高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量课件新人教B版必修4
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
概念辨析题
【例1】 已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说 明理由. (1)-2a与a是共线向量,且-2a的模是a的模的2倍; 3 (2)3a 与 5a 的方向相同,且 3a 的模是 5a 的模的 ; 5 (3)-2a与2a是一对相反向量; (4)a-b与-(b-a)是一对相反向量. 分析根据数乘向量与相反向量的定义判断.
2.教材中的“思考与讨论” 把例3中的数3改为任意实数k,你是否还能解这个问题?回想一下 初中学过的相似三角形的判定定理,例若������������'=k������������, ������'������'=k������������,则������������' = ������������' + ������'������'=k������������+k������������=k(������������ + ������������)=k������������, 当 k=0 时,������������'=0������������=0,此时 B'与 O,A'重合; 当 k≠0 时,������������'与������������共线,长度是������������的|k|倍. 这一结论可以认为是相似三角形判定定理的向量形式,其反映 的本质是一样的.
1
2
【做一做1-1】 化简(-2)· 3m-4(n-2m)的结果为 ( ) A.-14m-4n B.-6m-4n C.2m-4n D.4n+2m 解析:原式=-6m-4n+8m=2m-4n. 答案:C 【做一做1-2】 若|a|=3,b与a的方向相反,且|b|=5,则a=
b.
解析: ∵b 与 a 的方向相反,且|a|=5|b|,∴a=-5b. 答案: -5
1 2 1 D.-2(a+b)
B. (b-a)
答案:C
1
2
【做一做 2-2】 已知������������ =
2 ������������, ������������ 3
2 − 3 ������������
=
2 ������������,则������������= 3
2 2 (������������ − ������������)=3 ������������. 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 向量的线性运算
【例2】 (1)计算:8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c); (2)解方程:(x-a)-(a-x-2b)=0. 分析解答本题可先去括号,再合并、化简求解. 解:(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c=(16-6-4)a+(8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b. (2)原方程可化为x-a-a+x+2b=0, 即2x-2a+2b=0,所以x=a-b. 反思向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式 的运算及代数方程,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提 取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同 样适用.在运算过程中,要注意多观察,恰当分组,简化运算.
3
3
3
1
2
2.向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性 运算.
【做一做 2-1】 已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线,若 ������������=a,������������=b,则������������等于(
1 2 1 C.2(a+b)
)
A. (a-b)
【变式训练1】 下列命题中不正确的是( ) A.若实数λ,μ满足λμ>0,a≠0,则λa与μa的方向相同 B.若|a|=4|b|,且a与b反向,则a=-4b C.若λa=0,则必有实数λ=0 D.若a为非零向量,且ma=na,则必有m=n 解析:当λa=0,则λ=0,a≠0或λ≠0,a=0或λ=0,a=0,所以C选项不正确, 其余各项均正确. 答案:C
������������.
解析:������������ = ������������ − ������������ = 答案:3
2
2 ������������ 3
=
1.数乘向量的几何意义 剖析数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方 向放大或缩小.若a≠0,当λ>1时,沿a的方向放大为原来的λ倍;当 0<λ<1时,沿a的方向缩小为原来的λ倍;当λ<-1时,沿a的反方向放大 为原来的|λ|倍;当-1<λ<0时,沿a的反方向缩小为原来的|λ|倍.由其几 何意义可以看出,用数乘向量能解决几何中的相似问题.
2.1.4
数乘向量
1.掌握数乘向量的定义,并理解其几何意义. 2.掌握数乘向量的运算律. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1
2
1.数乘向量 (1)实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,λa的长度|λa|=|λ||a|.若a≠0, 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.当 λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0. (2)向量数乘的几何意义:把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小. (3)数乘向量的运算律. 设λ,μ为实数,则①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb. 名师点拨1.数乘向量与实数的乘法是有区别的,前者的结果是一个向量, 后者的结果是一个实数.特别要注意当λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错 误是将实数0与向量0混淆,错误地表述成λa=0. 2.要注意实数与向量可以相乘,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无意 义的.
5
(3)真命题.理由:按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题. (4)假命题.理由:∵-(b-a)=-b+a=a-b, ∴a-b与-(b-a)为相等的向量. 反思解答本题的过程中易把a-b与-(b-a)当作相反向量,导致此种 错误的原因是不能正确运用数乘向量的运算律进行转化.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)真命题.理由:∵-2<0,∴-2a与a的方向相反,两向量共线. 又|-2a|=2|a|,∴-2a的模是a的模的2倍. (2)真命题.理由:∵3>0, ∴3a与a的方向相同, 且|3a|=3|a|.∵5>0, ∴5a与a的方向相同,且|5a|=5|a|. 3 ∴3a与5a的方向相同,且3a的模是5a的模的 .
