2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A类)
2017_2018学年高二数学下学期期中试卷理
沁县中学2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）答题时间：120分钟，满分：150分一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)1．已知复数z 满足，那么的虚部为（） A ．1B ．-iC ．D ．i2. 函数1()f x x=在点（1,1）处的切线方程为：（ ） A.20x y -+= B.20x y --=C.20x y ++=D.20x y +-=3.定积分0⎰的值等于（ ） A.2π B.4π C.12 D.14 4.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D.在数列{}n a 中，11=a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--11121n n n a a a ，由此归纳出{}n a 的通项公式 5．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成图形面积是（ ） A ．4B ．2C ．D ．36.函数()ln 3f x x x =-的单调递减区间是( )A.(,0)-∞B.1(0,)3C.1(,)3+∞D.(,0)-∞和1(,)3+∞7、函数1()sin 2f x x x =-的图象大致是（ ）8. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若是()f x 的极值点，则0'()0f x =9．在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前100个圈中的●的个数是( )A. 12B. 13C. 14D. 1510.已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数，的值分别是（ ）A.12，26B.24，26C.12，0D.6，8 11.已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+在[1,)+∞上是减函数，则实数的取值范围为（ ） A ．1a < B ．2a ≤ C ．2a < D ．3a ≤12.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()f x 为奇函数，()g x 为偶函数； ②(1)0,()0f g x =≠；③当0x >时，总有()()()()f x g x f x g x ''<.则(2)0(2)f xg x ->-的解集为（ ） A ．(1,2)(3,)+∞ B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(3,2)(1,)---+∞ D ．(1,0)(3,)-+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、给出下列不等式:………则按此规律可猜想第个不等式为14、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 ________．15.曲线ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离是________16．若函数32()1f x x x mx =+++在上无极值点，则实数的取值范围是_________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分)已知复数226(m 56)3m m z m i m --=++++ （1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？18.(12分) 已知函数21()ln 2f x x x =-. （1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值和最小值.19.（12分）数列{}n a 中，)1(1+=n n a n ，前项的和记为． （1）求321,,S S S 的值，并猜想的表达式；（2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想． 20. (12分)如图计算由直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 以及x 轴所围图形的面积．。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
2017届高三下学期期中数学试卷
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 的对应点为1n =()1,1，则2z =( ) AB ．2iCD ．2+2i2．命题p x ∈R ：且满足sin21x =．命题q x ∈R ：且满足tan 1x =．则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的取值范围是( )A ．[]13-，B ．[]31--，C ．[]1-，6D ．[]6,1-4．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A．34+ B．44+ C．34+ D．32+5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0+∞，单调递减，若实数a 满足()()313lo log g 21f a f a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是( )A ．(]03，B ．103⎛⎤⎥⎝⎦，C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,36．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若120AMB ∠=o ，则该双曲线的离心率为( )ABC ．3D ．27．在ABC △中，76cos BC AC C ===，，．若动点P 满足()()213AP AB AC λλλ=-∈R u u u r u u u r u u u r +，，则点P的轨迹与直线BC AC ，所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10 C． D．8．已知()()2ln 1,0,x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()()2xg x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．[)1+∞，C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．(]0,19．已知数列{}a 满足()21413n n n a a a a n +*==--∈N ，，则122017111m a a a =+++L 的整数部分是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()[)2,bf x x a x a x=++∈+∞，，其中0a b >∈R ，，记(),m a b 为()f x 的最小值，则当(),2m a b =时，b 的取值范围为( )A ．