阿基米德三角形性质与高考题
高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
高中数学圆锥曲线系统讲解第27讲《阿基米德三角形》练习及答案
第27讲 阿基米德三角形知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）设AB 中点为M ，则PM 平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM 的中点S 在抛物线上，且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2．如图2所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则点P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB 过定点()0,m ()0m >，则点P 的轨迹是直线y m =−；（2）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则以Q 为中点的弦与（1）中点P 的轨迹平行. 3．如图3所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，若AB 过焦点F ，则点P 的轨迹为抛物线准线，PA PB ⊥，PF AB ⊥，且PAB 的面积的最小值为2p .4．如图4所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）PFA PFB ∠=∠；（2）2AF BF PF ⋅=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B ，则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =−⇒抛物线的焦点为()1,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F 且PF AB ⊥，而101112PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M −和抛物线2:4C x y =，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =_______.【解析】由题意，M 在抛物线C 的准线上，直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒，所以MAB 是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MF AB ⊥，而11120MF k −−==−−，所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =，过点()1,1P −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且直线AB 过焦点()0,1F ，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，直线PF 的斜率为11210−−=−−， 所以直线AB 的斜率为12，其方程为112y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：2240x x −−=， 故122x x +=，()12121232y y x x +=++=，从而AB 中点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1225AB y y =++=，所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线在A 、B 处的切线交于点C ，则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB 过焦点F 时，ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，若3AF =，则PF =_______. 【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()2231cos 1cos 2BF παα===+−−， 由阿基米德三角形性质，2AF BF PF ⋅=所以2PF ==.【答案】2【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4. （1）求p 的值；（2）若点Q 在圆I 上，QA 、QB 是抛物线C 的两条切线，A 、B 是切点，当IQ AB ∥时，求直线AB 与y 轴交点的坐标. 【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p =. （2）显然直线AB 斜率存在，可设其方程为y kx m =+，由（1）知抛物线C 的方程为24x y =，联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =可得24x y =，所以2x y '=，故直线QA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y x =−，同理，直线QB 的方程为22224x x y x =−，联立2112222424x x y x x xy x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点Q 的坐标Wie ()2,k m −， 因为点Q 在圆I 上，所以()22421k m +−+=①， 因为IQ AB ∥，所以22mk k−=，从而222k m =−， 代入式①可得()()22221m m −+−+=解得：3m =，又2220k m =−≥，所以2m ≤，故3m =， 从而直线AB 与y轴的交点的坐标为(0,3.【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.（★★★）已知点()2,1P −在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过P 作抛物线C 的切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P −在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F ，且PF AB ⊥，而101224PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为4， 故直线AB 的方程为()42y x =−【答案】()42y x =−2.（★★★）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.（★★★）已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若0PA PB ⋅=，则k =_______.【解析】由题意，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在抛物线的准线上，且PA PB ⊥，所以PAB 是阿基米德三角形，从而PF PB ⊥，直线PF 的斜率1011122PF k −==−−−，故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.