二次函数的最值问题(典型例题)说课讲解

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二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点，再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是二次函数在特定条件下的最大值或最小值。这些条件可能包括函数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定了抛物线的上下位置。

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题【例题精讲】题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.【拓展练习】如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.练习一【例题精讲】若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．【拓展练习】题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．练习二金题精讲题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．【拓展练习】题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．讲义参考答案【例题精讲】答案：3--0或2或4【拓展练习】答案：(1) 2y=-;(2) (2);(3)8练习一答案【例题精讲】答案：a =【拓展练习】答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为32，最小值为-3.详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.综上所述，k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=2kk1-，x1x2=k+2k1-，∴2k•2kk1-=4•k+2k1-，解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-12)2+32，且-1≤x≤1，由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=12时，y最大=32.∴y的最大值为32，最小值为-3.练习二答案课后练习详解【例题精讲】答案：2或-5．详解：配方y=(x+a)2-1，函数的对称轴为直线x= -a，顶点坐标为(-a，-1)．①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，函数最小值为-1，不合题意；②当-a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；③当-a＞3即a＜-3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，解得a= -5．∴实数a的值为2或-5．【拓展练习】答案：有最大值，为8.详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值∴k-1＜0，解得k＜1.∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.∴最大值为8.。

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c
a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2
b x a =-处取得最小值244a
c b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。

高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。

2.动轴定区间。

3.定轴动区间。

下面我们来看例题。

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

二次函数的最值问题(含答案)

---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。

1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。

（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。

（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。

（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。

解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

《二次函数的最值问题》教案

二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究时含参二次函数在内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。

微专题13 含参数二次函数的最值问题(解析版)

