7.求线性目标函数的取值范围或最值
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
高二数学线性规划试题
高二数学线性规划试题1.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围（）A．[2,6]B．[2,5]C．[3,6]D．（3,5]【答案】A【解析】作出可行域如图：，并作出，然后平移到过点A（2，0）时z取最小值为：，平移到过点C（2，2）时z取最大值为：，所以z的取值范围为：[2，6]；故选A．【考点】线性规划．2.已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则x－y的取值范围是( ). A．[－2，－1]B．[－2,1]C．[－1,2]D．[1,2]【答案】C【解析】设，即，作出可行域和目标函数基准线；当直线过点时，最大，即取得最小值为-1；当直线过点时，最小，即取得最大值为2；即x－y的取值范围是.【考点】简单的线性规划.3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为．【答案】5【解析】约束条件表示一个三角形ABC及其内部，其中因此直线过点时，目标函数z＝2x＋y取最大值为5.【考点】线性规划4.已知实数满足条件，则的最大值为．【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知点目标函数经过点时取得最大值，且最大值为．【考点】简单的线性规划．5.若实数满足不等式组，则的最小值为。
【答案】【解析】由不等式组作可行域如图，可行域内点的横纵坐标均为非负值，且不同时为0，可知在点C（0,1）处去最小值，将点C 代入，可知最小值为-1．【考点】简单线性规划．．6.若变量、满足约束条件，则的最大值为 .【答案】1【解析】可行域为如图所示三角形内部（包括边界）则【考点】线性规划问题7.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少?【答案】该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.【解析】根据已知条件列出线性约束条件，和目标函数。
线性目标函数的最值
线性目标函数的最值
在线性规划中，我们通常会遇到线性目标函数的最值问题。
线性目标函数是指由线性项组成的目标函数，其中每个变量的系数都是常数。
最值问题要求找出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
在解决线性目标函数的最值问题时，我们可以使用多种方法。
其中一种常用的方法是图形法。
首先，我们将目标函数表示为一个以变量为自变量的直线方程。
然后，我们将所有约束条件表示为线性不等式，并将它们绘制在一个二维坐标系中。
通过观察约束条件和目标函数在图中的关系，我们可以确定目标函数取得最大值或最小值的范围。
另一种解决线性目标函数最值问题的常用方法是单纯形法。
这是一种基于可行解空间的迭代算法，通过不断迭代改善当前解的目标函数值，直到找到最优解。
单纯形法利用了线性规划解的几何特性，通过在可行解空间中移动，逐步接近最优解。
当线性目标函数的变量较多或约束条件较复杂时，我们还可以使用线性规划软件来求解最值问题。
这些软件能够自动解决包含数百个变量和约束条件的线性规划问题，并给出最优解。
线性目标函数的最值问题在实际中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们需要确定如何安排资源以最大化利润或最小化成本。
在运输领域，我们需要确定如何最优地分配货物以最小化运输成本。
在金融领域，我们需要确定如何最优地分配投资以最大化收益。
总之，线性目标函数的最值问题是线性规划中的核心问题之一。
通过图形法、单纯形法或线性规划软件，我们可以解决这类问题，并得出使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。
这些方法在实际中有广泛的应用，能够帮助我们进行有效的决策和资源分配。
高考文数一轮复习经典教案(带详解)第七章 第2节：线性规划
第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．要点梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[友情提示]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0，0)B .(－1，1)C .(－1，3)D .(2，－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C3.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A 坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案 －55.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案 3题型分类 考点突破考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A .－3B .1C.43D .3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【变式练习1】 若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案 π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为()A .0B .1C .2D .3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A .4B .9C .10D .12(2)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3， －1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1k OA ＝32.答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A .1B .2C .4D .8解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【变式练习2】 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A .0B .2C .5D .6(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于()A.54B .－56C .1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)C (2)C考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【变式练习3】 一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎨⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案 600错误! 课后练习A 组 (时间：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A .1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案D2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为()A .1B .3C .5D .9解析 画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9，故选D. 答案 D3.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A .－15B .－9C .1D .9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是()A .[－3，0]B .[－3，2]C .[0，2]D .[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为()A .－12B .－1C .0D.32解析 作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0， 故选C.答案 C6.若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( ) A .0B .－2C .2D .6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎨⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出可行域(图略)，可得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C .1D .2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D. 