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量课件新人教b必修4 (1)
②当λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同;
③当λ≠0,a≠0时,λa与a是共线向量;
④当λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤当λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2个 B.3个 C.4个D.5个
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向,易知①②③都是正确的;
对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa或者都与a同向,
(3)当λ=0时,λa=0. ( ) (4)若5(x+a)+3(x-b)=0,则 x=38b-58a . ( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
数乘向量的理解
【例1】 已知λ,μ∈R,则在以下各命题中,正确的命题共有( )
①当λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反;
2 3
������
+(2b-a).
解:(1)原式=23
4������-3������
+
1 3
������-
3 2
������
+
7 4
������
=23
4-
3 2
������ +
-3
+
1 3
+
7 4
������
=23
5 2
������-
11 12
������
=53a-1118b.
(2)原式=13a-b-a+23b+2b-a
所以������������ = ������������ − ������������=(1-t)a+tc-(1-t)a-tb
2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念课件新人教B版必修420170913484
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)位移和路程是同一个概念. ( ) (2)零向量没有方向. ( ) (3)若|������������|=|������������|,则������������ = ������������. ( ) (4)若a与b的基线是同一基线,则a∥b. ( 答案:(1)× (2)× (3)× (4) )
2.1.1
向量的概念
课 标 阐 释 思 维 1.了解位移的概念及相关的 物理背景. 2.理解平面向量的概念及其 几何表示. 3.理解零向量的含义. 4.理解相等向量、共线向量的 概念.
脉 络
一
二
三
一、向量的有关概念 【问题思考】 1.甲由A地先向正北方向走了1 km,然后向正东方向又走了1 km, 到达B地,问甲走的路程和位移各为多少? 提示:路程是2 km 位移是 2 km ,方向北偏东45°. 2.填空: (1)位移只表示质点位置的变化,始点、终点间的位置关系,而与 质点实际运动的路线无关,是一个既有大小又有方向的量. (2)向量的定义:具有大小和方向的量称为向量(如图所示). 向量的长度:向量|������������|的大小称为向量的长度(或称为模),记作|������������|. 自由向量:只有大小和方向,而无特定的位置.
提示: ������������ 与������������ 是平行向量(共线向量),������������ 与������������ 是相等向量. Nhomakorabea一
二
三
2.填空: 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量, 即两非零向量a,b相等的等价条件是a,b的方向相同且模相等. 向量a与向量b相等,记作a=b. 共线向量或平行向量:通过有向线段 ������������ 的直线,叫做向量 ������������ 的 基线.如果向量的基线互相平行或重合,那么称这些向量共线或平 行.向量a平行于b,记作a∥b.
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量示范教案新人教B版必修
2.1.4 向量数乘示范教案整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；2．理解并掌握向量的线性运算．教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质．我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题已知非零向量a，试一试你能作出a＋a＋a 和－a ＋－a ＋－a 吗？你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？数乘向量满足哪些运算律？活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题(1)，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .已知AB →(图2)，把线段AB 三等分，分点为P ，Q ，则图2AP →＝13AB →，AQ ＝23AB →，BP →＝－23AB →. 由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义 实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长度|λa |＝|λ||a |.λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当λ>0时，与a 同方向；当λ<0时，与a 反方向.当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0(图3)．图3λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．设λ、μ为实数，那么①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ；当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：(1)数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定．(2)它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．(3)略．(4)略．应用示例例1设a ，b 为向量，计算下列各式：(1)－13×3a ； (2)2(a －b )－(a ＋12b )； (3)(2m －n)a －m b －(m －n)(a －b )(m ，n 为实数)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .解：(1)原式＝(－13×3)a ＝－a . (2)原式＝2a －2b －a －12b ＝(2a －a )－(2b ＋12b )＝a －52b . (3)原式＝2m a －n a －m b －m(a －b )＋n(a －b )＝2m a －n a －m b －m a ＋m b ＋n a －n b ＝m a －n b .点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的2如图4所示，已知OA′→＝3OA →，A′B′→＝3AB →，说明向量OB →与OB′→的关系．图4解：因为OB′→＝OA′→＋A′B′→＝3OA →＋3AB →＝3(OA →＋AB →)＝3OB →，所以OB′→与OB →共线且同方向，长度是OB →的3倍．3如图5，的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图5活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．4凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．解：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点．(如图6)图6∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF 12DG. ∴EF →＝12DG →.而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 方法二：如图7，连接EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图7又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用.课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 2,3.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图8，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ，则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图8由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|.所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图9可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图9所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 3．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.4．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 5．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 参考答案：1．B 2.C 3.－a ＋15b 4.13e 1－12e 2 5．证明：连接AG 并延长，设AG 交BC 于M.∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )． ∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教B版高中数学必修二 《平面向量及其线性运算》平面向量初步PPT课件(数乘向量 向量的线性运算)
3．对于向量 a，b 有下列表示：
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 其中，向量 a，b 一定共线的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
解析：选 A.对于①，b＝－a，有 a∥b； 对于②，b＝－2a，有 a∥b； 对于③，a＝4b，有 a∥b； 对于④，a 与 b 不共线．
解：因为 DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又因为 DF＝12OD＝12×12BD＝14BD， 所以DAGB＝DBFF＝13， 所以A→G＝A→D＋D→G＝A→D＋13A→B＝13a＋b.
