第五章系统运动稳定分析资料
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机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为 它不是充分条件。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
2/88
5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
Logo
劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
系统运动的稳定性
对角阵D=diag{d1,…, dn}正定的充要条件是所 有对角元素di > 0。这是因为
f (x) xT Dx d1x12 dn xn2 0
的充要条件是di > 0 。
21
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
A > 0的充要条件是
① 存在可逆实方阵C，使A=CTC。
② A的所有特征值全都大于0。
16
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
(t;
x0
,
t0
)
xe
||
0
则称此平衡状态xe是渐近稳定的。
经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。
若δ与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称
平衡状态是一致渐近稳定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
二 李雅普诺夫第二法主要定理 1 大范围一致渐近稳定判别定理(时变)
结论5.10：对于时变系统 x f (x, t )，t t0 ，如果
存在一个对状态x和时间t具有连续一阶偏导数
标量函数V(x,t), V(0,t) = 0，且满足如下条件：
(1) V(x,t)正定且有界；
先利用经验和技巧来构 造李亚普诺夫函数，再利 用李雅普诺夫函数来判断 系统稳定性。直接法不需 解系统微分方程，获得广 泛应用。
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
对于一个因果系统，假定系统的初始条件 为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳定)。
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
线性系统理论5系统的运动稳定性
引理5.2.1 是系统 x A(t)x ,t t0
是一致渐近稳定的，(t,t0 )为其状态 转移矩阵。Q(t) 为一致有界，一致
正定的矩阵，则积分
P(t) T ( , t)Q( )( , t)d t
例5.2.1 考虑下述时变系统
x 2 x 1 t
容易求得其状态转移矩阵为
(t,
t0
)
(1 t0 )2 (1 t)2
从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。
下面将考察该系统的一致渐近稳定性。
据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定，
则存在正数 k1 和 k2 满足
(1 t0 )2 (1 t )2
定义5.1.4 （Lyapunov意义下的一致渐近 稳定性）
如果在上述Lyapunov意义下的渐
近稳定性定义中，实数 和 T 的大小都不
依赖于初始时刻 t 0 ，那么称平衡状态 xe
是一致渐近稳定的。
定义5.1.5 （Lyapunov意义下的大范围渐近
稳定性） 设 xe 为系统 x f ( x, t) , x(t0 ) x0 , t t0
出发的受
扰运动都满足不等式
(t;x0,t0 ) xe ,t t0
定义5.1.2 （Lyapunov意义下的一致稳定性）
在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中
如果 的选取只依赖于 而与初始时刻
的选取无关，则进一步称平衡状态 xe
t0
是一致稳定的。对于定常系统，x e
的稳定等价于一致稳定，但对时x变e 系统，
的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一
有限点 x0为初始状态的受扰运动 (t; x0 , t0 )
都是有界的，且成立
lim (t;
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
现代控制原理第5章 系统运动的稳定性分析
第5章 控制系统的稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
* 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
x0 x e , t 0 , t t 0
若能使系统从任意初态x0出发的解 x t , x0 , t 0 在t > t0的过 程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域
S(ε)内，即：
x t , x0 , t0 xe (t t0 )
则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论， 它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定 性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比 经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。
5.1 李雅普诺夫稳定性定义
BIBO稳定性的概念
Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x , t , x R n 若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状 态，记为xe。故有下式成立：f xe , t 0 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
* 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。 1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
x0 x e , t 0 , t t 0
若能使系统从任意初态x0出发的解 x t , x0 , t 0 在t > t0的过 程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域
S(ε)内，即：
x t , x0 , t0 xe (t t0 )
则称系统的平衡状态 xe 在 李雅普诺夫意义下是稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论， 它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定 性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比 经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。
5.1 李雅普诺夫稳定性定义
BIBO稳定性的概念
Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义 设系统状态方程为： x f x , t , x R n 若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状 态，记为xe。故有下式成立：f xe , t 0 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
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结论 5.9 [内部稳定性和外部稳定性关系]：
如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则 系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 一些基本概念
➢ 李亚普诺夫第一方法和第二方法
➢ 自由系统、平衡点和受扰运动 ➢ 李亚普诺夫意义下的稳定 ➢ 渐近稳定 ➢ 不稳定
t
t
t0 hi1(t, )u1( )d t0 hip (t, )u p ( )d
且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO 情形，可证得此结论。
结论 5.2 [ 定常系统 ]
x Ax Bu y Cx Du x(0) 0
对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 t0 0 ， H (t) 为其脉冲响应矩阵， G(s) 为其传递函数矩阵，
t
结论5.6 [线性定常系统]
线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是 矩阵 A 的所有特征值均具有负实部，即
Rei ( A) 0 , i 1, 2, , n
其中 n 为系统的维数。
对连续时间线性时 变系统不成立。
注: 当矩阵 A 给定后，则可导出其特征多项式
(s) det(sI A) sn n1sn1 1s 0
利用劳斯—霍尔维茨判据，直接由系数 i (i 0,1, ,n 1)
来判断系统的渐近稳定性。
➢内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论 5.7 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B O稳定。
证： 考虑系统 x Ax Bu，x(0) x0，t 0 y Cx Du
证明 ：分成两步来证明
首先，考虑 p q 1，即单输入—单输出的情况。
先证充分性 ：已知 t h(t, ) d k 成立， t0
且任意输入 u(t) 满足 u(t) k1 ,t t0 ,
那么利用由脉冲响应函数 h(t, ) 表示输出 y(t)
得
t
t
y(t) h(t, )u( )d h(t, ) u( ) d
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定判据 5.5 线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计
5.1 外部稳定性和内部稳定性
➢ 外部稳定性 ➢ 内部稳定性 ➢ 内部稳定性和外部稳定性的关系
脉冲响应矩阵： H (t) CeAt B D (t).
