国庆节作业

俯视图
侧视图
正视图
E D
C B
A
P
国庆节作业
1、下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），计算它的体积为 cm 3. 364256cm π+
2、如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为C A.1 B.
12
C.16
D.
13
3、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( A )
A. 2(20cm +
B. 221cm
C. 2(24cm +
D. 224cm 4、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 （ A ）
A ．
23
3+ B
．3+ C ．
6
1 D ．
2
3
5、已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC （1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE （3）求四棱锥P －ABCD 的侧面积.
（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2. ∴
123
3
P A B C D A B C D V S P C -=⋅=
(2) 不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 。

证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面A B C D ∴BD ⊥PC-
又∵AC PC C = ∴BD ⊥平面PAC ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC
∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE (3) 由（１）知PC ⊥CD,PC ⊥BC,CD=CB, ∴R ｔ△PCD ≌R ｔ△PCB ∵AB ⊥BC,AB ⊥PC, BC PC C = ∴AB ⊥平面PCB ∵PB ⊂平面PBC ，∴AB ⊥
PB
左视图
侧视图
正视图
俯视图
同理AD ⊥PD ，∴四棱锥P －ABCD 的侧面积
2PC D PAD PAB S S S S ∆∆∆=++=11122
2
2
C D P C A B P B A D P D ⨯
⋅+
⋅+
⋅
--
6、如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点． （1）求证AM //平面BDE ；（2）求二面角A -DF -B 的大小；
（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒． 解: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平
行四边形，
∴AM∥OE．∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDE ． (2)在平面AFD 中过A 作AS⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ,A AF AD = ∴AB⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在Rt ΔASB 中，,2,36=
=
AB AS
∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB ∴二面角A —DF —B 的大小为60º． （3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ⊥AB 于Q ，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，A AF AB = ，∴PQ⊥平面ABF ，⊂QE 平面ABF ，∴PQ⊥QF．在Rt ΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(2
2t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三
角形，∴1)2(2
+-=
t PF
，∴).
2(2221)2(2t t -⋅
=+-所以t=1或t=3(舍去),
即点P 是AC 的中点． 7、如图，在四棱锥P A B C D -中，P D ⊥平面A B C D ，A D C D ⊥，D B 平分A D C ∠，E 为的P C
中点，1,AD C D D B === （1）证明：//PA 平面BD E （2）证明：A C ⊥平面PBD （3）求直线B C 与平面PBD 所成角的正切值
【解析】 证明：设H BD AC =⋂，连结EH ，在AD C ∆中，因为AD=CD ，且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又有题设，E 为PC 的中点，故
PA EH //,又BDE PA BDE HE 平面平面⊄⊂,,所以BDE PA 平面//
（2）证明：因为A B C D PD 平面⊥，ABCD AC 平面⊂，所以
AC PD ⊥
由（1）知，AC BD ⊥,,D BD PD =⋂故PBD AC 平面⊥
(3)解：由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的
角。

由CD AD ⊥,2
23,22,22,1=
=
====BH CH DH DB CD AD 可得在BHC Rt ∆中，
3
1t a n ==
∠BH
CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为3
1。