光的衍射圆孔(上)
圆孔衍射
实验10 圆孔衍射当光在传播过程中经过障碍物，如不透明物体的边缘、小孔、细线、狭缝等时，一部分光会传播到几何阴影中去，产生衍射现象。
光的衍射现象是光的波动性的一种表现。
研究光的衍射现象不仅有助于加深对光本质的理解，而且能为进一步学好近代光学技术打下基础。
衍射使光强在空间重新分布，利用光电元件测量光强的相对变化，是测量光强的方法之一，也是光学精密测量的常用方法。
一、实验目的１．观察圆孔衍射现象，加深对衍射理论的理解。
２．会用光电元件测量圆孔衍射的相对光强分布，掌握其分布规律。
二、实验仪器H e -N e 激光器、单缝及二维调节架、光电探测器及移动装置、数字式万用表、钢卷尺等。
三、实验原理圆孔衍射的基础是惠更斯-菲涅尔原理，，经过计算可以得到：在沿光传播方向圆孔的中轴线上，总是光强极大（设平面光波沿圆孔轴线传播），偏开中轴线一定角度，诸子波相干叠加正好相消，则出现第一级暗线，由于圆孔激起子波的轴对称性，暗线将是暗环，再增大偏开轴线角度，可得到一系列暗环，暗环之间为亮环，即衍射次极大。
直径为D 的圆孔的夫琅和费衍射光强的径向分布可通过贝塞耳函数表示。
夫琅和费圆孔衍射图样的中央圆形（零级衍射）亮斑通常称为艾里斑，艾里斑的大小可用半角宽度即第一级暗环对应的衍射角为：D λθθ22.1sin ==圆孔衍射各极小值的位置（衍射角）在0.610π，1.116π，1.619π，… 处，各极大值的位置（衍射角）在0，0.0819π，0.133π，0.187π，… 处，其相对光强I/I0依次为1，0.0175，0.042，0.0016，…。
零级衍射的圆亮斑集中了衍射光能量的83.8% 。
夫琅和费衍射不仅表现在单缝衍射中，也表现在小孔的衍射中，如图10-1所示。
平行的激光束垂直地入射于圆孔光阑1上，衍射光束被透镜2会聚在它的角平面3上，若在此焦平面上放置一接收屏，将呈现出衍射条纹。
衍射条纹为同心圆，它集中了84%以上的光能量，P 点的光强分布为：()2102⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x J I I （10-1）()x J 1为一阶贝塞尔函数，它可以展开成x 的级数()()()1212!1!1+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑k o k k x k k x J （10-2）x 可以用衍射角θ及圆孔半径a 表示θλπsin 2ax = （10-3） 式中λ是激光波长（e e N H —激光器8.623=λ纳米）。
圆孔衍射图样
二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该 既考虑双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。
2024/10/13
26
光学仪器的分辨本领
二、圆孔夫琅禾费衍射
S
D
圆孔衍射图样：由一个中央亮斑和一组明暗相间的同心圆环组成；
2024/10/13
k 1 k 3.3
d
最高3级； 共7条谱线
43
P398 例题10-2 用波长＝546.1nm的绿光垂直照射每厘米有3000条刻 线的光栅，该光栅的刻痕宽和透光缝宽相等，问：
能看到几条光谱线？各谱线衍射角多大？
2024/10/13
44
作业： P401，选择题：1，2，8，9 P404， 一. 1
R 1 D
1.22
人眼瞳孔：D =2~6mm
=68~23
望远镜： DM = 6m
= 0.023
例题：汽车二前灯相距1m，设 解：人眼的最小可分辨角
=500nm 人眼瞳孔直径为 5mm。
问：1）人眼的最小分辨角？
2）对迎面而来的汽车，离多远能 分辨出两盏亮灯？
0
1.22
D
L0 1m
L 8200m
1m
L?
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望远镜： 不可选择，但 D R
▲ 世界上最大的光学望远镜： D=8m
建在了夏威夷山顶。 ▲世界上最大的射电望远镜：
D = 305 m 建在了波多黎各岛的
Arecibo，能探测射到整个
地球表面仅1012W的功率，
也可探测引力波。
2024/10/13
33
2-光的衍射
1
0
x0
中央明纹角宽度:
0 21 2 λ a x0 2 f tan1 2 f 1 2 f λ a k λ a
中央明纹线宽度:
第k 级明纹角宽度:
结论: 中央明条纹的角宽度是其他明条纹角宽度的两倍.
