高数下期中考试 (1)

高等数学（下册）期中考试汇编(2013-5-5)一、解答下列各题（70107=⨯'分）1. 设xyz y xxy u e +-=，求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==r r，求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程.3. 设有球面14222=++z y x ，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.4. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =，求yx z∂∂∂2在)1,2,1(-P 处的值.5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成。

求2d z v Ω⎰⎰⎰6. 计算二重积分⎰⎰+-=Dy x I σd )1(22，其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22及0=x 所围在第一象限的区域.7. 计算二重积分⎰⎰⎰⎰+=y yxy yxy x y x y I d e d d e d 121212141.8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积.9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水，现注入)(cm 1283π的水，问水面比原来升高多少？10. 求向量值函数f 的导数，其中[].)sin(,e ,cos Tx xz y y x =f二、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y x f z y x ,e ，其中具有二阶连续偏导数，求.2y x f∂∂∂三、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=及)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体，求Ω对oz 轴的转动惯量.z I五、设)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Ωv y x f z t f d 211)(222，其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定，求).(t f(2012-4-21)一．填空题（每小题5分，共20分）1．曲线2t x =，2,y t z t ==上相应于2=y 的点处的切线方程是2．xy z u arctan =在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F ，在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为4．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 二．计算下列各题（每小题9分，共54分）1）计算dx xxe dy I y x sin )1(11⎰⎰+=2）计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22sin ，22224:ππ≤+≤y x D3）设),(22x y x f x z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求x z∂∂和22x z ∂∂4）求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长.5．在曲面1=++z c y b x a )0,0,0(>>>c b a 上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.6．设函数)](1[),(22y x yf x y x F ++=，其中)(u f 二阶可导，① 求yx Fx F ∂∂∂∂∂2,，② 求二重积分⎰⎰=Ddxdy y x F I ),(，其中D 是由3,1,1y x y x ===-围成的平面区域.三. (9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))1）设有二元向量值函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=xy y x y x f 2),(22ϖ，试求f ϖ在点)1,1(处的导数与微分. 2)．设),(y x f z =，由0=+---z y x xe y x 所确定，求dz四．（11分）讨论函数32),(y x y x f =在点)0,0(处是否连续，偏导是否存在，是否可微？五．（6分）已知)(22y x u u +=有连续二阶偏导数，且满足222222y x yu x u +=∂∂+∂∂试求函数u 的表达式.(2011-4-23)一、填空题（每小题5分共20分）1．函数)2sin(ln e ),(y x y x f x -=，在)0,4(π点处的全微分=z d .2．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 .3．设有椭球面12222=++z y x ，则它在点)21,21,21(-处的切平面方程为4．设),(y x z z =由方程yzz x ln =所确定，则=∂∂22x z二．单选题（每小题5分，共20分）1．在曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==32t z t y tx 的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（ ）A ．只有1条B ．只有2条C ．只有3条D 不存在 2．22201limcos()d d x y r De x y x y r π-→+=⎰⎰（ ）. 其中.:222r y x D ≤+A ．πB ．1/πC ．1D ．1- 3．设),(y x f 连续,⎰⎰=ex y y x f x I 1ln 0d ),(d 交换积分次序后为（ ）A ．⎰⎰=e x x y x f y I 1ln 0d ),(d B ．⎰⎰=eey x y x f y I 1d ),(dC ．⎰⎰=x ex y x f y I ln 01d ),(d D ．⎰⎰=1d ),(d eey x y x f y I4．函数22222222sin 2(),0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处（ ）A ．无定义B ．连续C ．有极限但不连续D ．无极限三、（10分）设函数),(v u f 可微，),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数，求,z z x y∂∂∂∂. 四、（10分）讨论函数(,)f x y =在)0,0(处连续性、可导性、可微性. 