（★★★）已知抛物线2:4C x y =，过点()0,1P x −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4，则0x =______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且AB 过焦点()0,1F ，直线PF 的斜率为001120x x −−=−−，所以直线AB 的斜率为02x ，其方程为012x y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：20240x x x −−=，所以1202x x x +=，()201212022x y y x x x +=+=+， 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，212024AB y y x =++=+， 因为PA PB ⊥，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：01x =±.【答案】1±5.（★★★★）已知抛物线2y x =和点()0,1P ，若过某点C 可作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，且满足1233CP CA CB =+，则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=−⇒P 、A 、B 三点共线，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设0k >, 联立21y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：210x kx −−=，判别式240k =+>， 由韦达定理12x x k +=，121x x =−，又2PA PB =−，所以122x x =−，联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=−⎨⎪=−⎩可解得：k =，所以12x x +，设AB 中点为D ，则122D x x x +==， 代入1y kx =+得51244D y =⨯+=， 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =−上， 所以()59144CD =−−=，故121199922418216ABCSCD x x =⋅−=⨯⨯=⨯=.6.（★★★★★）已知动圆过点()0,1F ，且与直线:1l y =−相切.（l ）求动圆圆心的轨迹E 的方程； （2）设P 为一动点，过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 和B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点，设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在点P ，使得24AB CD d ⋅=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为24x y =.（2）显然直线AB 的斜率存在，故可设其方程为y kx m =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，由24x y =得24x y =，所以2xy '=，故直线PA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y =−，同理，直线PB 的方程为22224x x y =−，联立2112222424x x y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点P 的坐标为()2,k m −，因为PA PB ⊥， 所以12122x x m ⋅=−=−，故1m =，从而AB 过点F ， 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 原点到直线AB，故CD =点P 到直线AB 的距离d ==所以24AB CD d ⋅=等价于()()2244161k k +⋅=+， 化简得：2101k =+，无解，故不存在点P ，使得|24AB CD d ⋅=.。
阿基米德三角形性质与高考题
阿基米德三角形性质与高考题性质1即：)2,2(2121y y p y y Q +19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2=⋅，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．性质2：2||||||QF BF AF =⋅例7．（13广东）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.性质3：QFB QFA ∠=∠22．（05江西）如图，设抛物线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p（21）（06年全国卷2）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
专题4 阿基米德三角形
专题4 阿基米德三角形专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形 【微点综述】在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形. 阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。
一、预备知识——抛物线上一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =−+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+； （4）过抛物线()220x py p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =−+．下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x −=−，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx −−+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +−=∴−+=抛物线上一点处的切线唯一，∴ 关于k 的一元二次方程200220pk x k y −+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p−=−，即2000x x x py py =+−，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP x x∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。
2024届高考数学拓展：隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形(解析版))
隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1若椭圆C：x2a+2+y2a=1(a>0)的蒙日圆为x2+y2=6，则a等于()A.1B.2C.3D.4【答案】B2(2023·烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为()A.43B.2C.4D.42【答案】C3已知在平面直角坐标系Oxy中，A(-2,0)，动点M满足|MA|=2|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A.-5，5B.-6，6C.-7，7D.-22，22【答案】C4抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=0【答案】A5(多选)(2023·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB=90°B.点P 的坐标是x 1+x 22，x 1x 22C.△PAB 的边AB 所在的直线方程为(x 1+x 2)x -2py -x 1x 2=0D.△PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)【答案】ACD【解析】由题意设A x 1，x 212p，B x 2，x 222p，x 1<x 2，由x 2=2py ，得y =x 22p ，则y ′=xp，所以k PA =x 1p ，k PB =x 2p，若弦AB 过焦点，设AB 所在直线为y =kx +p 2，联立x 2=2py ，得x 2-2pkx -p 2=0，则x 1x 2=-p 2，所以k PA ·k PB =-p 2p 2=-1，所以PA ⊥PB ，故A 正确；以点A 为切点的切线方程为y -x 212p =x 1p (x -x 1)，以点B 为切点的切线方程为y -x 222p =x 2p (x -x 2)，联立消去y 得x =x 1+x 22，将x =x 1+x 22代入y -x 212p =x1p (x -x 1)，得y =x 1x 22p，所以Px 1+x 22，x 1x 22p，故B 错误；设N 为抛物线弦AB 的中点，N 的横坐标为x N =x 1+x 22，因此直线PN 平行于y 轴(或与y 轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D 正确；设直线AB 的斜率为k =y 2-y 1x 2-x 1=x 222p-x 212px 2-x 1=x 1+x 22p ，故直线AB 的方程为y -x 212p =x 1+x22p(x -x 1)，化简得(x 1+x 2)x -2py -x 1x 2=0，故C 正确．]6(多选)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点．直线l 的方程为bx +ay -a 2-b 2=0.下列说法正确的是()A.C 的蒙日圆的方程为x 2+y 2=3b 2B.对直线l 上任意一点P ，PA ·PB>0C.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为433b D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为6b 2【答案】AD 【解析】对于A ，过Q (a ，b )可作椭圆的两条互相垂直的切线x =a ，y =b ，∴Q (a ，b )在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，由e =c a=1-b 2a2=22得a 2=2b 2，∴C 的蒙日圆方程为x 2+y 2=3b 2，A 正确；对于B ，由l 方程知l 过P (b ，a )，又P 满足蒙日圆方程，∴P (b ，a )在圆x 2+y 2=3b 2上，当A ，B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA ·PB=0，B 错误；对于C ，∵A 在椭圆上，∴|AF 1|+|AF 2|=2a ，∴d -|AF 2|=d -(2a -|AF 1|)=d +|AF 1|-2a ；当F 1A ⊥l 时，d +|AF 1|取得最小值，最小值为F 1到直线l 的距离，又F 1到直线l 的距离d ′=|-bc -a 2-b 2|a 2+b 2=|-b 2-2b 2-b 2|3b=433b ，∴(d -|AF 2|)min =433b -2a ，C 错误；对于D ，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为x ，y ，则x 2+y 2=12b 2，∴矩形MNGH 的面积S =xy ≤x 2+y 22=6b 2(当且仅当x =y =6b 时取等号)，即矩形MNGH 面积的最大值为6b 2，D 正确．7抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.已知A (-2,1)，B (2,1)为抛物线C ：x 2=4y 上两点，则在A 点处抛物线C 的切线的斜率为；弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为．【答案】-1 838(2023·赣州模拟)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为．【答案】0，63【解析】 根据题意可得，圆x 2+y 2=a 2+1上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离时，∠APB 恒为锐角，故a 2+1<|0+0-10|32+422=4，解得1<a 2<3，从而离心率e =1-1a2∈0，63 .9(2023·开封模拟)如图，过点P (m ，n )作抛物线C ：x 2=2py (p >0)的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，动点Q 为抛物线C 上在A ，B 之间的任意一点，抛物线C 在点Q 处的切线分别交PA ，PB 于点M ，N .(1)若AP ⊥PB ，证明：直线AB 经过点0，p2 ；(2)若分别记△PMN ，△ABQ 的面积为S 1，S 2，求S 1S 2的值．【答案】 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y =kx +b ，由x 2=2py ，y =kx +b ，消去y 并整理得x 2-2pkx -2pb =0，有x 1x 2=-2pb ，令抛物线C：x2=2py在点A处切线方程为y-y1=t(x-x1)，由y-y1=t(x-x1)，x2=2py，消去y并整理得x2-2ptx+2ptx1-2py1=0，则有Δ=4p2t2-4(2ptx1-2py1)=4p2t2-4(2ptx1-x21)=0，解得t=x1 p，同理，抛物线C：x2=2py在点B处切线斜率为x2 p，因为AP⊥PB，则有x1p·x2p=-2pbp2=-1，解得b=p 2，所以直线AB：y=kx+p2恒过定点0，p2.