微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值【答案】C【解析】22313224y x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，抛物线的开口向上，对称轴为32x =-，∴在区间[]55－，上，当32x =-时，y 有最小值14-；5x =时，y 有最大值42，函数()232f x x x =++在区间[]55-，上的最大值、最小值分别是：42，14-．故选：C ．例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对【答案】B【解析】因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2，3]，所以当x ＝1时，ymin ＝1，当x ＝－2时，ymax ＝(－2－1)2＋1＝10. 故选：B.例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________. 【答案】92-【解析】由题知，()()()002044f a =+-=-，解得12a = 则()()()211924(1)222f x x x x =+-=--，所以当1x =时，()f x 有最小值9(1)2f =-.故答案为：92-例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________ 【答案】-2 【解析】2242(2)2y x x x =-+-=--+，则二次函数在(),2-∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴在14x ≤≤上，当4x =时有最小值－2，故答案为：-2.例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______ 【答案】80【解析】因为22()25(1)4f x x x x =-+=-+，所以当1x =时，min ()(1)4f x f ==，当5x =时，2max ()(5)(51)420f x f ==-+=，所以最大值和最小值之积为42080⨯=.故答案为：80题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．【解析】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当4m >时，22m >，此时函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上，()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（2）因为0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，易知函数()h x 在()0,∞+上单调递减，因为定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h ≥，所以04t<<，解得40t -<<或04t <<，所以实数t 的取值范围为()()4,00,4-．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（） A ．14B ．0C ．14-D ．1-【答案】C【解析】由22()()f x x m m m =--++，故()f x 在(,)m -∞上递增，在(,)m +∞上递减，当1m ≤-，则[1,1]x ∈-上递减，故最大值(1)10M f m =-=--≥，当11m -<<，则最大值22111()()[,2)244M f m m m m ==+=+-∈-，当m 1≥，则[1,1]x ∈-上递增，故最大值(1)312M f m ==-≥，综上，M 的最小值为14-.故选：C例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．【解析】（1）因为定义在R 上的函数2()2(1)3f x x k x =-++为偶函数，所以R x ∀∈，都有()()f x f x -=成立，即R x ∀∈，都有222(1)32(1)3x k x x k x +++=-++成立，解得1k =-．（2）因为函数2()2(1)3f x x k x =-++图象的对称轴为1x k =+，所以要使函数()f x 在[]1,3-上具有单调性，则13k +≥，或11k +≤-，即2k ≥或2k ≤-，则k 的取值范围为(][),22,-∞-+∞．（3）①若函数()f x 在[]22-,上单调递减，则12k +≥，即1k，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()234f k=-．②若函数()f x 在[]22-,上单调递增，则12k +≤-，即3k ≤-，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()2114f k -=+．③若函数()f x 在[]22-,上不单调，则212k -<+<，即31k -<<，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2(1)22f k k k +=--．综上所述，函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2min 34,1()22,31114,3k k f x k k k k k -≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩. 例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．【解析】(1)1m =时，()()22211f x x x x =++=+，结合函数图像得：()f x 在13x -≤≤上的最大值是316f =（），最小值是()10f -=；(2)()221f x x mx =++的对称轴是x m =-，①当2-<-m ，即2m >时，函数在22x -≤≤上递增，当2x =-时，取到最小值()245f m -=-+；②当22m -≤-≤，即22m -≤≤时，函数在22x -≤≤上先递减后递增，当x m =-时，取到最小值()21f m m -=-+；③当2m ->，即2m <-时，函数在22x -≤≤上递减，当2x =时，取到最小值()245f m =+，综上所得，当2m >时，最小值()245f m -=-+；当22m -≤≤时，取到最小值()21f m m -=-+；当2m <-时，取到最小值()245f m =+.(3)由（2）的讨论思路结合函数图像在12x -≤≤内的可能情况知()1f -，2f （）中必有一个是最大值；若()12241f m m -=-==-，，代回验证： ()()22211f x x x x =-+=-，符合()1f -最大；若2544f m =+=（），14m =-，代回验证： ()2211151()2416f x x x x =-+=-+，符合2f （）最大；1m ∴=-或14-．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【解析】(1)由题知，函数22,0()(),0x ax x f x x x a x ax x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，其中0a > 当0x ≥时，222()()24a a f x x ax x =-=--则函数()f x 在区间(0,)2a 单调递减，在区间(,)2a+∞单调递增；当0x <时，222()()24a a f x x ax x =-+=--+，则函数()f x 在区间(,0)-∞递增∴综上，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(,)2a +∞，单调递减区间为(0,)2a.(2)因为0a >，所以当12a ≥即2a ≥时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,1]递减且 11()242af -=--，(1)1f a =-，若1()(1)2f f -≥，即52a ≥时，min ()(1)1f x f a ==-，若1()(1)2f f -<，即522a ≤<时，min 11()()242a f x f =-=--，当012a <<即02a <<时，函数()f x 在1[,0]2-递增，在(0,]2a 递减，在(,1]2a 递增，且11()242a f -=--， 2()24a a f =-，而02a <<时，21424a a --<-，即1()()22a f f -<，所以02a <<时，min 11()()242af x f =-=--，∴综上所述，当502a ≤<时，min 1()42a f x =--；当52a ≥时， min ()1f x a =-.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）. (1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.