答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D .5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.10.已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8).12.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 2或－1B 组 (时间：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元D .18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤53，5B .[0，5)C .[0，5]D.⎣⎡⎭⎫53，5解析 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x－u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u 有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5).故选B. 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞16.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。
线性规划章节复习
《简单的线性规划》章节复习编写：高级教师李亚和 审核：高级教师李亚和班级 姓名 成绩一、典例精解1、求线性目标函数的最值例1．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9 2、求平面区域的面积问题例2．在平面直角坐标系xOy 内，已知平面区域A ={(x ，y )|1≤+y x ，且0≥x ，0≥y }，则平面区域B ={(x +y ，x –y )|(x ，y )∈A }的面积为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．41 3、求距离的最值问题例3．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，则22y x +的最小值是（ ）A ．5B ．25C ．1D ．5 4、求斜率的范围问题例4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是（ ）A ．[59，6] B ．-∞(，59] [6，)∞+ C ．-∞(，3] [6，)∞+ D ．[3，6] 5、求线性规划的整点最优解问题例5．设变量x ，y 满足条件3210411,0,0x y x y x y Z x y +<⎧⎪+<⎪⎨∈⎪⎪>>⎩，则y x s 45+=的最小值为 ．6、求参数的范围问题例6．若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．34≥aB ．10≤<aC ．341≤≤a D ．10≤<a 或34≥a例7．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ）A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8] 7、线性规划问题与其他知识的交汇例8．已知D 是由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0302y x y x ，所确定的平面区域，则圆422=+y x 在区域D 内的弧长为（ ） A ．4π B ．2π C ．43π D ．23π例9．在坐标平面内，不等式组22x y x yy x ⎧+≤+⎨≥⎩所表示平面区域的面积为 ．例10．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，所表示的平面区域被直线34+=kx y 分成面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37 B ．73 C ．34 D ．43二、强化训练1．不等式062>--y x 表示的平面区域在直线062=--y x 的（ ）A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方 2．满足2||||≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．133．点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥+-01202022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么||PQ 的最小值为（ ）A ．15-B ．154- C ．122- D ．12- 4．若x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．（–1，2）B ．（–4，2）C ．（–4，2]D ．（–2，4）5．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A ．24B ．4C ．22D ．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是 （ ）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元7．若不等式组502x y y a x -+≥0⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．5a <或7a ≥D ．57a ≤<8．若实数x ，y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，目标函数z tx y =+有最小值2，则t 的值可以为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-9．如果x ，y 满足不等式组 1235x y x y ⎧≤≤⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z x y =-的最小值是（ ）A ．–1B ．–3C ．–4D ．–910．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-m x y x y y x 02 且z =y x +2的最大值为3，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．49D ．3 11．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx a-的最大值是（ ） A ．23 B ．25 C ．16 D ．1412．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22)1()1(-++y x 的最小值是（）A ．2B ．5CD 13．已知实数x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0b ≠，则cb的值为有（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如果实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（ ）A ．2B ．–2C ．15D ．不存在15．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则z =3x +y 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．916．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ．5-B ．1C ．2D ．317．若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从–2连续变化到1时，动直线a y x =+扫 过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．34 B ．1 C ．74D ．2 18．已知O 是坐标原点，若点M （x ，y ）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅的最大值是（ ）A ．-1B ．-12C ．0D ．1 19．设不等式组1x-2y+30y x x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，||AB 的最小值等于（ ） A ．285B ．4C ．125 D ．220．