因为系统内部稳定，必有：eAt有界且 lim eAt 0. t
因此，H (t)的所有元素满足
0 | hij (t) | dt k .
从而，系统BIBO稳定。
结论 5.8 [内部稳定性和外部稳定性关系]：
线性定常系统是 B I B O 稳定的（外部稳定），不能保证 系统是内部稳定即渐近稳定。
结论5.4 [时变系统内部稳定]
线性时变（自由）系统在t0时刻内部稳定 状态转移矩阵 (t,t0 )对所有时刻 t [t0, )有界，且
limt (t, t0 ) 0.
结论5.5 [定常系统内部稳定] 线性定常系统: x Ax Bu, x(0) x0 自由系统是内部稳定即渐近稳定 lim eAt 0
对于零初始条件的线性时变系统，表 H (t, )为其脉冲响
应矩阵，则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一
个有限正数 k ，使对于一切 t t0 , ，H (t, ) 的
所有 hij (t, ) (i 1, 2, , q; j 1, 2, , p)
均满足关系式：
t
t0 hij (t, ) d k
如果外输入 u(t) 0 ，由时刻t0任意非零初始状态 x0 引
起的零输入响应 x0u (t)
满足关系式：
lim
t
x0u
(t
)
0
则称系统在时刻 t0 是内部稳定的。
是自治系统状态 运动的稳定性。
注: 内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性 系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。
稳定性是系统的另一个重要特征。 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。
实际系统必须是稳定的。
外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。
内部稳定性 ：基于状态空间描述，零输入下状态运动 的响应来表征。 满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。
➢ 外部稳定性
考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入 u(t) ，
即满足条件：
u(t) k1 ,t t0,
的输入 u(t) ，所对应的输出 y(t) 均是有界的，即成立
y(t) k2 ,t t0,
则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入—有界输出 稳定，简称为 B I B O 稳定。
BIBO稳定判别准则 结论 5.1 [时变系统]
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) 0
考察由它作用下所产生的输出 y(t)，易知
y(t1)
t1 t0
h(t1
,
)u
(
)d
t1 t0
h(t1, )
d
表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。
从而
t
h(t, ) d k ,
t0
t t0,
多输入—多输出情况
系统输出 y(t) 的分量 yi (t) 满足关系式
t
yi (t) t0 hi1(t, )u1( ) hip (t, )u p ( )d
则系统为 B I B O 稳定
存在一个有限正数 k ， 使 H (t) 的每一个元 hij (t)
0 hij (t ) dt k
G(s)（真或严格真） 的所有极点均具有负实部
➢ 内部稳定
对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) x0
定义5.2 [内部稳定]
t0
t0
t
k1 t0 h(t, ) d k1k k2
由定义知：系统为 B I B O 稳定。
证必要性 ：采用反证法，已知系统B I B O 稳定
设存在某个 t
1,
u (t )
sgn
h(t1, t)
0,
1,
h(t1, t) 0 h(t1, t) 0 h(t1, t) 0
如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则 系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 一些基本概念
➢ 李亚普诺夫第一方法和第二方法
➢ 自由系统、平衡点和受扰运动 ➢ 李亚普诺夫意义下的稳定 ➢ 渐近稳定 ➢ 不稳定
t
t
t0 hi1(t, )u1( )d t0 hip (t, )u p ( )d
且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO 情形，可证得此结论。
结论 5.2 [ 定常系统 ]
x Ax Bu y Cx Du x(0) 0
对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 t0 0 ， H (t) 为其脉冲响应矩阵， G(s) 为其传递函数矩阵，
t
结论5.6 [线性定常系统]
线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是 矩阵 A 的所有特征值均具有负实部，即
Rei ( A) 0 , i 1, 2, , n
其中 n 为系统的维数。
对连续时间线性时 变系统不成立。
注: 当矩阵 A 给定后，则可导出其特征多项式