用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法
(2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边 形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于 所求向量的方程．
(2)由三角形中位线定理，知 DE 綉12BC，故D→E＝12B→C，即D→E＝
1 2a. C→E＝C→B＋B→D＋D→E＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. M→N＝M→D＋D→B＋B→N＝12E→D＋D→B＋12B→C＝－14a－b＋12a＝14a－ b.
[变条件，变问法]在本例(1)中，设 AC 与 BD 相交于点 O，F 是 线段 OD 的中点，AF 的延长线交 DC 于点 G，试用 a，b 表示A→G.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的向量 a，总有 0·a＝0.( × ) (2)当 λ＞0 时，|λa|＝λa.( × ) (3)若 a≠0，λ≠0，则 a 与－λa 的方向相反．(× )
已知点 C 是线段 AB 靠近点 B 的三等分点，下列正确的是( )
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)
1
2
3
4
名师点拨 1.实数与向量可以进行数乘运算 ,其结果是一个向量 , 不是实数 ;但实数与向量不能进行加减运算 ,如 λ+a,λ-a 是错误的 . 2.对于任意非零向量
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
2.若 b=λa(a≠0),则|λ|=
|������| . |������|
3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.
知识拓展已知三点 A,B,C 共线,O 是平面内任意一点,则有������������ = ������������������ + ������������������ , 其中λ+m=1.
1
2
3
4
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa. 归纳总结1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当 向量a≠0时,对于向量b,如果有一个实数λ,使b=λa,则由实数与向量 的积的定义知b与a共线. 反之,已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长度的λ倍, 即|b|=λ|a|,则当b与a同方向时b=λa,当b与a反方向时b=-λa.
共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,则用共线向量定理可以证明两个向量 共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值即 可.
高中数学 第二章 平面向量 2.1.4 数乘向量课件 b必修4b高一必修4数学课件
12/7/2021
第二十七页，共三十三页。
1.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）的结果是(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：选 B.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）
＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)
＝13a＋43b－43a＋23b
＝－a＋2b
＝2b－a.
12/7/2021
12/7/2021
第十七页，共三十三页。
数乘向量在平面几何中的应用 已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点．求证：E→F＝12(A→B＋D→C)．
12/7/2021
第十八页，共三十三页。
【证明】 取以点 A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如 图．
因为 E 为 AD 的中点，所以A→E＝12A→D. 因为 F 是 BC 的中点， 所以A→F＝12(A→B＋A→C)．
12/7/2021
第二十一页，共三十三页。
(2)向量线性运算几何意义应用中的常见结论：
图形
结论
表示 a＋b，a－b 两向量的有向线段恰为同一 平行四边形的两条对角线
A→B＋A→C＝2A→D(D 为 BC 中点)
|aa|表示与 a 同向的单位向量
12/7/2021
第二十二页，共三十三页。
如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD， M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a， b 表示B→C和M→N.
第二章 平面(píngmiàn)向量
2．1.4 数乘向量
12/7/2021
第一页，共三十三页。
第二章 平面(píngmiàn)向量
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-4
解析
1 2 (1)原方程化为3x＋(3a－15b)＝0
1 2 1 2 ∴3x＝－(3a－15b)，3x＝15b－3a. 2 ∴x＝5b－9a. (2)原方程化为 5x－6a＋12b＝0， 6 12 ∴5x＝6a－12b，x＝5a－ 5 b.