13b >B ．13b <C ．12b >D ．12b <二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知全集为R ，集合{}{}2 31680x A y y x B x x x -==≤=+≤，，，则A B =U ____，A B =R I ð____．12．已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a =____；数列{}n a 的通项公式为n a ____． 13．已知抛物线()220C y px p =>：的焦点()1,0F ，则p =____；M 是抛物线上的动点，()64A ,，则MA MF +的最小值为____．14．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin2x =____，1tan πsin cos 4xx x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=____． 15．已知直线280x my +-=与圆()224C x m y -+=：相交于A B 、两点，且ABC △为等腰直角三角形，则m =____．16．若正数a b c ，，满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是____． 17．如图，矩形ABCD中，1AB BC ==，ABD △沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC长度在⎣⎦内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为____．三、解答题：（第18题）18．已知函数()()πsin 03f x x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，＞的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =g 的最大值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，AB AD BD DC =⊥， （Ⅰ）求证：AE BD ⊥；（Ⅱ）若22DB DC ==，且二面角A BD C --为60o ，求AD 与面BCD 所成角的正弦值．20．已知函数()()ln 0af x x a x=+>． （1）判断函数()f x 在(]0,e 上的单调性（e 为自然对数的底）； （2）记()f x '为()f x 的导函数，若函数()()3222g x x x a x f x -=+'在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆22149x y +=上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在PQ 上，且2PM MQ =u u u u r u u u u r ，点M 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()02D ，-作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设N 是过点40,17⎛⎫- ⎪⎝⎭且平行于x 轴的直线上一动点，满足ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．22．已知数列{}n a 满足21132n n n a a a a n N *+==+∈，，*，设()2log 1n n b a =+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：()11112231n n n b ++++<≥-L ； （Ⅲ）若2nC n b =，求证：123nn n C C +⎛⎫≤< ⎪⎝⎭．。
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
确答案：A【解析】根据函数的连续性立即得出结果【点评】这是计算极限最常见的题型。
在教学中一直被高度重视。
正确答案：【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
正确答案：C【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
【答案】D【解析】本题考查一阶求导简单题，根据前两个求导公式选D正确答案：D【解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。
正确答案：A【解析】基本积分公式【点评】这是每年都有的题目。
【点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。
应当也一直是教学的重点正确答案：C【解析】变上限定积分求导【点评】这类问题一直是考试的热点。
正确答案：D【解析】把x看成常数，对y求偏导【点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。
二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。
【解析】直接代公式即可。
【点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。
【答案】0【解析】考查极限将1代入即可，【点评】极限的简单计算。
【点评】这道题有点难度，以往试题也少见。
【解析】求二阶导数并令等于零。
解方程。
题目已经说明是拐点，就无需再判断【点评】本题是一般的常见题型，难度不大。
【解析】先求一阶导数，再求二阶【点评】基本题目。
正确答案：2【解析】求出函数在x=0处的导数即可【点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。
【点评】这题有些难度。
很多人不一定能看出头一步。
2017届高三下学期期中数学试卷-答案
浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷答 案1~5．BCCAC 6~10．DAABD11．(]0,4；()02，． 12．2；2,121,2n n n =⎧=⎨+≥⎩13．2；714．34-； 15．2或1416．521718．解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ = 由勾股定理得3QM =， ∴6T =，又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =． 函数()()()πππsin sin 333h x f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭g21ππsin cos 2333πx x x =+ 12π2π1cos sin 433x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12ππ1sin 2364x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362x -=， 即1x =时，()34max h x =． 19．证明：（Ⅰ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， Q E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ．又BD DC ⊥，∴ BD FE ⊥． Q AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ，Q AE BD ⊥，∴BD FE ⊥．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角∴60AFE ∠=o Q 2AB AD ==， ∴ABD △为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g ，即2AE =，∴2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED △中，2AE AD =，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin 4AE ADE AD ∠==．20．解：（1）Q ()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x af x x x x-'=-+=，若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+Q 函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，Q 231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭） 21．解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=，1212221612,1414k x x x x k k +==++， 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0OA OB =u u u r u u u rg ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==± 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++，即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-22．解：（Ⅰ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又Q ()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（Ⅱ）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111n nn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次Q ()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ，111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．浙江省宁波市诺丁汉大学附中2017届高三下学期期中数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出．【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i．z2=（1+i）2=2i，故选：B．2．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由sin2x=1得2x=+2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，由tanx=1，得x=，k∈Z，∴p是q的充要条件．故选：C．3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．【解答】解：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，最小值z=0﹣1=﹣1当直线y=2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．z的最大值为z=2×3=6，．即﹣1≤z≤6．即[﹣1，6]．故选：C4．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果．【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，∴四棱锥的表面积是2×6+2×+6×+=34+6，故选A．5．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f （﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故选C．6．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e===2，从而得到答案．【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥FA，∠AMO=60°，OM=OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，∴该双曲线的离心率e====2，故选：D．7．【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=，∵=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+λ∴B，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线BC．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，∴sinC=∴S△ABC=×7×6×=15，∴S△BCD=S△ABC=5．故选：A8．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据图象得出g（x）在（﹣∞，0）上的零点个数，得出g（x）在[0，+∞）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，∴a﹣＞0，即a．故选A．9．【考点】8E：数列的求和．【分析】先判断数列{a n}是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=++…+ =3﹣，再根据数列的单调性判断出a2018＞2，问题得以解决【解答】解：∵a=，a n+1﹣1=a n2﹣a n（n∈N*），∴a n+1﹣a n=a n2+1＞0，∴a n+1＞a n，∴数列{a n}是单调递增数列，由a n+1﹣1=a n2﹣a n=a n（a n﹣1），∴==﹣，∴=﹣，∴m=++…+=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣，由a=＞1，则a n+1﹣a n=（a n﹣1）2＞0，∴a2=1+，a3=1+，a4=1+＞2，…，a2018＞2，∴0＜＜1，∴2＜m＜3，∴整数部分是2，故选：B10．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b＞0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围．【解答】解：函数f（x）=x++a，x∈[a，+∞），导数f′（x）=1﹣，当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．