菲涅耳圆孔衍射

n
n2
1 r0
1 R
R→∞（平行光入射） n n2 , r0
n nr0
可见，n 与P0在轴上的位置r0有关。
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讨论：
▲ 对 P0 点若 S 恰好分成 n 个半波带时：
An
1 2
(a1
an )
n 为偶数
An
1 2
(a1
an )
最大
n 为奇数
An
1 2 (a1
an )
最小
▲ 对 P0 点若 S 中还含有不完整的半波带时：
B2
B1
S
R
B0 r0
r1=r0+λ/2
●
P
B0P r0 B1P B0P B2P B1P B3P B2P
…
BK
P
BK 1P
2
这样分成的环形波带称为菲涅耳半波带，任何相邻两波
带以相反的相位(相位相差)同时到达 P 点(光程差λ/2 ）。 2
二、合振幅的计算
用 a1、a2、…、an分别表示各波带在 P 点的振幅，由于 相邻波带相位相差，有：
An a1 a2 a3 a4 a5 L (1)n1an
比较 a1、a2、…、an各振幅的大小： 设波面 上的振幅均匀分布即A（Q） 为常量，任取
第 k 个半波带：
面积 ΔSk 平均倾角θk
由惠—菲原理
ak
(1
cosk
)
Sk rk
可以证明 Sk R 为常量。
rk R r0
3
证明：
·O
B0
从K+1个半波带
P
到最后的半波带（a∞→0）
在 P 点叠加，合振幅为：
A ak1 2
不管圆屏的位置和大小怎样，圆屏几 何影子的中心永远有光（泊松点）。
圆屏的面积↓，ak+1↑，到达 P 点的光愈强。
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五、菲涅耳波带片
1.波带片
设计一种光阑，只让奇数半波带或偶数半波带通过， 于是在P0点得到的振动完全是加强的，而没有相消的作 用，这样在P0点就能获得很大的光强，这种光阑就叫做 波带片。
明暗交替变化，衍射不明显。
▲ 若 圆孔仅够分成少数个半波带
a1 an
An
a1 0
(n为小奇数） (n为小偶数）
与无圆孔时相比： An a1 2 A0, In 4I0
其中A0为自由传播（无圆孔）时的振幅。
▲ 要发生衍射，光源 O 的线度要足够小。
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四、菲涅耳圆屏衍射
P点的振幅： 圆屏遮蔽了个K半波带
这样，所有波带在P0点的振幅都同号，使P0点光强 大大增强。
3.圆环波带片
例题：用 450nm 的单色平面波垂直入射到圆孔上， 孔半径 0.6mm ，若圆孔外有一同心的环形缝，内外
半径分别为 0.6 2mm,0.6 3mm 。
求：距屏（孔）80cm的轴线上观察点P的强度与没有圆 孔时该点的强度之比。
k r0
2r0h
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在ΔBAP0中： k2 kr0 2r0h
在ΔBAO中：
· k2 R2 (R h)2 R2 R2 2Rh h2 2Rh λ
比较两式：
O
S ρk
A
R B B0
rkr0
·P0
kr0 2r0h 2Rh
h kr0
2(R r0 )
k2
2Rh
k r0 R R r0
令最大波带数为n
rk r0
·P0
▲ 计算P点的光强 首先考虑通过圆孔的K个完整菲涅耳半波带数：
在ΔBAP0中：
k 2 rk 2 (r0 h)2 rk 2 r02 2r0h h2 rk 2 r02 2r0h
rk r0 k 2 ,
忽略 k 22 项
4
k2
r0 2
k r0
k 22
4
r0
2r0h
∵ rk ,可将drk视为相邻两波带间r的差值λ/2，则ds=Δsk
∴ sk R
rk R r0
结论：Δsk/rk 与 K 无关，对
每个半波带都相同。
4
影响 an 的大小只剩下倾斜因子 K（θn）=1+cos θ ：j↑，θj↑， aj ，
an 缓慢减少，即
a1 a2 a3L
一般 aj 与aj-1 相差很小，近似有：
R φ O
·Bk θk
ρk h B0
rk α
r0
取如图的球冠，其面积
s 2R2 (1 cos)
·P ds 2R2 sin d
在ΔOPBk中有：
cos R2 (R r0 )2 rk 2
2R(R r0 )
两边微分
sin d rk drk
R(R r0 )
代入ds
ds 2R2drk
rk R(R r0 )
解：平行光入射： n 2 r0
圆孔露出的波带数：
n
2 r0
(0.6 103)2 450 109 80 102
例：某一波带片只让5个奇数带通过，则
A5
5a1
10
a1 2
,
I5
100I0
即：此时光强是无光阑时光强的100倍。
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2.相位波带片
一般波带片只让奇数半波带或偶数半波带通过，于 是摭挡了一半的光波，使光能量的利用率减半，若在欲 挡去的半波带上镀上一层透明薄膜，使通过薄膜的光波 比没有通过薄膜的光波增加相位差。
aj
a j1
2
a j1
即：
a2
a1
2
a3
, a4
a3
2
a5
L
P0点合振幅：
An
a1 2
( a1 2
a2
a3 ) 2
( a3 2
a4
a5 2
)
L
An
a1 2
an 2
(n为奇数）
An
a1 － an 22
(n为偶数）
用矢量来表示 P 点处振幅的叠加
a1
a3
12 an
12 a1 a2
a4
an An aa13 ––aa24
a1
a3
a2 a4
An an
n
为奇数时
An
1 2
Байду номын сангаас
(a1
an )
合成一式
An
1 2 (a1
an )
n为偶数时
An
1 2
(a1
an )
P 点的振幅为第一个波带和
最后一个波带所发出次波的
振幅相加（减）的一半。
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三、菲涅耳圆孔衍射
▲ 实验装置
BB0 h h r0
S
λ
A
· ρk
O R B B0
K个完整菲涅 耳半波带数
1 2
(a1
an )
An
1 2
(a1
an )
光强介于最大 和最小之间
确定观察点P0，改变ρ，P0点的光强发生变化
实验证实：
(时亮时暗）； 确定圆孔半径ρ
，P0点在对称轴上移动，光强
发生变化（时亮时暗）。
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▲ 若 不用光阑（ρn→∞）：
ak
ak 0
Ap
n
a1 2
无遮拦的整个波面对P0点的光强等于第一个波带在 该点的光强的一半，且在轴线上各点光强相等，不发生
（一）菲涅耳圆孔衍射
直接用菲涅耳衍射积分公式计算 E 的积
分相当复杂，菲涅耳提出的一种简便的分析方 法 ——半波带法。
它在处理一些有对称性的问题时，既方便， 物理图象又清晰。
1
一、菲涅耳半波带
以点光源为例 将波面 S 分成许多以 B0 为圆心的环形波带，并使：
r3=r2+λ/2
B3
r2=r1+λ/2