(2)解 由(1)知，切线PA的方程为y-y1=x1p(x-x1)，整理得y=x1px-y1，同理切线PB的方程为y=x2px-y2，设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y=x0px-y0，而点P(m，n)，即有n=x1pm-y1，n=x2pm-y2，因此直线AB的方程为y=mpx-n，有|AB|=1+mp2|x1-x2|，点Q(x0，y0)到直线AB的距离是d2=mpx0-y0-n 1+mp2，则S2=12|x1-x2|mpx0-y0-n，由py=x0x-py0，py=x1x-py1，解得点M的横坐标x M=x0+x1 2，同理点N 的横坐标x N =x 0+x 22，有|MN |=1+x 0p2|x 1-x 2|2，点P (m ，n )到直线MN 的距离d 1=mp x 0-n -y 01+x 0p2，则S 1=14|x 1-x 2|m p x 0-y 0-n，所以S 1S 2=12.10已知圆O ：x 2+y 2=5，椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和22.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A ，B 两点．①若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；②作PQ ⊥AB 于点Q ，求证：|QF 1|+|QF 2|是定值．【答案】(1)解：由题意得a 2=b 2+c 2，25-c 2=22，2b 2a =1， 解得a =2，b =1，c =3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)①解 设P (x 0，y 0)，则过P 的切线方程为y -y 0=k (x -x 0)，且x 20+y 20=5，由x 24+y 2=1，y -y 0=k (x -x 0)，化简得(1+4k 2)x 2+8k (y 0-kx 0)x +4(y 0-kx 0)2-4=0，由Δ=0，得(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0，设切线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=1-y 204-x 20=1-y 204-(5-y 20)=-1，又直线PA 的斜率为2，则直线PB 的斜率为-12.②证明 当切线PA ，PB 的斜率都存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线PA ，PB 的方程为y -y i =k i (x -x i )，i =1,2并由①得(4-x 2i )k 2i +2x i y i k i +1-y 2i =0，i =1,2，(*)又点A ，B 在椭圆上，得x 2i 4+y 2i =1，i =1,2代入(*)，得2y i k i +x i 2 2=0，即k i =-x i4y i，i =1,2，切线PA ，PB 的方程为x i x4+y i y =1，i =1,2，又切线过P 点，则x i x 04+y i y 0=1，i =1,2，所以直线AB 的方程为x 0x4+y 0y =1，由PQ ⊥AB 得直线PQ 方程为y -y 0=4y 0x 0(x -x 0)，联立直线AB 方程x 0x4+y 0y =1，解得x Q =4x 0(1+3y 20)x 20+16y 20=45x 0，y Q =y 0(1+3y 20)x 20+16y 20=15y 0，由x 20+y 20=5得Q 点轨迹方程为516x 2+5y 2=1，且焦点恰为F 1，F 2，故|QF 1|+|QF 2|=2×45=85=855，当切线PA ，PB 的斜率有一个不存在时，如PB 斜率不存在，则B (2,0)，P (2,1)，A (0,1)，直线AB 的方程为y =-12x +1，PQ 的方程为y -1=2(x -2)，可解得Q 85，15，Q 点也在椭圆516x 2+5y 2=1上，若B (-2,0)，同理可得．综上得|QF1|+|QF2|=855，为定值．11(2023·合肥模拟)已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆x23+y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(-2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；②求△AMN面积的取值范围．【答案】(1)解：设直线的方程为y=k(x+2)，代入椭圆x23+y2=1，消去y，可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0，由Δ=0，可得k2-1=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1，∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2.(2)①证明 当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x=±3，当l1的方程为x=3时，此时l1与圆的交点坐标为3，±1，∴l2的方程为y=1(或y=-1)，l1⊥l2成立，同理可证，当l1的方程为x=-3时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2+n2=4，设方程为y=k(x-m)+n，代入椭圆方程，可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0，由Δ=0化简整理得(3-m2)k2+2mnk+1-n2=0，∵m2+n2=4，∴(3-m2)k2+2mnk+m2-3=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立．②解 记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，∴|MA|=2d2，|NA|=2d1，d21+d22=|OA|2=4，△AMN面积为S=12|MA|×|NA|=2d1d2，S 2=4d 21d 22=4d 21(4-d 21)=-4(d 21-2)2+16，∵d 21∈[1,3]，∴S 2∈[12,16]，∴S ∈[23，4]．12定义椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；(2)过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．【答案】 (1)解：由题意知2a =4，e =c a =12，∴c =1，∴b 2=3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，∴“蒙日圆”E 的方程为x 2+y 2=4+3=7，即x 2+y 2=7.(2)证明 当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y =kx +m ，则由y =kx +m ，x24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4m 2-12=0，∴Δ=64m 2k 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0，∴m 2=3+4k 2，由y =kx +m ，x 2+y 2=7，消去y 得(1+k 2)x 2+2mkx +m 2-7=0，∴Δ=4m 2k 2-4(1+k 2)(m 2-7)=16+12k 2>0，设M (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-2mk1+k 2，x 1x 2=m 2-71+k 2，∴k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k2·m 2-71+k 2+km ·-2mk 1+k 2+m2m 2-71+k 2=m 2-7k 2m 2-7，∵m 2=3+4k 2，∴k 1k 2=m 2-7k 2m 2-7=3+4k 2-7k 23+4k 2-7=-34，当切线MA 的斜率不存在且为零时，k 1k 2=-34成立，∴k 1·k 2为定值．