【解析】(1)当2a =时，函数21()2f x x x =+，设[]12,1,2x x ∈且12x x <，则222221212121211111()()222()()f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- 1221212121121212()()()[2()]x x x x x x x x x x x x x x -=-++=-+-，因为12x x <，可得210x x -> 又由[]12,1,2x x ∈，可得()2111124,1x x x x +><，所以211112()0x x x x +->所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()y f x =是[]1,2上是严格增函数.(2)由函数21()f x ax x=+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称，当0a =时，函数1()f x x =，可得11()()f x f x x x-==-=--，此时函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，2211()()f x a x ax x x-=⋅-+=--，此时()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，所以0a ≠时，函数()y f x =为非奇非偶函数.(3)2211()()2221f x h x x a ax x a ax x a x x x=--+=+--+=-+，当0a =时, ()f x x =-,函数()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)2f =-；当0a >时,函数的对称轴为：12x a=. 若112024a a ≥⇒<≤,()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)62,()62f a g a a =-∴=-；若11112242a a <<⇒<<,()f x 在区间[1,2]的最小值为 111()2,()2244f a g a a a a a=-+∴=-+; 若11122a a ≤⇒≥,()f x 在区间[1,2]的最小值为(1)31,()31f a g a a =-∴=-；当0a <时, 102x a=<,()f x 在区间[1,2]的最小值为(2)62,()62f a g a a =-∴=-. 综上所述：162,4111()2,442131,2a a g a a a aa a ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩；例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．【解析】(1)()22211121x x x f x x x x x x ⎧+≥=+-+=⎨-+<⎩，，，由()()()2211124f x x x f x x x ⎛⎫=+⇒=+-≥ ⎪⎝⎭，可知()2f x ≥;由()()22172(1)24f x x x f x x x ⎛⎫=-+⇒=-+< ⎪⎝⎭，可知()74f x ≥.所以()min 1724f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．(2)()2211x x a x af x x x a x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩，，，1)当12a ≥，()f x 在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减，在12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，故()min 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；2)当1122a -<<，()f x 在()a -∞，单调递减，在()a ∞+，单调递增，()()2min 1f x f a a ==+ , 3)当12a ≤-，()f x 在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭-，单调递增，()min 1324f x f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；所以()23142111223142a a g a a a a a ⎧+≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，，，例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．【解析】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，由对称性即可补充完整图象，如图所示：由图可知，函数()f x 的递增区间为(1,0)-和(1,)+∞；（2）根据题意，当0x >时，0x -<，所以22()()22f x x x x x -=--=-，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()2()()20f x f x x x x =-=->，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩，（3）当[]1,2x ∈时，222()221(1)2g x x x ax x a a a =--+=----，对称轴为1x a =+，当11a +，即0a 时，()g x 在[]1,2上递增，所以()min ()12g x g a ==-；当12a +，即1a 时，()g x 在[]1,2上递减，所以()min ()214g x g a ==-；当112a <+<，即01a <<时，()g x 在[]1,1a +上递减，在[]1,2a +上递增，所以m n 2i ()(1)2g x a a g a =+=--，综上，函数()g x 的最小值2min2,0()2,0114,1a a g x a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．【解析】(1)22()(2)34f x x a a =-+-，()f x 在区间[1,3]上单调，则21a ≤或23a ≥，所以12a ≤或32a ≥； (2)12a ≤时，21a ≤，()f x 在[1,3]上是增函数，()(1)44h a f a ==-， 1322a <<时，2()(2)34h a f a a ==-， 32a ≥时()f x 在[1,3]上是减函数，()(3)1212h a f a ==-，综上，2144,213()34,2231212,2a a h a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪->⎪⎩，题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；【解析】（1）因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，所以1n =- 又(1)(2)f f -=，所以1224m-+=-，解得2m =-，所以2()221f x x x =--；（2）2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增，所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．【解析】(1)设()2f x ax bx c=++，0a ≠．则()()21(1)1f x a x b x c +=++++．从而，()()()(()221[1)12f x f x a x b x c ax bx c ax a b ⎤+-=++++-++=++⎦，又()()12f x f x x +-=，22101a a a b b ==⎧⎧∴⇒⎨⎨+==-⎩⎩，又()01f c ==，()21f x x x ∴=-+．(2)因为当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，所以231m x x <-+在[]11x ∈-，上恒成立．令()231g x x x =-+，[]11x ∈-，， ()min m g x ∴<．当[]11x ∈-，时，()231g x x x =-+单调递减，∴当1x =时，()()11min g x g ==-，所以1m <-． (3)当112a +≤，即12a ≤-时，()f x 在[]1a a +，单调递减，()2min ()11f x f a a a ∴=+=++；当112a a <<+，即1122a -<<时，则()f x 在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，112a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，单调递增， min 13()24f x f ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭；当12a ≥时，则()f x 在[]1a a +，单调递增， ()2min ()1f x f a a a ∴==-+．