规律技巧
这是一个关于求未知量的向量方程，由于向量
具有许多与数完全相同的运算性质，我们可以按照解关于实数 方程的方法来解．
3a－6b＋7c.
3 1 1 3 3 5 7 5 (2)原式＝4＋2＋2a＋2－2－4b＝4a－4b.
例2
设 x 为未知向量，解关于 x 的方程．
1 2 (1) x＋3a－ b＝0； 3 15 (2)2(x－3a)＋3(x＋4b)＝0. 剖析 求 x 和解关于 x 的一元一次方程类似．
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.4 数乘向量
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (1)|λa|＝ |λ||a| . (2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a 同方向 ；当 λ<0 时，λa 的方 向与 a 反方向 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
变式训练 2
设 x，y 为未知变量 ① ②
1 2x－y＝a 解方程组 x－1y＝b 2
解析
3 ①×2－②得，－2y＝2a－b，
4 2 ∴y＝－3a＋3b. 3 ②×2－①得， x＝－a＋2b， 2 2 4 ∴x＝－ a＋ b. 3 3 2 4 x＝－3a＋3b， ∴原方程组的解为 y＝－4a＋2b. 3 3
高中数学高一必修第二章《向量数乘运算及其几何意义》教育教学课件
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
摸索2 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你 能说明它们与向量a之间的关系吗？ 答
O→C＝O→A＋A→B＋B→C＝a＋a＋a＝3a；
O——′—C→′＝ O——′—A→′＋ — A—′—B→′＋ — B— ′—C→′
＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
λk－1＝0，
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点四 三点共线的判定
→→ 思考 1 若存在实数 λ，使AB＝λBC，则 A、B、C 三点的位置关 系如何？ 答 由共线向量定理可得，A，B，C 三点共线⇔存在 λ∈R，使 A→B＝λB→C.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)13122a＋8b－4a－2b. 解 原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)] ＝13(－3a＋6b)＝2b－a.
学习探究
2.如图，A→M＝13A→B，A→N＝13A→C. 求证：M→N＝13B→C. 证明 ∵A→M＝13A→B，A→N＝13A→C， ∴M→N＝A→N－A→M＝13A→C－13A→B＝13(A→C－A→B)＝13B→C.
线 AC(如图). 视察发觉，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线 AC上，料想A、B、C三点共线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
因为A→B＝O→B－O→A＝(a＋2b)－(a＋b)＝b， →→→ AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b， 故有A→C＝2A→B.因为A→C∥A→B，且有公共点 A，所以 A、B、C 三点 共线.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
摸索3 一样地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有 什么关系？ 答 λa仍旧是一个向量. (1)|λa|＝|λ||a|； (2)λ>0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反； λ＝0时，λa ＝0.方向任意.
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-1
(2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同 且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也 就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相 等向量，而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向 量是平行向量．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
思考探究 1.向量就是有向线段，这种说法对吗？ 提示 不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用
有向线段表示向量．
2．“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？ 提示 不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以
a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c， 则a∥c，在向量的平行中不再适用．解题时我们也要充分考虑 0的特殊性.
→ → →
3．向量的有关概念 零向量 长度等于零的向量，记作0，零向 量的方向不确定
相等的向量 同向且等长的有向线段表示的向量 向量共线 (平行) 基线互相平行或重合的向量，记作 a∥b.共线向量的方向相同或相反 规定：零向量与任意向量平行
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段 位置向量 → OA ＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所 → 唯一确定，这时向量 OA ，叫做点A相对于点 O的位置向量
答案
B
规律技巧
要准确地对命题进行判断，必须对有关概念有
准确清晰的理解和把握．
变式训练2
下列说法中不正确的是(
)
A．零向量与任意向量共线 B．零向量只能与零向量相等 → → C．若AB＝DC，则ABCD是平行四边形 → → D．平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
解析
→ → AB＝DC，有可能A、B、C、D四点共线，故C错．
第二章 平面向量
高中数学(人教B版)必修第二册：数乘向量、向量的线性运算【精品课件】
名师点析对数乘向量的理解
(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有
意义.
(2)若λa=0,则λ=0或a=0.
1
(3)对于非零向量a,当λ= 时;λa表示a方向上的单位向量.
||
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(
)
答案:×
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的线性运算
例2化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
3 1
11
=λ+μ,所以 λ+μ=4 + 6 = 12.故选 A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
3.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得
+ =m成立,则 m 的值为
.
解析:∵ + + =0,∴点 M 是△ABC 的重心.
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
2
5;
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)真命题.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.