13已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上的点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．【答案】解：(1)易得圆的圆心M (0，-4)，抛物线C 的焦点为F 0，p 2 ，|FM |=p 2+4，∴F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上的点的距离的最小值为p2+4-1=4，解得p =2.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ，即y =x 24，对该函数求导得y ′=x 2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，直线PA 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1)，即y =x 1x2-y 1，即x 1x -2y 1-2y =0，同理可知，直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，由于点P 为这两条直线的公共点，则x 1x 0-2y 1-2y 0=0，x 2x 0-2y 2-2y 0=0，∴点A ，B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0，∴直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0，联立x 0x -2y -2y 0=0，y =x 24，可得x 2-2x 0x +4y 0=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2x 0，x1x2=4y0，∴|AB|=1+x022·(x1+x2)2-4x1x2 =1+x022·4x20-16y0=(x20+4)(x20-4y0)，点P到直线AB的距离为d=|x20-4y0|x20+4，∴S△PAB=12|AB|·d=12(x20+4)(x20-4y0)·|x20-4y0|x20+4=12(x20-4y0)32，∵x20-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y20-12y0-15=-(y0+6)2+21，由已知可得-5≤y0≤-3，∴当y0=-5时，△PAB的面积取最大值12×2032=205.11。
过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用
2020年第4期(上)中学数学研究5过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用安徽省合肥市第一中学(230601)谷留明文[1]介绍了抛物线中阿基米德三角形—–圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形的一些性质,在此基础上,本问探究圆锥曲线中过一个焦点的阿基米德三角形的统一性质及其逆定理,由此得出圆锥曲线在任意一点处或过准线上任意一点的切线的作图方法,并举例说明了这些性质在解决近几年相关高考题中的妙用.1性质定理性质已知圆锥曲线C 的焦点F 对应的准线为l ,过l 上一点P 引曲线C 的两条切线P A ,P B ,切点分别为A ,B ,则直线P F 垂直AB 于F.图1证明当圆锥曲线C 为椭圆时,如图1,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :x 1x a 2+y 1y b 2=1,l P B :x 2x a 2+y 2yb2=1,因为P 在l P A ,l P B 上,所以−x 1c +y 1t b 2=1,−x 2c +y 2tb2=1.由此得l AB :−x c +tyb2=1.令y =0,得x =−c .所以l AB 过点F (−c,0).易知k P F =t −0c −a 2c=−ctb 2.由l AB 方程得,t =0时,k AB =b 2ct,k P F ·k AB =−1;t =0时,k P F =0,k AB 不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .当圆锥曲线C 为双曲线时,如图2,证明类似,略.需注意的是,如图3,对于l 上的点P ,当且仅当P 在渐近线上时,过P 只能引双曲线C 的一条切线.设切点为A ,此时易证P F ⊥AF 于F.图2图3图4当圆锥曲线C 为抛物线时,如图4,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0),P (−p 2,t ),t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ).因为P 在l P A ,l P B 上,所以y 1t =p (x 1−p2),y 2t =p (x 2−p 2).由此得l AB :ty =p (x −p 2)，令y =0,得x =p2,所以l AB过点F (p 2,0).易知k P F =t −0−p 2−p 2=−tp .由l AB 方程得,t =0时,k AB =pt,k P F ·k AB =−1;t =0时,k AF =0,k AB不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .若此性质的条件和结论适当逆过来,命题也成立.逆定理1已知过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线交曲线C 于点A 和B ,过F 作直线AB 的垂线,若垂线与F 对应的准线相交于点P ,则直线P A ,P B 均为曲线C 的切线.证明当圆锥曲线C 为椭圆时,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),A (x 0,y 0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .由−→F A ·−→F P =0得t =b 2(x 0+c )cy 0.所以k P A =y 0−tx 0+a 2c=cy 20−b 2(x 0+c )y 0(a 2+cx 0),因为曲线C 在A 处的切线为l A :x 0x a 2+y 0yb2=1,其斜率为−b 2x 0a 2y 0.而k P A −(−b 2x 0a 2y 0)=c (a 2y 20+b 2x 20−a 2b2)a 2y 0(a 2+cx 0),又x 20a 2+y 20b 2=1,所以a 2y 20+b 2x 20−a 2b 2=0,k P A =−b 2x 0a 2y 0.所以点P 在l A 上,即直线P A 为曲线C 的切线.同理可证直线P B 也为曲线C 的切线.当圆锥曲线C 为双曲线或抛物线时,证明类似,略.逆定理2已知线段AB 为圆锥曲线C 的过焦点F 的弦,若曲线C 在A ,B 处的切线相交于点P ,则点P 必在焦点F 所对应的准线上,且P F ⊥AB .