（5）不同缝宽的单缝衍射条纹的比较
asin (2k 1)
的次波在P点引起光振动的叠加，即
E ( P) Fk ( )
cos(ωt r
2π r
)
d
说明 (1)对于一般衍射问题，用积分计算相当复杂，实际中常用 半波带法和振幅矢量法分析。 (2)惠更斯—菲涅耳原理在惠更斯原理的基础上给出了次 波源在传播过程中的振幅变化及位相关系。
3. 两类衍射
透射 光栅
反射 光栅
光栅
a：缝宽
b：缝间距
E
b da
0
P
明纹细 亮度大 分得开
光栅常数
d ab
光栅的狭缝条数：N
理论和实验证明：光栅的狭缝条数越多，条纹越明亮； 且狭缝条数越多，光栅常数越小，条纹越细。
2.光栅衍射图样的形成
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的 叠加，亮纹的位置由缝间光线干涉的结果所决定。 缝数 N = 5 时光栅衍射的光强分布图
E
S1 S2
能分辨?
A2 A1
可分辨
0
刚可分辨
0
最小分辨角？
不可分辨
0
瑞利判据：如果一个点光源衍射图样的主级大（艾里斑 ）中心处刚好与另一个点光源衍射图样的第一级极小处 （艾里斑边缘）相重合，则这两个点光源恰好为这一光 学仪器所分辨 最小分辨角 艾里斑 E
光的衍射现象惠更斯菲涅尔原理
sinϕ = x
f
λ = 2a sinϕ = 2a ⋅ x = 467nm
2k +1
2k +1 f
2. a sinϕ = (2k + 1) λ = (2 × 4 + 1) λ = 9 ⋅ λ
2
22
分成 9 个半波带。
19
§8-3 圆孔的夫朗和费衍射
(Fraunhofor Diffraction of Circular Aperture)
9
3. asinϕ = 2⋅ λ
2
A
a
λ
C
B
P2
P0 半波带 半波带
一级暗纹 中央明纹
★两波带上的子波在 P2 点产生的光强全部抵消，故 P2 点光强为零。出现第一级暗纹。
10
4. asinϕ = 3λ
2
A
a
3λ
C B
2
P3
P0 半波带 半波带 半波带
一级明纹 一级暗纹 中央明纹
★任意相邻两波带在 P3 点产生的光强全部抵消，余 下一个波带的子波在 P3 点产生光强不能被抵消，出 现第一级明纹。
●各明纹之间的角宽度
∵ a sin ϕ k = ± ( 2 k + 1)λ / 2
∆ ϕ = ϕ k +1 − ϕ k ≈ sin ϕ k +1 − sin ϕ k
= 1 [2(k + 1) + 1] λ − 1 (2k + 1) λ = λ
a
2a
2a
（为中央明纹之半）
●∵ ϕ, ∆ϕ ∝ λ
当以白光入射时，除中央明纹仍为白 色外，其它各级均为由紫到红排列的 彩色条纹。
P A
光的衍射
注意：公式形式与杨氏双缝干涉条纹的条件方 程相反
当半波带数不是整数时，相干点的光强介于明暗之 间。光强的变化是连续的。
四、讨论
1、条纹位置的确定
A a B
φ
C
φ φ
P 0
（暗纹条件） a sin k
f
ftg x
P
x
f x sin tg
条纹在接收屏上的位置 暗纹中心 明纹中心
1 2 1′ 2′
时，
θ B 半波带 a
相消 相消
1 2 1′ 2′
半波带 半波带
半波带
A
/2
两个“半波带”发的光在 p 处干涉相消形成暗
纹
▲ 当 a sin
3 2
时，可将缝分成三
个“半波带”， B θ 其中两相邻半波带的衍射光相消，
a
A
▲
余下一个半波带的衍射光不被抵消
/2
—— p 处形成明纹（中心）
Δ x = x k+1 x k = a
2 f a
fλ
（中央明纹线宽度）
其它各级明条纹的宽度相等为中央明条纹宽度的一半。
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大， 1越大，衍射效应越明显.