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥42420y x y x x 所表示的平面区域被直线2y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-二、典例精解例1（图1），A （2，0），B （1，1），C （3平移直线0l ：02=+y x （1，1）时，则目标函数y x z +=2例2．解析：令⎩⎨⎧-=+=yx v y x u ，得2v u x +=又(x ，y )∈A ，则由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-+≤u u u 则点（u ，v ）所在的平面区域B 为如图阴影部分，即等腰直角三角形OMN 的点构成．这里N （1，–1），M （1，111221=⨯⨯=∆OMN S 选B ． 例3．解析：由约束条件画出可行域，图3由图形知点B 与原点O 的距离最小．联立方程⎩⎨⎧=+-=011y x x ，得B （1，2因此22y x +的最小值为5．故选D ．例4．解析：画出可行域如图4，为一个∆内部的点构成，三顶点为C （1，3）、A 和B （25，29）．xy 表示可行域内的点（与原点（0，0）连线的斜率， xy例5．解析：依约束条件作出可行域，如图5阴影部分．平移直线0l ：045=+y x 到1l ，使1l 过可行域内点A ，由方程组⎩⎨⎧=+=+114023y x y x ，解得P （59，1023）．因为当直线y x s 45+=平移时，从P 点起向左下方移动时第一个通过的整点是 A （2，1），所以A （2，1）是所求的最优解．故141425max =⨯+⨯=s ． 点评：本题易出现错误，59110234595max ==⨯+⨯=s 18.2错误． 例6．解析：由不等式前三个不等式画出可行域，即ABC ∆的边界及内部的点构成，三顶点分别为A （0，x0）、B （1，0），C （32，32）．第四个不等式a y x ≤+，表示的是斜率为-1的直线的下方，所以当10≤<a 时，表示的平面区域是一个三角形；当34≥a 时，表示的平面区域也是一个三角形．选D ．例7．解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y s x x y s y x 交点为A （2，0），B （4s -，24s -），C （0，s ），C '（4，4），如图2：当43<≤s 时可行域是四边形OABC 此时，87≤≤z ；当54≤≤s 时可行域是OAC '∆，此时， 8max =z ．故选D ．点评S 的函数关系来求解．例8．解析：如图12所示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是21，31-，所以圆心角α即为两直线的夹角．由1|031(211||)31(21|tan =-⨯+--=α，得4πα=．所以弧长是42π⨯例9．解析：作出线性规划区域图，220x y x y +--≤22111()()222x y -+-≤求出第所围成的图像的面积为12π+．速作出图像求出面积．例10．解析：不等式组所表示的平面区域如图13所示阴影部分．因为B 的坐标为（0，34），故直线34+=kx y 过点B ．因为平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，所以直线34+=kx y 过AC 的中点（21，25）．将（21，25）代入直线方程，即25=3421+⨯k ，得=k 37．故选A ．二、强化训练1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．B11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．D 17．C 18．D 19．B 20．Ay y。
2024届河南省鹤壁一中高三下学期第一次月考(3月)数学试题
2024届河南省鹤壁一中高三下学期第一次月考（3月）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-2．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．03．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 5．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319- D ．12-6．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．7．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=8．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =9．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 10．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值11．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
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简单的线性(整数)规划问题
一.知识要点：
1.线性规划的基础概念
(1)线性约束条件
约束条件都是关于x, y的一次整式不等式.
(2)目标函数
待求最值(最大值或最小值)的函数.
(3)线性目标函数
目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式).
(4)线性规划
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.
(5)可行解
满足全部约束条件的解(x, y).
(6)可行域
全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.
(7)最优解
使目标函数取到最大值或最小值的可行解.
注意:
①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示.
②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解.
③目标函数z ax by
=+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上.
④对于整数规划问题(,
x y
), 最优解未必在边界或顶点处取
∈∈
得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找.
⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.
二. 解题思路:
解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.
三．求解步骤
①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出
规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域).
②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式.
③确定最优点: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点.
④ 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.
四. 高考题演练
1. (新课标全国高考) 设x , y 满足约束条件1010,3x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则23z x y =-的
最小值是( ) 提示1 A. 7- B. 6- C. 5- D. 3-
2. (福建高考) 若变量x , y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
, 则2z x y =+的最大
值和最小值分别为( ). 提示2 A. 43和 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 3. (湖北高考) 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行, A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人, 租金分别为1600元/辆和2400元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过21辆, 且B 型车不多于A 型车7辆. 则租金最小为( ). 提示3 A. 31200元 B. 36000元 C. 36800元 D. 38400元
4. (湖南高考) 若变量x , y 满足约束条件211y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
, 则2x y +的最大值
为( ). 提示4 A. 52
- B. 0 C. 53 D.