()2211,2311,42211,2a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪∴=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【解析】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+，所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数，当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==，综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．【解析】（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t ，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数，当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数，故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +．综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a +例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．【解析】（1）因为22224()4y x mx x m m =-+=-+-，对称轴为x m =，开口向上，若12m <，则当3x =时，函数224y x mx =-+有最大值为136m -，若12m ≥，则当2x =-时，函数224y x mx =-+有最大值为84.m + （2）若2m <-，则当2x =-时函数224y x mx =-+有最小值为84m +，即842m +=，32m =-，不符合条件；若23m -≤≤，则当x m =时函数224y x mx =-+有最小值为242m -=，可得2m =若3m >，则当3x =时函数224y x mx =-+有最小值为136m -，即1362m -=，解得1136m =<，不符合条件；综上，m 的值为 2.±例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．【解析】(1)()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是()05，，∴可设()()5(0)f x ax x a =>－，对称轴为 2.5x =，()f x ∴在区间[]24－，上的最大值是()214f a -=．由已知得14282a a =∴=，， ()()()225210f x x x x x x ∴=-=∈－R ．(2)由(1)得()()22 2.512.5f x x =--，函数图象的开口向上，对称轴为 2.5x =(讨论对称轴 2.5x =与闭区间[] 1t t +，的相对位置) ①当1 2.5t +≤时，即 1.5t ≤时，()f x 在[] 1t t +，上单调递减，(对称轴在区间右侧) 此时()f x 的最小值()()()()22121101268g t f t t t t t =+=+-+=--；②当 2.5t ≥时，()f x 在[] 1t t +，上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时()f x 的最小值()()2210g t f t t t ==-；③当1.5 2.5t <<时，函数()y f x =在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，()()2.512.5g t f ==－综上所述，得()g t 的表达式为：()22268 1.512.51.5 2.5210 2.5t t t g t t t t t ⎧--≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，，，．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．【解析】(1)不等式为2345x x -<-<，即22450430x x x x ⎧--<⎨-+>⎩，由2450x x --<可得15x -<<；由2430x x -+>可得1x <或3x >，故原不等式解集为()()1,13,5-⋃. (2)因为()()2222f x x ax x a a =-=--由于(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，若0t =时，则1a t ≥+，且()()min 4f x f a ==-或()()min 24f x f ==-，当()24f a a =-=-时，2a =±，2a =-不满足题意，舍去；当()2444f a =-=-时，2a =；若22t a +=，则1a t ≤+，且()()min 4f x f a ==-或()()min 224f x f a =-=-当()24f a a =-=-时，2a =±，当2,2a t ==，符合题意；当2a =-，与题设矛盾，故舍去；当()()()222222224f a a a a -=---=-时，2,2a t ==；综上所述：2,0a t ==或2,2a t ==，符合题意.例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．【解析】（1）当3a =时，不等式5()7f x -<<，即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ，所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃．（2）(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥，若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥，所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）【解析】(1)当1a =时，()22,11,1x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，其图象如图所示：由图象知：函数()f x 既不是奇函数也不偶函数；(2)()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，当0a >时，由()224a x ax x a -=≥，解得12x +=，因为函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，如图所示：所以02a m ≤<，12a n +<≤，当0a <时，由()224a x ax x a -+=-<，解得12x +=，因为函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，如图所示：12m a +≤<，02a n <≤.例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【解析】(1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0），所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |，又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0，此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数,故m ＝0.(2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，2111212()()(24f n f n n n n +--=--=，令214n n >+得，12n +>12n +>1()()2f n f >，2max ()f x n =.121n +<≤时1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪⎪⎩.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-，(1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）【解析】（1）当2a =时，(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x -⎧=-=⎨-<⎩由二次函数的性质知，单调递增区间为(-∞，1]，[2，)∞+.（2）因为2a >，[1x ∈，2]时，所以222()()()24a a f x x a x x ax x =-=-+=--+当3122a <，即23a <时，()min f x f =（2）24a =-当322a >，即3a >时，()min f x f =（1）1a =-∴24,23()1,3min a a f x a a -<⎧=⎨->⎩ （3）(),()(),x x a x a f x x a x x a -⎧=⎨-<⎩①当0a >时，图象如上图左所示由24()a y y x x a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得(21)a x +=02a m <，212a n a +<②当0a <时，图象如上图右所示由24()a y y x a x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得(12)x +=∴12m a +<，02a n < 例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．