五、（10分）在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ，使它到平面062:=++-z y x π的距离最短.六、（10分）计算 2 4 2 1 2d d d d 22x x xI x y x y yyππ=+⎰⎰.七、（10分）计算二重积分.4:,d d sin 222222ππ≤+≤+⎰⎰y x D y x y x D八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))(1) 求向量值函数(,,)(cos ,,sin())x T f x y z x y ye xz =r的Jacobi 矩阵. (2) 求函数2(,2,3)z f x x y x y =+-的梯度(f 的偏导存在).九. （6分）求抛物面221z x y =++的一个切平面,使得它与抛物面及圆柱22(1)1x y -+=围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.(2010-5-8)一、 填空题（每小题4分，共20分） 1 设xyz yx xy u e +-=，则=)0,2,1(d z .2 设⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 23，则它在1=t 所对应点处的切线方程为 .3 设222ln z y x u ++=，则=)1,1,1(grad f .4 设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31l ϖ的方向导数为 .5 计算2222()d x y R x y σ+≤+⎰⎰ .二、 计算题（每小题7分,共63分）1 求曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.2 计算⎰⎰-+-221111d sin d y yx xxyy . 3 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x y x xf z 2,2，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.4 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数及可微性.5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2y x =,现将长为l 的细棒AB 置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设1l <).6 (学工科数学分析者作(1),其他作(2))(1)求向量值函数T2222221),ln(),sin(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=z y z x y x f ϖ在点T )1,1,1(处的导数.(2)求由方程05242222=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数z 的二阶偏导数22xz ∂∂.7 计算二重积分⎰⎰+Dy x σd 22，其中}0,0,42|),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D .8 若二元函数),(y x z 在xoy 平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂D D y x z x x z xz y x x z d d 2d d 222，求函数),(y x z . 9 设函数()f t 在[0,)+∞上连续，且满足方程22224π4()e d d t x y t f t f x y +≤=+⎰⎰,求()f t .三、 讨论题（共17分）1.计算二元函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 时,可以先将0y y =代入(,)f x y 中,再求一元函数0(,)f x y 在0x 处对x 的导数,即0000(,)(,)x x x df x y f x y dx ==,为什么?2.试通过讨论函数224(,)128f x y x xy y =-+的极值点,来说明当点(,)x y 在过000(,)M x y 的任一直线L 上变动时,二元函数(,)f x y 都在000(,)M x y 处取得极值,能否断定该函数在000(,)M x y 处取得极值?（2009-4-26）一、 填空题（每小题3分，共15分）1． 若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a .2． )ln(e 2y x z x+=-，沿}0,1{=l 方向的方向导数=∂∂lz.3． 曲线2tan ,sin ,cos tz t y t x ===在点)1,1,0(处的切线方程是 .4． 交换二次积分的积分次序（其中),(y x f 为连续函数）=+⎰⎰⎰⎰-xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2.5． 设)2,1,1(-M 是曲面),(y x f z =上的一点，若3)1,1(=-x f ，在任一点),(y x 处有),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在M 处的切平面方程是 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,4),(222222y x y x yx xy y x f 在原点)0,0(间断的原因是),(y x f （ ） A. 在原点无定义 B. 在原点极限存在但在原点无定义C. 在原点极限不存在D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值 2. 函数10232),(22+--=y x xy y x f 在点)0,0(O 处（ ）A. 取得极大值B. 取得极小值C. 无极值D. 不能判定是否取得极值3. 设yx u arctan =则=)1,1(grad u （ ）A. 21B. 21-C. 11(,)22-D. 11(,)22- 4. 设)(u f 是连续函数，平面区域)1|(|10:2≤-≤≤x x y D ，则⎰⎰+Dv y x f d )(22（ ）A. ⎰⎰-+2102210d )(d xy y x f x B. ⎰⎰-+210221d )(d y x y x f yC. ⎰⎰1020d )(d ρρρθπf D. ⎰⎰120d )(d ρρθπf5. 比较⎰⎰+=Dy x I σd )(21与⎰⎰+=Dy x I σd )(32的大小，其中{}22(,)|(2)(2)2D x y x y =-+-≤，则（ ）A. 21I I =B. 21I I >C. 21I I ≤D. 21I I ≥ 三、解答题（每小题8分，共64分）1. 设22ln arctan y x xy z +-=，求x z ∂∂和y x z ∂∂∂2.2. 求曲面2=++z y x 上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。