52
5. (天津高考) 设变量,x y满足约束条件
360,
20,
30
x y
x y
y
+-≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-≤
⎩
则目标函数
2
z y x
=-的最小值为( ) 提示5
A. 7-
B. 4-
C.1
D. 2
6. (陕西高考) 若点(x, y)位于曲线y x
=与2
y=所围成的封闭区域, 则2x y
-的最小值是( ). 提示6 A. 6- B. 2- C.0 D. 2
7. (四川高考) 若变量,x y满足约束条件
8,
24
,
x y
y x
x
y
+≤
⎧
⎪-≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
且目标函数
5
z y x
=-的最大值为a, 最小值为b, 则a b-的值是( ) 提示7 A. 48 B. 30 C.24 D. 16
参考答案:
提示1：不等式组表示的平面区域如图1中阴 影部分所示, 其顶点A , B , C 的面积可直接算 出, 待求面积为
1144
(4)1.2233
ABC S AC h =
⋅=⨯-⨯= 图1
提示2：不等式组10,
10,10x y x ax y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
所围成的平面区域如图2中阴影部分所
示, 面积为2, 则12114352
AC AC a a or =⋅⇒=+=⇒=-其中-5舍
去.
图2 图3
提示3: 已知可求出,.3
OA OB π〈〉=
可设(2,0),(1(,),OA OB OP x y ===
则
1(22x x y λλμμ⎧=-⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨=⎪=⎪⎩
,
由12y y λμ+≤⇒-+≤
可行域参考图3,
所求面积1
242
S =⨯⨯=
可行域由如下四个子区域拼接而成:
①
002y y y y y y y ≥≥≥⇔≥⎨⎨⎪-+≤≤+⎩②
00233y
y y y y y y x ≥≥≤⇔≤⎨⎨⎪--≤⎪≥-⎪⎩
③
02y
y y y y y y x ≤≤≥⇔≥⎨⎨⎪⎪++≤⎩⎪≤⎪⎩
④
002y y
y y y y y ≤≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪+-≤≥-⎩⎩
提示4：已知0,0,a b ≥≥且当0,
0,1x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
时, 恒有1ax by +≤⇒
当0110 1.x y by b b =⇒=⇒=≤⇒≤≤同理, 当0110 1.y x ax a a =⇒=⇒=≤⇒≤≤
不等式组01
01a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩
所围成的平面区域参考图4, 其面积为1.
图4 图5
提示5: 由不等式组直接作出平面区域见图5, 注意直线20kx y -+=过 定点(0, 2). 由平面区域面积为4, 可知122241 3.2
k k or ⨯⨯+=⇒=-
其中-3舍去. 提示6：换元法
平面区域{}(,)(,)B x y x y x y A =+-∈, 可令2,2
m n x m x y n x y m n y +⎧
=
⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=--⎩⎪=
⎪⎩再根据 条件, 1
221(,)00,20
02m n m n
m m n x y A m n m n m n
+-⎧+≤⎪≤⎧⎪
+⎪⎪
∈⇔≥⇔+≥⎨
⎨⎪⎪-≥⎩-⎪≥⎪⎩
由此不等式组确定的平 面区域即为{}(,)(,)B x y x y x y A =+-∈确定的平面区域, 见图6, 其面积 为112 1.2
⨯⨯=
图6 图7
提示7: 平面区域D见上图7阴影部分所示, 直线1
y kx
=+过定点(0, 1)根据平面几何知识可知, 若直线1
y kx
=+将区域D分成面积相等的两
部分, 则直线1
y kx
=+只需过AB的中点即可. 易求中点坐标
33 (,)
22
. 再
代入到直线1
y kx
=+, 可求
1
.
3 k=。