【答案】16-【解析】()()2244f x x a a =-+--⎡⎤⎣⎦，()()22124g x x a a =---+-⎡⎤⎣⎦，令()()f x g x =，得2x a =+或2=-x a ．因为()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，所以()1H x 的最小值(2)44A f a a =+=--，()2H x 的最大值(2)124B g a a =-=-，所以()()4412416A B a a -=----=-．故答案为：16-.例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）【解析】（1）因为()f x 在R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立，即x x a x x a -+=--恒成立.所以x a x a +=-恒成立，所以0a =.（2）当2a =时，()()222,(02)22,24x x x f x x x x x x ⎧-+<≤⎪=-=⎨-<≤⎪⎩ 函数22y x x =-+在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以22y x x =-+在(]0,2上的值得范围为[]0,1，其中2x =时，()0f x =，函数22y x x =-在(]2,4上单调递增，所以函数22y x x =-在(]2,4上的值域为(]0,8，其中当4x =时，()8f x =；所以当4x =时，max ()8f x =，当2x =时，min ()0f x =.（3）()()()22,,x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-+≤⎪=-=⎨->⎪⎩ 因为0a >，所以函数2y x ax =-+在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数2y x ax =-在(),a +∞上单调递增，当2a x =时，24a y =当x a >时，令224a x ax -=，可得12x +=因为当0a >，m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，所以120,2m a a n +<<≤≤. 题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．【解析】（1）方法一：∵抛物线经过（2，c ）和（0，c ）， ∴抛物线的对称轴为直线1x =， ∴（－1，0）的对称点为（3，0），即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）；方法二：将（－1，0），（2，c ）分别代入2y x bx c =-++得0142b c c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，令0y =得，2023x x =-++，解得11x =-，23x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）．（2）∵2t t ≤-，∴1t ≤，21t -≥，∴当2t x t ≤≤-时，当1x =时取得最大值4，即4M =，当x t =或2x t =-时取得最小值N ， ∵3M N -=，∴1N =，令1y =得，2123x x =-++，解得131x =（舍去），231x =-， ∴31t =-．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4【答案】C【解析】由题意得f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a ．①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得38a =；③当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3．综上可知，a 的值为38或－3．故选：C ．例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．)222,0⎡-⎣B ．()0,222C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣【答案】D【解析】易得函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，若0a =，则()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，且函数()f x 在()0,1上单调递增，所以函数()f x 在()0,1上无最值．若0a <，作出函数()f x 的大致图像，如图1所示，易得函数()f x 在区间()0,1上无最值．若0a >，作出函数()f x 的大致图像，如图2所示，要使函数()f x 在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则()0112a a f f <<⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即2201122a a a a <<⎧⎪⎨⎛⎫-≤-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得:2221a ≤<．综上，实数a 的取值范围是)222,1⎡⎣．故选: D.例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】[]1,2【解析】二次函数()2224133y x x x =-+=-+≥，由2244x x -+=解得0x =或2x =，画出二次函数()2240y x x x =-+≥的图象如下图所示，由图可知，m 的取值范围是[]1,2. 故答案为：[]1,2例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【答案】2-【解析】因为()22111()1222f x x x x =-+=--+，对称轴为1x =，当1m n ≤<时：()f x 在[,]m n 上单调递减，所以221()221()22f m m m n f n n n m⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，无解；当1m n <≤时：()f x 在[,]m n 上单调递增，所以221()221()22f m m m m f n n n n⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，解得：2m =-或0m =，2n =-或0n =，又1m n <≤，所以2m =-，0n =; 当1m n <<时：()f x 在[,1]m 上单调递增，在[1,]n 上单调递减，此时111(1)12224f n n =-+==⇒=，与1n >矛盾；综上所述：2m =-，0n =，此时2m n +=- 故答案为：2-. 【过关测试】一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③【答案】B【解析】①设幂函数为()a f x x =，因为()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122a=，解得1a =-，则()1f x x =，在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递减，所以()()1322f f <=，故错误； ②令10x -=，解得1x =，此时2y =，所以函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2，故正确； ③令()1221log 0f x x x =--=，得1221log x x -=，在同一坐标系中作出1221,log y x y x =-=的图象，如图所示，由图象知：1221,log y x y x =-=有1个交点，即函数()1221log f x x x =--有1个零点，故错误； ④函数()224f x x x =-+的图象，如图所示：，由图象知：若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2，故正确．