证明当圆锥曲线C 为抛物线时,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则曲线C 在A,B 处的切线分别为l A :y 1y =p (x 1+x ),l B :y 2y =p (x 2+x )联立这两个切线方程,解得交点P 的横坐标为x P =x 1y 2−x 2y 1y 1−y 2=(my 1+p 2)y 2−(my 2+p 2)y 1y 1−y 2=−p 2,y P =p (x 1−x 2)y 1−y 2=pm .所以P 在F 所对应的准线l :x =−p 2上.6中学数学研究2020年第4期(上)当m =0时，l AB ⊥x 轴,k P F =0,P F ⊥AB ;当m =0时,k P F ·k AB =pm −0−p 2−p 2·1m =−1,P F ⊥AB .当圆锥曲线C 为椭圆或双曲线时,证明类似,略.进一步研究发现,还有以下结论成立.结论1已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,抛物线C 在A,B 处的切线相交于点P ,则∠AP B =90◦.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (−p 2,t ),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ),所以k P A ·k P B =p y 1·p y 2=p 2y 1y 2.联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1y 2=−p 2.所以k P A ·k P B =−1,∠AP B =90◦.结论2已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,点P 在抛物线C 的准线上,且∠AP B =90◦,则P F ⊥AB ,且直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设P (−p 2,t ),l AB :x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1+y 2=2pm,y 1y 2=−p 2,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+p =2pm 2+p ,x 1x 2=y 212p ·y 222p =(y 1y 2)24p 2=p 24.−→P A ·−−→P B =(x 1+p 2)(x 2+p 2)+(y 1−t )(y 2−t )=x 1x 2+p2(x 1+x 2)+y 1y 2−t (y 1+y 2)+t 2=(pm −t )2.又∠AP B =90◦,所以−→P A ·−−→P B =(pm −t )2=0,t =pm ,从而k P F =t −0−p 2−p 2=−m .当m =0时,l AB不存在斜率,k P F =0,故P F ⊥AB ；当m =0时,k P F ·k AB =−m ·1m=−1,故P F ⊥AB .再根据逆定理1,可得直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.2切线作图由性质2,可以得到圆锥曲线在任意一点A 处,或者过准线l 上任意一点P 的切线的作图方法.2.1作圆锥曲线C 在任意一点A 处的切线(设C 的一个焦点为F ,其对应的准线为l ):(1)连接AF ;(2)过F 作AF 的垂线,交l 于点P ;(3)连接P 和A ,直线P A 即为圆锥曲线C 在点A 处的切线.2.2作圆锥曲线C 的过准线l 上任意一点P 的切线(设准线l 对应的焦点为F ):(1)连接P F ;(2)过F 作P F 的垂线,作出垂线与曲线C 的交点(一个或者两个);(3)连接P 和交点,所得直线(一条或者两条)即为圆锥曲线C 过点P 的切线.3考题妙解例1(2018年高考全国卷Ⅲ理科第16题)已知点M (−1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB =90◦,则k =.分析本题主要考查直线与圆锥曲线的相交关系,考查数学结合和转化化归思想,考查直观想象和数学运算等核心素养.其基本思路是:设过A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的直线方程为y =k (x −1),将它与抛物线方程联立、消y ,可得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0,由此表示出x 1+x 2,x 1x 2,再结合直线方程表示出y 1+y 2,y 1y 2,代入−−→MA ·−−→MB =(x 1+1)(x 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=0,整理可求出k .此法的计算量大而易出错.而根据结论2,设C 的焦点为F ,则MF ⊥AB .所以k ·k MF =k ·1−0−1−1=−1,轻松得解k =2.例2(2019年高考全国卷Ⅲ理科第21题第(1)问)已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明：直线AB 过定点.分析由性质定理直接可知,定点为C 的焦点.证明方法既可以用上文中性质定理的证明方法,也可以直接验证C 的焦点坐标恒符合直线AB 的方程.若对性质定理中的条件进行推广,比如过与圆锥曲线C 相离的直线l 上任一点,甚至过圆锥曲线C 外任一点,引曲线C 的两条切线,又会有何规律与结论呢?可进行更深的研究.参考文献[1]王宁岚.“形”“性”而解—–浅议阿基米德三角形的应用[J].中学数学(高中版)，2013(02):31-33.[2]杨艳萍.多角度认识圆锥曲线的切线[J].中学数学研究，2018(03):28-31.。
高中数学重点题型圆锥曲线之阿基米德三角形
圆锥曲线——阿基米德三角形近几年，各地高考解析几何试题中许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形。
考点形式为阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养。
因此，今天我们来学习一下阿基米德三角形。
抛物线上某一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =->上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =-+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+；（4）过抛物线()220x py p =->上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =-+．下面仅以（3）为例证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x -=-，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx --+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +-=∴-+= 抛物线上一点处的切线唯一，∴关于k 的一元二次方程200220pk x k y -+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p-=-，即2000x x x py py =+-，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科压轴题背景探究
