；
y
3
x+y=1
x-y=0
满足
的解(x,y)都叫做可行解；
0
x
使z=2x+y取得最大值的可行解
且最大值为
；
使z=2x+y取得最小值的可行解
，
y=-1
(-1,-1) ，
(2,-1)
2x+y=0
且最小值为
；
这两个可行解都叫做问题的
探索结论
P108
作业
A6
Y 1
对高考线性规划中常见目标函数最值的探讨.doc
对高考线性规划中常见目标函数最值的探讨韩勇学习了线性规划后，其主要应用于解决目标函数的最值从而解决实际问题, 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱, 解答出错，现将目标函数各类型及解法总结如下：一、目标函数为直线型，如Z = ax^hyx>0例1、已知实数x,y满足约束性条件y>0 ,讨论下列目标函数的最值x+y<\(1)Z = 2x+y (2) Z = 2x-y解：画出可行域，0(0, 0), A(l, 0), B(0, 1)(1)作过原点的直线2x+y = 0,平移直线，\y目标函数看为y = -2x + Z,直线上移Z增大，所以Z在0(0, 0)点有最小值为0,在A(l, 0)有最大值为2(2)作过原点的直线2x-y = 0,平移直线，目标函数看为y = 2x-Z ,直线上移Z变小，所以Z在B(0, 1)点有最小值为-1,在A(l, 0)有最大值为2小结：直线型目标函数的最值，画出可行域，作过原点的目标函数平行移动即可的最值。
二、目标函数为距离型(或距离的平方)，如Z=J(X3)2+()，2)2X-2J<0例2、己知实数x,y满足约束性条件尤+)，-3",求目标函数Z = 的最值x>\解：画出可行域，0(0, 0), A(l「)，B(l, 2), C(2, 1), 2法一：Z = Jr + y2表示的是可行域内动点(X, y)与定点0 (0, 0)连线的距离。
当(x, y)运动到A(l「)时距离最小为龙，当(x, y)运动到B(l,2)时距离最2 2 大为,法二：也可理解为以定点o(o,0)为圆心的动半径的圆与可行域的交点问题。
点A(l,l)是圆与可行域的第一个交点，2半径最小为匝。
点B(l,2)是圆与可行域最2后一个交点，半径最大为右小结：距离型目标函数的最值，关键是找准定点。
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
特别解析汇报：线性规划求最值
特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）．（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-， 变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）分析：将目标函数变形可得124zy x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。
二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），0y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数0y y z x x -==-的 几何意义，当然本题也可设yt x=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32t =， 即得到的最大值是32． 例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，-5 5 3Ox y CA BL31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得2565a b ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此min 33z =。
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题精编版
简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，6，故选A. [答案] A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【对点训练】4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。
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简单的线性 (整数 )规划问题
一. 知识要点：
1.线性规划的基础概念
(1)线性约束条件
约束条件都是关于x, y 的一次整式不等式.
(2)目标函数
待求最值 (最大值或最小值 )的函数 .
(3)线性目标函数
目标函数是关于变量x, y 的一次解析式(整式).
(4)线性规划
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候 , 对应的线性规划问题 , 也称为整数规划问题 .
(5)可行解
满足全部约束条件的解 (x, y).
(6)可行域
全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域 .
(7)最优解
使目标函数取到最大值或最小值的可行解.
注意 :
①线性约束条件即可用二元一次不等式表示 , 也可以用二元一次方程
表示 .
②最优解如果存在 (当然 , 最优解有不存在的情况 ), 其个数并不一定是唯一的 , 可能有多个最优解 , 也可能存在无数个最优解 .
③目标函数 z ax by 取到最优解(最大或最小值)的点,往往出现在可行域的顶点或边界上 .
④对于整数规划问题 ( xゥ, y ), 最优解未必在边界或顶点处取得, 往往
要在可行域的顶点或边界附近寻找 .
⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图 , 从而有助于我们发现最优解 .
二.解题思路 :
解决线性规划问题 , 先要准确作出可行域 , 且明白目标函数表示的
几何意义 , 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点 (或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点 , 而是在它们的临近区域的整点 .
三．求解步骤
①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题 , 则要先正确写出
规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域 ).
②结合目标函数的几何意义 , 将目标函数变形写成直线的方程形式或
写成一次函数的形式 .