故选：B2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】A【解析】函数2()23f x x bx a =-+的图象开口朝上，且对称轴为直线x b =， ①当1b >时，()f x 在[0,1]上单调递减，则(0)3M f a ==，()1123m f b a ==-+，此时21M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，②当0b <时，()f x 在[0,1]上单调递增，则(1)123M f b a ==-+，()03m f a ==，此时12M m b -=-，故M m -的值与a 无关，与b 有关，③当01b ≤≤时，()23m f b a b ==-，若102b ≤≤时，(1)(0)f f ≥，有(1)123M f b a ==-+，221M m b b ∴-=-+，故M m -的值与a 无关，与b 有关，若12b >时，(1)(0)f f <，有(0)3M f a ==， 2M m b ∴-=，故M m -的值与a 无关，与b 有关，综上：M m -的值与a 无关，与b 有关. 故选：A.3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2 D ．单调递减且最小值为-2【答案】A【解析】因为2()42f x x x =-+的图象开口向上，且对称轴为2x =，所以()f x 在区间[2，4]上单调递增，最小值为(2)2f =-，最大值为(4)2f =，又因为()f x 是奇函数，所以()f x 在区间[]4,2--上单调递增，且最小值为-2，最大值为2. 故选：A4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】将函数()()()22211f x x x a a x a a =-++=-+-+的图象向左平移一个单位，得到函数()21g x x a a =+-+.则()f x 在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数()g x 在区间[-1，1]上的最大值是1. 由11x -≤≤，201x ≤≤，当10a -≥，1a ≥时，()22121211g x x a a x a a =+-+=+-≥-≥，此时函数()g x 的最小值为1，不合题意；当11a -≤-，0a ≤时，()()22111g x x a a x =-+-+=-+≤，符合题意；当110a -<-<，01a <<时，()()()22221,011,11x a a x a g x x a a a x ⎧-+-+≤≤-⎪=⎨+-+-<≤⎪⎩，化简得()22221,0121,11x x a g x x a a x ⎧-≤≤-=⎨+--<≤⎩ 又由当201x a ≤≤-时，根据二次函数的性质，()g x 的值域为()()2111a g x --≤≤，当211a x -<≤时，()()21212a a g x a -+-≤≤，必有21a ≤，可得102a <≤. 综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0， ∴2404b a -=，∴24a b =， ∴函数222224a y x ax b x ax x a ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭，其图像的对称轴为2a x =-．∵不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+， ∴方程2204a c x ax ++-=的根为m ，4m +，∴4m m a ++=-，解得42a m --=，22a m ∴+=-，又∵2204a m am c ++-=，∴222442a a c m am m ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭．故A ，B ，C 错误.故选：D ．6．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】D【解析】当(]01x ∈，时，()()22141444()12f x x x x x x =-=-=--，易知当12x =时，min ()1f x =-，因为()()13f x f x +=，所以()()113f x f x -=，所以当()10x ∈-，时，()min 11133y =⨯-=-；当(]21x ∈--，时，()2min 11()139y =⨯-=-，综上，当(]20x ∈-，时，min 13y =-．故选：D ．7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（）. A ．7 B ．11 C ．12 D ．16【答案】D【解析】∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根， ∴m +n =2t ，mn =t 2﹣2t +4，∴（m +2)(n +2）=mn +2（m +n ）+4=t 2+2t +8=（t +1)2+7． ∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t )2﹣4（t 2﹣2t +4）=8t ﹣16≥0， ∴t ≥2，∴（t +1）2+7≥（2+1)2+7=16．故选：D ．8．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（） A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1【答案】C【解析】由题得1018b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得4b =-，3c =，所以()()224321f x x x x =-+=--，因为(1)0,1f b c =∴+=-，所以选项A 正确；所以(3)=0f ，所以选项B 正确；因为min ()1f x =-，所以选项D 正确；因为()f x 的对称轴为2x =，所以选项C 错误．故选：C 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（） A ．2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】BC【解析】当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值，若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值，若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数，则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.10．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（） A ．()00f = B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-【答案】ABC【解析】由题可知，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，已知()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则当0x >时，0x -<，则()()()1f x x x f x -=--=-，所以当[)0,x ∈+∞时，()()2211124f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，可知()00f =，()10f =，且最大值为14，无最小值，所以()f x 在[)0,∞+上正确的结论是ABC. 故选：ABC.11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f 【答案】BCD【解析】二次函数()f x 图象的对称轴为直线x m =.①当1m 时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()()min 1f x f =，()()max 2f x f =； ②当12m <<时，函数()f x 在区间[)1,m 上单调递减，在区间(],2m 上单调递增，则()()min f x f m =，()()(){}()()max31,22max 1,232,12f m f x f f f m ⎧≤<⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩；③当2m ≥时，函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，此时()()max 1f x f =，()()min 2f x f =. 故A 错误，BCD 可能正确. 故选：BCD.12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182【答案】AC【解析】因为[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，所以21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得13x ≤≤，即函数()g x 的定义域为[]1,3，所以()22221322222()112g x x x x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=+++=，所以()213222g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]1,3上单调递增，所。