(s) det(sI A) sn n1sn1 1s 0
利用劳斯—霍尔维茨判据，直接由系数 i (i 0,1, ,n 1)
来判断系统的渐近稳定性。
➢内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论 5.7 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B O稳定。
证： 考虑系统 x Ax Bu，x(0) x0，t 0 y Cx Du
证明 ：分成两步来证明
首先，考虑 p q 1，即单输入—单输出的情况。
先证充分性 ：已知 t h(t, ) d k 成立， t0
且任意输入 u(t) 满足 u(t) k1 ,t t0 ,
那么利用由脉冲响应函数 h(t, ) 表示输出 y(t)
得
t
t
y(t) h(t, )u( )d h(t, ) u( ) d
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定判据 5.5 线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计
5.1 外部稳定性和内部稳定性
➢ 外部稳定性 ➢ 内部稳定性 ➢ 内部稳定性和外部稳定性的关系
脉冲响应矩阵： H (t) CeAt B D (t).
因为系统内部稳定，必有：eAt有界且 lim eAt 0. t
因此，H (t)的所有元素满足
0 | hij (t) | dt k .
从而，系统BIBO稳定。
结论 5.8 [内部稳定性和外部稳定性关系]：
线性定常系统是 B I B O 稳定的（外部稳定），不能保证 系统是内部稳定即渐近稳定。
结论5.4 [时变系统内部稳定]
线性时变（自由）系统在t0时刻内部稳定 状态转移矩阵 (t,t0 )对所有时刻 t [t0, )有界，且
limt (t, t0 ) 0.
结论5.5 [定常系统内部稳定] 线性定常系统: x Ax Bu, x(0) x0 自由系统是内部稳定即渐近稳定 lim eAt 0
对于零初始条件的线性时变系统，表 H (t, )为其脉冲响
应矩阵，则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一
个有限正数 k ，使对于一切 t t0 , ，H (t, ) 的
所有 hij (t, ) (i 1, 2, , q; j 1, 2, , p)
均满足关系式：
t
t0 hij (t, ) d k
如果外输入 u(t) 0 ，由时刻t0任意非零初始状态 x0 引
起的零输入响应 x0u (t)
满足关系式：
lim
t
x0u
(t
)
0
则称系统在时刻 t0 是内部稳定的。
是自治系统状态 运动的稳定性。
注: 内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性 系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。
稳定性是系统的另一个重要特征。 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。
实际系统必须是稳定的。
外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。
内部稳定性 ：基于状态空间描述，零输入下状态运动 的响应来表征。 满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。
➢ 外部稳定性
考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入 u(t) ，
即满足条件：
u(t) k1 ,t t0,
的输入 u(t) ，所对应的输出 y(t) 均是有界的，即成立
y(t) k2 ,t t0,
则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入—有界输出 稳定，简称为 B I B O 稳定。
BIBO稳定判别准则 结论 5.1 [时变系统]
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) 0
考察由它作用下所产生的输出 y(t)，易知
y(t1)
t1 t0
h(t1
,
)u
(
)d
t1 t0
h(t1, )
d
表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。
从而
t
h(t, ) d k ,
t0
t t0,
多输入—多输出情况
系统输出 y(t) 的分量 yi (t) 满足关系式
t
yi (t) t0 hi1(t, )u1( ) hip (t, )u p ( )d
则系统为 B I B O 稳定
存在一个有限正数 k ， 使 H (t) 的每一个元 hij (t)
0 hij (t ) dt k
G(s)（真或严格真） 的所有极点均具有负实部
➢ 内部稳定
对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) x0
定义5.2 [内部稳定]
t0
t0
t
k1 t0 h(t, ) d k1k k2
由定义知：系统为 B I B O 稳定。
证必要性 ：采用反证法，已知系统B I B O 稳定
设存在某个 t
1,
u (t )
sgn
h(t1, t)
0,
1,
h(t1, t) 0 h(t1, t) 0 h(t1, t) 0