③确定最优点 : 在可行域平行移动目标函数变形后的直线 , 从而找到最优点 .
④将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.
四. 高考题演练
x y 10
1. (新课标全国高考 ) 设x, y满足约束条件x y 1 0,则z 2 x 3y 的
x 3
最小值是 ()提示1
A.7
B.6
C.5
D.3
x y2
2. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件x 1,则z2x y 的最大值和
y 0
最小值分别为 ().提示 2
A. 4和3
B. 4和2
C. 3和2
D. 2和0
3.(高考 ) 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排 900 名客人旅行 , A、
B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60人, 租金分别为 1600 元/
辆和 2400 元/ 辆, 旅行社要求租车的总数不超过21 辆, 且B型车不多于 A 型车7辆. 则租金最小为 ().提示 3
A. 31200元
B.36000元
C. 36800元
D. 38400元
y2x
4. (高考 ) 若变量,y满足约束条件, 则x 2 y 的最大值为
x y1
y1
().提示 4
A.5
B. 0
C.5
D.
5 232
3x y 60,
5. ( 天津高考) 设变量x, y 满足约束条件x y 2 0, 则目标函数
y 30
z y 2 x的最小值为()提示 5
A. 7
B.4
C. 1
D. 2
6. (高考 ) 若点 ( ,)位于曲线y x 与y 2 所围成的封闭区域,则 2x y
x y
的最小值是 ().提示 6
A. 6
B.2
C. 0
D.2
x y8,
2y x4
7. (高考 ) 若变量x, y满足约束条件, 且目标函数z 5y x 的
x0
y0
最大值为, 最小值为
b , 则a b 的值是() 提示 7
a
A. 48
B.30
C. 24
D. 16
参考答案 :
提示 1：不等式组表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示 , 其顶点A, B, C的面积可直接算出, 待求面积为
S ABC1AC h1(44
) 1 4 .
V2233
x y 10,
图1
提示 2：不等式组x10,所围成的平面区域如图 2 中阴影部分所
ax y10
示, 面积为 2, 则21AC 1AC a 1 4 a3or 5 其中-5舍
2
去.
图 2
提示 3: 已知可求出
图 3
uuur uuur uuur uuur uuur
OA,OB. 可设 OA(2,0), OB (1, 3), OP(x, y), 则3
1
y
2 x ( x
)
2 3
, 由
1
3x
y 2y 2 3.
3
y
y
3
可行域参考图 3, 所求面积 S 2
1 4 3 4 3.
2
可行域由如下四个子区域拼接而成 :
3x y
3x y ① y 0
y 0
3x y 2y 2 3 y
3x 2 3
3x
y
3x y ② y 0
y 0
3x y 2y 2 3
y
3 x 2 3
3 3
3x y
3x y ③
y 0
y 0
3x
y 2 y
2 3
y
3
2 3
x
3
3
3x y
3x y ④
y 0
y 0
3x y 2 y 2 3 y
3x 2 3
x 0,
提示 4：已知 a 0, b 0, 且当
y
0,
时, 恒有 ax by 1
x
y 1
当 x 0 y 1 by b 1 0 b 1. 同理 , 当 y
x
1 ax a 1
0 a 1.
不等式组
a
1
所围成的平面区域参考图4, 其面积为 1. 0b1
图 4图 5
提示 5: 由不等式组直接作出平面区域见图5,注意直线 kx y 2 0 过
定点 (0, 2). 由平面区域面积为 4, 可知1
22k 2 4 k 1 or 3. 2
其中 -3 舍去 .提示 6：换元法
平面区域 B( x y, x y) ( x, y)
m n m n
22条件 ,m n
(x, y) A0
2
m n
20
m n
A ,可令
m
x y
x
2, 再根据
n x y m n
y
2
1
m1
m n 0, 由此不等式组确定的平
m n0
面区域即为 B(x y, x y) (x, y) A 确定的平面区域,见图6,其面积1
为 1 2 1.
2
图 6图7
提示 7: 平面区域D见上图 7 阴影部分所示 , 直线y kx 1过定点(0, 1)根据平面几何知识可知 , 若直线y kx 1将区域D分成面积相等的两
部分 , 则直线y kx 1只需过 AB 的中点即可.易求中点坐标(3
,
3
) .再
1.22
代入到直线 y kx 1 ,可求 k
3。