综上可得b的取值范围是（﹣∞，）．故选：D．11．【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算．【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：全集为R，集合A={y|y=3x，x≤1}={y|y≤3}=（0，3]，B={x|x2﹣6x+8≤0}={x|2≤x≤4}=[2，4]∴A∪B=（0，4]，∁R B=（﹣∞，2）∪（4，+∞），∴A∩∁R B=（0，2）．故答案为：（0，4]、（0，2）．12．【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵S n=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴a n=，故答案为：2，=．13．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=﹣，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=﹣， =，化简整理即可求得答案．【解答】解：sin（π+x）+cos（π+x）=﹣sinx﹣cosx=，即sinx+cosx=﹣，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=﹣，由=====﹣，故答案为：﹣，﹣．15．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d =rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【解答】解：∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形， ∴圆心C （m ，0）到直线2x +my ﹣8=0的距离d =rsin45°，即=，解得：m =2或14， 故答案为2或14．16．【考点】7F ：基本不等式． 【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案． 【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6， 化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．17．【考点】J3：轨迹方程．【分析】过A 作BD 的垂线AE ，则A 点轨迹是以E 为圆心的圆弧，以E 为原点建立坐标系，设二面角A ﹣BD ﹣A ′的大小为θ，用θ表示出A 和C 的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．【解答】解：过A 作AE BD ⊥，垂足为E ，连接CE A E '，．∵矩形ABCD 中，1AB BC =，∴22AE CE ==．∴A 点的轨迹为以E 为半径的圆弧． A EA ∠'为二面角A BD A -'-的平面角．以E 为原点，以EB EA EA '，，为坐标轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设A EA θ∠'=，则022A θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，102C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-，，∴AC =解得10cos 2θ≤≤，∴6090θ≤≤o o ，∴A 点轨迹的圆心角为30o ， ∴A 点轨迹的长度为=．故答案为：18．【考点】HK ：由y =Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos ∠POQ 的值，可得sin ∠POQ ，求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y =f （x ） 的解析式．（Ⅱ）求出g （x ） 的解析式，化简h （x ）=f （x ）g （x ）的解析式，再根据x 的范围求出h （x ） 的值域，从而求得h （x ） 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P 作x 轴的垂线PM 过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得2PM =，PQ =勾股定理得3QM =，∴6T =， 又2πT ω=，∴π3ω=， ∴函数()y f x =的解析式：()ππsin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）将函数()y f x =图象向右平移1个单位后得到函数()y g x =的图象， ∴()πsin3g x x =．函数()()()2πππ1ππsin sin sincos 3332π333h x f x g x x x x x x ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g12π2π12ππ11cos sin sin 4332364x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当[]02x ∈，时，2πππ7π,3666⎡⎤⨯-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当2πππ362⨯-=， 即1x =时，()34max h x =． 19．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）取BD 的中点F ，连EF ，AF ，推导出FE ∥DC ．从而BD ⊥FE ．再求出BD ⊥AF ，从而BD ⊥面AFE ，由此能证明BD ⊥FE ．（II ）由BD ⊥AF ，得∠AFE 即为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，由此能求出AD 与面BCD 所成角的正弦值． 【解答】证明：（I ）如图，取BD 的中点F ，连EF AF ，， ∵E 为BC 中点，F 为BD 中点，∴//FE DC ． 又BD DC ⊥，∴BD FE ⊥． ∵AB AD =∴BD AF ⊥又AF FE F AF FE =⊂I ，，面AFE ， ∴BD ⊥面AFE ，AE ⊂面AFE ， ∵AE BD ⊥，∴BD FE ⊥． 解：（II ）由（I ）知BD AF ⊥，∴AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角 ∴60AFE ∠=o ∵2AB AD ==， ∴ABD V 为等腰直角三角形，故112AF BD ==， 又1122FE DC ==， ∴2221132cos 121cos60424AE AF FE AF FE AFE =+∠=+-⨯⨯⨯-=o g g，即AE =2221AE FE AF +==，∴AE FE ⊥， 又由（1）知BD AE ⊥，且BD FE F =I ，BD ⊂面BDC ，FE ⊂面BDC ，∴AE ⊥平面BDC ，∴ADE ∠就是AD 与面BDC 所成角，在Rt AED V 中，2AE AD ==，∴AD 与面BDC 所成角的正弦值sin AE ADE AD ∠=．20．