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科
压轴题背景探究
阿基米德三角形是一种具有特殊性质的三角形，它由阿基米德提出，在几何学中有着广泛的应用。
阿基米德三角形的性质有：
1、阿基米德三角形的三个内角相等，每个内角等于
$60^{\circ}$；
2、阿基米德三角形的三条边满足勾股定理，即两边之和大于
第三边；
3、阿基米德三角形的三条边满足比例关系，即两边之比等于
第三边。
阿基米德三角形的应用：
1、在建筑学中，阿基米德三角形用来构建桥梁、楼梯、屋顶
等建筑物；
2、在航海学中，阿基米德三角形用来测定船只在海上的位置；
3、在机械学中，阿基米德三角形用来设计齿轮系统、传动系
统等；
4、在几何学中，阿基米德三角形用来推导许多几何定理，如勾股定理、三角形内角和定理等。
高中数学阿基米德三角形
高中数学阿基米德三角形1.在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)作一条直线，与抛物线y=x^2相交于AB两点。
一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q。
1）若OA×OB=2，求c的值；2）若P为线段AB的中点，证明QA为此抛物线的切线；3）是否存在一个点P，使得QA为此抛物线的切线？请说明理由。
2.抛物线(p>0)，点M(x,y)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A,B（当M为原点O时，A,B重合于O）x=1/2，切线MA的斜率为-1/2.I）求p的值；II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（当A,B重合于O时，中点为O）。
3.设抛物线方程为x^2=2py(p>0)，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
Ⅰ）证明：A，M，B三点的横坐标成等差数列；Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，-2p)时，AB=4√10.求此时抛物线的方程；Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D 在抛物线x^2=2py(p>0)上，其中，点C满足OC=OA+OB（O 为坐标原点）？若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4.对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x^2=4y上的点，过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点Bn(sn,tn)。
Ⅰ）证明：xn*sn=-4 (n≥1)；Ⅱ）取xn=2，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。
试证：FC1+FC2+。
+FCn=2n-2-n+1+1.5.设抛物线C:y=x^2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点。
1）求△APB的重心G的轨迹方程；2）证明∠PFA=∠PFB。
6.已知抛物线x^2=4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且AF=λFB(λ>0)。
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阿基米德三角形性质与
高考题
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
阿基米德三角形性质与高考题
性质1
即：)2
,2(2
1
21y y p y y Q + 19．（07年江苏卷轴正方向上一点(0)C c ，A B ，两点．一条垂直于x :l y c =-交于点P Q ，．
（1）若2=⋅OB OA ，求c （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．
解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2
()A a a ，，2
()B b b ，，则ab c =-．
因为22
2
2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．
（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫
-
⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222
AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设0()Q x c -，
． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQ
a c a a
b k a x a x +-==--，所以20
2a ab
a a x -=-，
得202ax a ab =+，因0a ≠，有02
a b
x +=． 故点P 的横坐标为
2
a b
+，即P 点是线段AB 的中点． 性质2：2||||||QF BF AF =⋅
例7．（13广东）已知抛物线C
20=的距离
为
2
.设P 为直线l 上的点,. (Ⅰ) 求抛物线C (Ⅱ) 当点()00,P x y (Ⅲ) 当点P 在直线l 性质3：QFB QFA ∠=∠
22．（05江西02=-y 上运动，过P 作抛物线C B 两点.
（1）求△APB 的重心G （2）证明∠PFA=∠22．解：（1）设切点A 、B ∴切线AP 的方程为：2x 切线BP 的方程为：21x 解得P 点的坐标为：101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=
3
10，
所以2
43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
（2）因为).4
1,(),41,2(),41,(2
111010
200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP
∴||41)1)(1(||||cos 102
010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +
=--+⋅+==∠
同理有||41)1)(1(||||cos 102
110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +
=--+⋅+==
∠ ∴∠AFP=∠PFB.
性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p
（21）（06年全国卷
F ，A 、B 是热线上的两动点，且
(0).AF FB λλ=>过M 。
（I ）证明.FM AB （II ）设ABM ∆S 的最小值。