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二次函数的最值问题
【例题精讲】
题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.
【拓展练习】
如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =
++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .
(1)求此二次函数解析式；
(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一
【例题精讲】
若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．
【拓展练习】
题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．
练习二
金题精讲
题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．
【拓展练习】
题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
讲义参考答案
【例题精讲】
答案：3--0或2或4
【拓展练习】
答案：(1) 2y x =
-;(2) (2);(3)8
练习一答案【例题精讲】
答案：a =
【拓展练习】
答案：(1) k ≤2；(2)①k 值为-1；②y 的最大值为32
，最小值为-3. 详解：(1)当k =1时，函数为一次函数y = -2x +3，其图象与x 轴有一个交点. 当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，
令y =0得(k -1)x 2-2kx +k +2=0．
△=(-2k )2-4(k -1)(k +2)≥0，解得k ≤2．即k ≤2且k ≠1.
综上所述，k 的取值范围是k ≤2.
(2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ≠1.
由题意得(k -1)x 12+(k +2)=2kx 1(*)，
将(*)代入(k -1)x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2中得：2k (x 1+x 2)=4x 1x 2.
又∵x1+x2=
2k
k1
-
，x1x2=
k+2
k1
-
，∴2k•
2k
k1
-
=4•
k+2
k1
-
，
解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.
②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-1
2
)2+
3
2
，且-1≤x≤1，
由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=1
2
时，y最大=
3
2
.
∴y的最大值为3
2
，最小值为-3.
练习二答案
课后练习详解【例题精讲】
答案：2或-5．
详解：配方y=(x+a)2-1，
函数的对称轴为直线x= -a，
顶点坐标为(-a，-1)．
①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，
函数最小值为-1，不合题意；
②当-a＜0即a＞0时，
∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；
③当-a＞3即a＜-3时，
∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，
解得a= -5．
∴实数a的值为2或-5．
【拓展练习】
答案：有最大值，为8.
详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值
∴k-1＜0，解得k＜1.
∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.
∴最大值为8.。