4、波长对衍射图样的影响
明纹中心 条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用 白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都 为彩色条纹。该衍射图样称为衍射光谱。
n dS
d E ( p) K ( ) d S r co s( t 2 r
· Q
r
dE(p) p
)
·
K( )称方向因子。
9.2光的衍射190415
d
d
解得
400 10 9
4
k - (700 400 ) 10 9 3
可见,只有第一级光栅光谱是完整的。
本次课知识点： 1 光的衍射不易察觉，是因为？
2 衍射条纹特征：中央明纹最亮最宽，两侧明纹 宽度是中央明纹的一半，亮度逐渐减小。
3
明暗纹条件：
a sin
9.2 光的衍射
一 单缝夫琅禾费衍射(掌握) 二 圆孔衍射(了解) 三 光栅衍射(掌握)
光的衍射:光绕过障碍物边缘传播，并形成明暗相间条 纹的现象。
屏幕
屏幕
阴
影
缝较大时，光沿直线传播 缝很小时，发生衍射
一、单缝夫琅禾费衍射
衍射角
f
P
a
o
（衍射角 ：向上为正，向下为负 ）
衍射角：衍射光线与狭缝面法线之间的夹角
公式
δ (2k 1) λ 2
k 1,2 ,
明纹 暗纹
2 衍射图样的特征
各次级亮纹的宽度为中央明纹的一半
各级亮纹的亮度随k 的增大而减小
asin (2k 1)
2
抵消后剩余的 半波带的面积 逐渐减小，光 强逐渐减弱。
3 条纹宽度
S
a
Px
fO
•第k级暗纹到O点的距离
2
两个半波带发出的子波在P点干涉相消，剩 下一个半波带发出的子波在P点叠加，结果 为亮纹。
B
a C
A
思考1： 若AC a sin
2
对应的是明纹还是暗纹？
若AC a sin λ
没有完全抵消，是亮纹，但不是亮 纹中心。
B
《十六章光的衍射》课件
屏幕
放置在圆孔后一定距离 处，用于接收衍射光斑
。
光路调整
确保光源、圆孔和屏幕 在同一直线上，且光源 和屏幕与圆孔的距离适
中。
圆孔衍射实验现象
中心亮斑
衍射光斑的中心出现一个明亮的 亮斑，这是衍射现象的直接结果
。
周边光斑
在中心亮斑周围出现一系列的暗 斑和明斑，这些光斑是不同方向
上的衍射光斑。
光斑分布
单缝衍射条纹分析
条纹间距
随着角度的增加，条纹间距逐渐 增大。
条纹亮度
条纹的亮度呈现周期性变化，明暗 交替出现。
条纹宽度
条纹宽度与单缝宽度有关，单缝越 窄，条纹越细。
04
CATALOGUE
圆孔衍射实验
圆孔衍射实验装置
光源
采用单色光源，如激光 ，以保证光的单色性和
相干性。
圆孔
制作一个具有特定直径 的圆孔，作为衍射的障
பைடு நூலகம்
光学纤维利用光的全反射原理实现光的传 输，但在光纤的弯曲和连接处会发生光的 衍射现象，影响光信号的传输质量。
02
CATALOGUE
光的衍射原理
惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯-菲涅尔原理是光的衍射理论的基础，它指出波前上的每一点都可以作为子波 源，其后任一时刻的波前由这些子波的包络面形成。
该原理可以解释光的衍射现象，包括单缝衍射、圆孔衍射等。
衍射现象的应用
光的衍射现象在光学仪器 、干涉仪、光谱仪等领域 有着广泛的应用。
光的衍射现象举例
单缝衍射
圆孔衍射
单缝衍射是典型的夫琅禾费衍射，通过单 缝的光在屏幕上映出明暗相间的条纹。
圆孔衍射是典型的菲涅尔衍射，通过圆孔 的光在屏幕上形成明暗相间的同心圆环。
光的衍射
光 的 衍 射（Diffraction of light）江美福 物理科学与技术学院一、 衍射现象、惠更斯——菲涅耳原理1. 光的衍射现象圆孔衍射圆盘衍射（泊松点）正三角形孔正四边形孔正六边形孔正八边形孔不同于双缝干涉，单缝衍射中央亮条纹特别宽， 集中了约90%的光强，近似为原来单缝的像。
缝宽时无衍射单缝衍射 单缝衍射图样衍射屏 S λ a观察屏 Sλ衍射屏 L′ L观察屏*λ ≥ 10 - 3 a*分类:(1) 菲涅耳衍射 近场衍射(2) 夫琅和费衍射 远场衍射定义: 光在传播过程中能绕过障碍物的边缘 而偏离直线传播的现象2. 惠更斯原理任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的次波源而发出球面 次波，在以后的任一时刻，所有次波波面的包络就形成整个波动 在该时刻的新波面。
平面波t=0 cτ t=τ t=τ t=0球面波cτ ● ● ● ● ●应用及局限性：可以定性解释直线传播、反射、折射、晶体双折 射等现象不能定量计算和解释干涉、衍射现象。
3. 惠更斯——菲涅耳原理 波传到的任何一点都是子波的波源，各子 波在空间某点的相干叠加，就决定了该点 波的强度。