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先求导，再根据a 与e 的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g （x ），再求导，函数g （x ）有极值等价于关于x 的方程3x 2﹣ax +1=0在区间（，3）上有异号实根，继而求得a 的范围． 【解答】解：（1）∵()()ln 0af x x a x=+＞． ∴()221a x a f x x x x-'=-+=， 若0e a <<，当()0x a ∈，时，()0f x '<，函数()f x 在(]0a ，上单调递减， 当()e x a ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在(],e a 上单调递增， 若e a ≥，()0f x '<，函数()f x 在(]0,e 上单调递减． （2）()()3223222g x x x x f x x ax x a a =+'-=+--∴()231g x x ax '=-+∵函数()()322g x x x x f x =+'-在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，等价于关于x 的方程2310x ax +=-在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有异号实根，∵231x a x+=，又13a x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，∴283a ≤<，当a =())210g x '=≥不存在极值，∴实数a 的取值范围为283⎛⎫ ⎪⎝⎭）21．【分析】（1）设M （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C 的方程．（2）设出直线l 的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C 的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1）设()M x y ，是曲线C 上任一点，因为PM x ⊥轴，2PM MQ =u u u u r u u u u r，所以点P 的坐标为()3x y ，点P 在椭圆22149x y +=上，所以()223149y x +=，因此曲线C 的方程是2214x y +=…（2）当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l 的方程为2y kx =-与椭圆交于()()1122A x y B x y N ，，，，点所在直线方程为4,17y =由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +-+=， (1212)221612,1414k x x x x k k +==++，… 由()2221648140k k ∆=-+>得234k >即k ><因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形，…假设存在矩形OANB ，则OA OB =u u u r u u u r g ，即()()()2212121212121212241240x x y y x x k x x k x x k x x k x x +=++-+=+++=-，所以()22212161201414kk k kk +-=++gg 即24,2k k ==±… 设()00N x y ，，由ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得()0121222164444141417k y y y k x x k k -=+=+-=-==-++， 即N 点在直线417y =-，所以存在四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为22y x =±-…22．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8H ：数列递推式． 【分析】（I ）由题意可知：，，两边取对数，即可求得b n +1=2b n ，则{b n }是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a n ，代入即可求得a n ； （II ）利用数学归纳法即可求证1+++…+＜n （n ≥2）；（III ）．证明：由得c n =n ，，利用二项式定理展开，，当n =1时显然成立．所以得证．【解答】解：（I ）由212n n n a a a +=+，则()2211211n n n n a a a a ++=++=+，由13a =，则0n a >，两边取对数得到()()()22122log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，即12n n b b +=又()121log 120b a =+=≠，∴{}n b 是以2为公比的等比数列．即2n n b =又∵()2log 1n n b a =+， ∴221nn a =-（2）用数学归纳法证明：1o 当2n =时，左边为111112236++=<=右边，此时不等式成立； 2o 假设当2n k =≥时，不等式成立， 则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++++++-+-L L 21111111122121222kk k k k k k k k k +<+++<+++<+--6447448L L =右边 ∴当1n k =+时，不等式成立．综上可得：对一切*2n N n ∈≥，，命题成立． （3）证明：由2nC n b =得n c n =，∴1111nnn n C n C n n +⎛⎫+⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，首先012111112nk n n n n n k nC C C C n n n n ⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭L L ， 其次∵()()()()11111112!n !11knk k n n n k C k n k k k k k k--+=≤≤=-≥--L ， ∴01222111111nk n n n n n n k n C C C C C n n n n n ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭L L ， 111111111332231n n n<++-+-+-=-<-L ，当1n =时显然成立．所以得证．。
2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A类)
2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知函数sin(23)z x y =+，则734(0,0)z x y ∂=∂∂ （ ）（A ）32-； （B ）43； （C ）3423-⋅； （D ）3423⋅。
2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =，则 （ ）（A ）(0,0)d 3d 4d z x y =+ ；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)；（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)； （D ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)。