dSQ S(波前) 设初相为零·θn rdE(p)· pa(Q ) K (θ ) dE( p ) ∝ dS rK(θ ):方向因子 θ = 0, K = K max θ ↑ → K (θ ) ↓ θ ≥ π , K = 0 2a (Q ) 取决于波前上Q点处的强度dE( p ) a(Q ) ⋅ K (θ ) 2π r = dS ⋅ cos(ω t − ) r λa(Q ) ⋅ K (θ ) 2π r E( p ) = ∫∫s ⋅ cos(ω t − ) ⋅ dS r λ = E 0 ( p ) ⋅ cos(ω t + ϕ p ) ) （P处波的强度2 I p ∝ E 0( p )二、 单缝的夫琅和费衍射、半波带法1.单缝的夫琅和费衍射装置缝平面 透镜L 透镜L′ B θ S θ a f′ A Δ f S: 单色光源 θ : 衍射角 观察屏·p0*AB = a (缝宽)2.条纹特点明暗相间的平行直条纹 条纹的宽度和亮度不同•当时，可将缝分成三个“半波带”λθ23sin =a P 处近似为明纹中心形成暗纹。
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s1 * s2 *
D
光学仪器的分辨率
§4-5-2
R
1
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
s1 * s2 *
D
θ0
r0
f
据瑞利判据，透镜 的最小分辨角为： 孔径为D的透镜的 分辨率：
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
望远镜： 但 D R 不可选择，
▲
世界上最大的光学望远镜： D=8m 建在了夏威夷山顶。 ▲世界上最大的射电望远镜： D = 305 m 建在了波多黎各
S1 S2
非相干重叠.
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
瑞利判据
对于两个强度相等的不相干的点光源，如果一 个点光源的衍射图象的中央最亮处刚好与另一个点 光源的衍射图象第一个最暗处相重合，认为这两个 点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
E
S1 S2
恰能分辨
§4-5-2
爱里斑
A2 A1
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
S
D
Airy Disk (爱里斑)
84%
1
I/ I0
相对 光强 曲线
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
sin
大学 物理
衍射孔
L
观察屏
爱里斑
第1暗环相对透镜中心角半径 满足：
D
爱里斑变小
角半径
sin 1.22
§4-5-2
地面观测
§4-5-2
用哈勃望远镜观测
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
显微镜：D不会很大， 但 R （10 -2 10 -1 nm） 电子 ：0.1A 1A 所以电子显微镜分辨本领很高， 可观察物质 的结构。
电子显微镜 拍摄的分子 照片
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
Arecibo，能探测射到整个
地球表面功率仅1012W的 电磁波，也可探测引力波。
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
哈勃太空望远镜： 在大气层外 615km 凹面物镜
D = 2.4 m
δθ 0.1
"
可观察距离：
130亿光年 已发现：
500 亿个星系
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
例：在正常的照度下，设人眼瞳孔的直径为3mm，而 在可见光中，人眼最灵敏的是波长为550nm的绿光， 求（1）人眼的最小分辨角； （2）若物体放在明视距离25cm处，则它们能被分 辨的最小距离。
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
作业 119页：5.8、5.9、5.10 5.12
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
D
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
点光源经过光学仪器的透镜后，由于 衍射的影响，所成的象不是一个点而 是一个明暗相间的圆形光斑。
几何光学 : 物点 象点
ห้องสมุดไป่ตู้
波动光学 : 物点 象斑
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
若两物点有一定距离 可以被分辨.
S1 S2
若两物点靠的很近 不能被分辨.
大学 物理
E
S1 S2
不能分辨
A2 A1
E
S1 S2
能分辨
§4-5-2
A2 A1
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
恰 能 分 辨
能 分 辨
不 能 分 辨
§4-5-2
圆孔的夫琅禾费衍射
大学 物理
满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器 所能分辨的最小距离。对透镜中心所张的角称为最小 分辨角。 爱里斑