3. 曲线3cos x t =，4sin y t =，z t =在0t =处的法平面方程是 （ ）（A ）40y z -=； （B ）40y z +=；（C ）3041x y z -==； （D ）3041x y z -==-。
4. 设常数0a >，平面闭区域{(,)|,}D x y x y a a x a =≤≤-≤≤，1{(,)|,0}D x y x y a x a =≤≤≤≤，则(cos sin )d Dxy x y σ+=⎰⎰ （ ） （A ）12cos sin d D x y σ⎰⎰； （B ）12d D xy σ⎰⎰； （C ）12(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰； （D ）14(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰。
5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)O 的某个邻域(,)U O δ内有定义。
对于下列两个命题（I ）若(,)f x y 在点O 连续，且2200(,)(0,0)lim 01sin cos x y f x y f A x x y y →→-=>+--，则(,)f x y 在点O 取到极大值；（II ）若在(,)U O δ中(,)xy f x y 和(,)yx f x y 均存在，且极限00lim xy x y f A →→=和00lim yx x y f B →→=也均存在，则A B =；下列选项正确的是 （ ）（A ）仅（I ）正确； （B ）仅（II ）正确；（C ）（I ）和（II ）都正确； （D ）（I ）和（II ）都错误。
浙江省诸暨市2016_2017学年高二数学下学期期中试题A
浙江省诸暨市2016-2017学年高二数学下学期期中试题（A ）一、 选择题（每小题4分，共48分）1．曲线313y x =在1x =处的切线的倾斜角为 （ ） A. 1 B. 4π- C. 4π D. 54π2．已知复数2i1i z +=-（i 为虚数单位），那么z 的共轭复数为 （ ）A. 33i 22+B. 13i 22-C. 13i 22+D. 33i 22-3. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为,,a b c ，当且仅当,a b b c ><时称为“凹数”（如213），若{},,1,2,3,4a b c ∈，且,,a b c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的有（ ）个A. 6B. 7C. 8D. 94. 书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为 （ ） A.31 B. 21 C. 32 D. 435. ()52y x x +-的展开式中，34y x的系数为 （ ）A. 8B. 9C. 10D. 126. 若n n x a x a x a a x +++=-22102013)21()(R x ∈，则201420133221222a a a ++值为 A. 1 B. 0 C.21-D. （ ） 7. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A. 144种B. 288种C. 360种D. 720种8. 定义方程()()f x f x ='的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数x x g =)(，()1ln )(+=x x h ，1)(3-=x x t 的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B.b a c >>C. a c b >>D. b a c >>9. 设函数()()0sin f x x =，定义()()()()10'f x f f x ⎡⎤=⎣⎦， ()()()()21'f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，…，()()()()1'n n f x f f x -⎡⎤=⎣⎦，则()()()()()()()()123201715151515f f f f ︒+︒+︒+⋯+︒的值是（ ）10. 设曲线()1*n y x n N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则2017120172log log x x ++⋯+ 20172016log x 的值为（ ）A. 2017log 2016-B. 1-C. 2017log 20161-D. 1 11. 已知()()()2017201722102017111)21(-++-+-+=-x a x a x a a x ，则20172016432120172016432a a a a a a ++-+- （ ）A. 2017B. 4034C.—4034D. 012. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？ （ ）A. 1094B. 966C. 5796D.6561 注意：选择题答案涂在答题卡上二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 与直线2610x y -+=垂直，且与曲线()3231f x x x =+-相切的直线方程是__________． 14. 若函数x e mx x x f )()(2+=的单调减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23,则实数m 的值为__________．15. 二项式n⎛⎝的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为160-，则a =_____16 若直线b kx y +=是曲线2+=x e y 的切线，也是曲线1+=x e y 的切线，则b=__________． 17.若复数1z ，2z 满足12z =，23z =，123322z z i -=-，则=⋅21z z .18. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种。
2017春期期中考试高二数学试题及答案(理)
2017春期期中考试 高二数学（理）一.选择题：1.复数i iz 2121-+=的实部与虚部的和等于（ C ） A ．i 5453+- B ． i 541+ C ．51 D ．59解析：i i i i z 54535432121+-=+-=-+=2.汽车以13+=t V (单位：s m /)作变速直线运动时，在第s 1至第s 2间的s 1内经过的位移是( C ) A.m 5.4 B.m 5 C.m 5.5 D.m 6 解析：5.5|)23()13(21212=+=+=⎰t t dt t S3.下列命题错误．．的是( B )． A ．三角形中至少．．有一个内角不小于60°； B ．对任意的R a ∈，函数12131)(23+++=ax ax x x f 至少．．存在一个极值点. C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多．．有一个零点； D ．在锐角．．三角形中，任意．．一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析：a ax x x f ++=2)('，当042≤-=∆a a ，即40≤≤a 时，)(x f 是单调增加的，不存在极值点，故B错误．4．已知函数xe x x xf )2()(3-=，则xf x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0的值为（D ）A ．e -B ．1C ．eD ．0解析：)1(')1()1(limf xf x f x =∆-∆+→∆5．若曲线1sin )(+=x x x f 在点)12,2(+ππ处的切线与直线012=+-y ax 互相垂直，则实数=a （A ）A ．－2B ．2C ． 1D ．－1解析：12cos22sin)2('=+=ππππf ，所以，12)2('-=⋅af π，得2-=a6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅．生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）. A. 88 B. 89 C.90 D.91解析：第n 行实心圆点有n a 个，空心圆点有n b 个，由树形图的生长规律可得⎩⎨⎧+==---111n n n n n b a a a b ，∴21--+=n n n a a a （即斐波那契数列），可得数列}{n a 为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…， 即8912=a7.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ C ）8．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。
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2017级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 已知函数sin(23)z x y =+，则734(0,0)
z x y ∂=∂∂ （ ）
（A ）32-； （B ）43； （C ）3423-⋅； （D ）3423⋅。
2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =，则 （ ）
（A ）(0,0)d 3d 4d z x y =+ ；
（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)；
（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩
在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)； （D ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩
在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)。
3. 曲线3cos x t =，4sin y t =，z t =在0t =处的法平面方程是 （ ）
（A ）40y z -=； （B ）40y z +=；
（C ）3041x y z -==； （D ）3041
x y z -==-。
4. 设常数0a >，平面闭区域{(,)|,}D x y x y a a x a =≤≤-≤≤，
1{(,)|,0}D x y x y a x a =≤≤≤≤，则(cos sin )d D
xy x y σ+=⎰⎰ （ ） （A ）12cos sin d D x y σ⎰⎰； （B ）1
2d D xy σ⎰⎰； （C ）12(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰； （D ）1
4(cos sin )d D xy x y σ+⎰⎰。
5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)O 的某个邻域(,)U O δ内有定义。
对于下列两个命题
（I ）若(,)f x y 在点O 连续，且2200
(,)(0,0)lim 01sin cos x y f x y f A x x y y →→-=>+--，则(,)f x y 在点O 取到极大值；
（II ）若在(,)U O δ中(,)xy f x y 和(,)yx f x y 均存在，且极限00lim xy x y f A →→=和00lim yx x y f B →→=也均存在，则A B =；
下列选项正确的是 （ ）
（A ）仅（I ）正确； （B ）仅（II ）正确；
（C ）（I ）和（II ）都正确； （D ）（I ）和（II ）都错误。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 设函数()z f u =可微，且'(1)2f =，则22(32)z f x y =-在点(1,1)处的全微分
(1,1)d |z =_______________。
7. 已知l 是单位向量，且函数222
(,,)161218
x y z f x y z =+++在点(1,2,3)P 处的方向导数沿l 方向取到最大值，则l =________________。
8. 函数222(,,)(1)(2)f x y z x y z =+-++在条件2430x y z +--=下的最小值为：
______________。
9. 2220d d y x x e y -=⎰⎰____________。
10. 设平面区域D 由直线y x =，2y x =+π，0x =和x =π所围成，则
|cos()|d D x y σ-=⎰⎰___________。
三、求极限（本题8分）
11. 求二重极限2
22
32224400lim x y xy x y x y x y -+→→⎛⎫ ⎪+⎝
⎭。
四、导数计算（第12题10分，第13题8分，共18分）
12. 设函数((),())z f g x y xh y =-，其中(,)f x y 具有二阶连续偏导数，()g x 和()
h y 具有连续的二阶导数，求2z x y ∂∂∂，22z y
∂∂。
13. 已知函数221z x axy y x y =+++-+存在极小值，求常数a 的取值范围。
五、积分计算（第14小题8分，第15小题10分，共18分）
14. 计算二重积分22''()d D
xyf x y σ+⎰⎰，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，函数()f u 在闭区间[0,1]上具有连续的二阶导数。
15. 计算d 11
z V Ω+⎰⎰⎰，其中22222{(,,)|1,1}x y z z x y x y z Ω=≥+-+-≥。
六、应用题（第16小题10分，第17小题8分，共18分）
16. 设函数()f x 连续且恒正，22222()d ()()d D
f x y z V
F t f x y σΩ++=+⎰⎰⎰
⎰⎰，其中
2222{(,,)|}x y z x y z t Ω=++≤，222{(,)|}D x y x y t =+≤，试判断()F t 在(0,)+∞上的单调性。
17. 已知平面薄板所占的区域D 由2y x =和y x =所围成，其上各点处的面密度为
2(,)x y x y ρ=，求该平面薄板的质心。
七、证明题（本题8分）
18. 设在000(,)P x y 点的某个邻域0(,)U P δ中函数(,)f x y 与(,)g x y 均有定义。
若
00lim (,)x x y y g x y A →→=存在，(,)f x y 在0P 点可微，且|(,)|f x y ρ≤∆，其中
ρ∆=证明：函数(,)(,)(,)h x y f x y g x y =在0P 点也可微。