二次函数利润问题初三
--二次函数利润问题一．售价或涨价1、某种商品每件的进价为 30 元, 在某段时间内若以每件x 元出售 ,可卖出 (100 x) 件, 应如何定价才能使定价利润最大？最大利润是多少元？2 元，据市场调查，销售单2、某商店经营一种小商品，进价为13 元时平均每天销售量是元，500 件，而销售价每降低1 价是100 平均每天就可以多售出件．y 元时，销售量为x 1（）设每件商品定价为 y 件，求出与 x 的函数关系式；（2的函数关系式；与 s，写出 s x ）若设销售利润为（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采40取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商2 件。
场平均每天可多售（1）设每件衬衫降价 x 元，平均每天可售出 y 件，写出 y 与 x的函数关系式 ___________________。
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？----4、某商场销售一批产品零件，进价货为 10 元，若每件产品零件10 元，则可售出件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减定价 20少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件产品零件每降价 2 元，商场平均每天可多售 8 件。
（1）设每件产品零件降价 x 元，平均每天可售出 y 件，写出 y与x 的函数关系式 ___________________。
（2）每件产品利润降价多少元时，商场盈利最多？5．某商店购进一批单价为 18 元的商品，如果以单价 20 元出售，100 件。
根据销售经验，提高销售单价会导那么一个星期可售出10 1 元，销售量相应减少致销售量减少，即当销售单价每提高件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？、某商品的进价为每件6 元，每个月可卖50 40 元，售价为每件出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 10元，则每个月少卖件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元．（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？请你直接写每个月的利润恰为）每件商品的售价定为多少元时，3（元？根据以上结论， 2200出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？-- --7、某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出（1）若设每件降价y 与 x x 的取值范围；的函数关系式，并求出自变量（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？8、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为130 元，每星期可卖出 80 件. 商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？----9、某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施 .调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台．（1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？10、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD．设 AB 边的长为 x 米．矩形 ABCD的面积为S平方米．（1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）．为何值时， S 有最大值？并求出最大值．（2）当 xb时，2 x（bx c a），当0 （参考公式：二次函数 y ax2a2 4ac b最大y) ( 小值 4a----11、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 y1 （元）与销售月份 x （月）满足关系式38函数关系如图所示．、（1）试确定 b c 的值；（2）求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？其它支出二．1、个房间供游客居住50 某宾馆有当每个房间的定价为每天,元时180 , 房间会全部住满 . 当每个房间每天的定价每增加. 如果游客居住房间 , 宾馆需 10 元时 , 就会有一个房间空闲对每个房间每天支出 20 元的各种费用 . 房价定为多少时 , 宾馆利润最大？----2．青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有 30 个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60 元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加 5 元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用 20 元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？3、某旅社有客房 120 间，每间房间的日租金为 50 元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加 5 元，则每天出租的客房会减少 6 间。
不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？与一次函数三．、某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为1 元，50 （千克）随y 市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量具体的变化如下表： / 销售单价 x（元千克）的变化而变化，x（元 /60 70 80 90千克）100 120y（千 80 60克）（与 y 1）求 x 的函数关系式；----（2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 W（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策 , 使农民收, 已知这种产品的 . 某农户生产经销一种农副产品入大幅度增加( 千成本价为 20 元/ 千克 . 市场调查发现 , 该产品每天的销售量ｗ克) 与销售价ｘ ( 元 / 千克 ) 有如下关系 : ｗ =－2ｘ＋ 80. 设这种产品每天的销售利润为ｙ ( 元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式 .(2)当销售价定为多少元时 , 每天的销售利润最大 ?最大利润是多少 ?3、某商场购进一批单价为 16 元的日用品，经试验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210件，假定每月销售件数 y(件)是价格 x(元 /件)的一次函数．(1)试求 y 与 x 之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？----4.某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b ，且 x65 时，时， y 45 ．y 55 ； x 75（1）求一次函数 y kx b 的表达式；（2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元40 元，每星 5、某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件期可卖出 150 件 .市场1 元（售调查反映：如果每件的售价每涨价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10 件 .设每件涨价 x 元（x 为非负整数），每星期的销量为 y 件.（1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（ 2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？----6、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份 x 之间满足函数关系 y50 x 2600 ，去年的月销售量p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：1 月 5 月月份4.3 万台 3.9 万台销售量（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？7、某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售45%，经试销发现，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于kx b ，且 x 65 时，量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 yy 55 ； x 75 时， y 45 ．（1）求一次函数 y kx b 的表达式；（2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围．（--。
二次函数最大利润求法经典
一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60）问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 自变量x 的取值范围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 （60-x ）问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402x -⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f 自变量x 的取值范围是 60x ≥（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？1W = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元2、降价时：（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩f2W =(40)x -y= (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为2W =(40)x -（60300402x -+⨯） = (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元本题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W（1）涨价时，1W =(40)x -（300 --60202x ⨯） = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元（2）降价时，2W =(40)x -（300+60402x -⨯） = (40)x -（201500x -+）= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。
中考二次函数解决利润应用题
中考数学挑战满分知识点二次函数应用题题型一、与一次函数结合销售总利润=利润×销售量（利润=售价-成本）1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元（1）y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，则y=﹣2x2+120x﹣1600．由题意，有，解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，整理，得x2﹣60x+875=0，解得x1=25，x2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润每月的最大利润是多少解：（1）依题意设y=kx+b，则有所以y=-30x+960（16≤x≤32）．（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）=30（-x+32）（x-16） =30（-x2 +48x-512）=-30（x-24）2 +1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.由所给函数图象得⎩⎨⎧=+=+3015050130b k b k 解得 ⎩⎨⎧=-=1801b k∴函数关系式为y ＝－x ＋180.(2)W ＝(x －100) y ＝(x －100)( －x ＋180) ＝－x2＋280x －18000 ＝－(x －140) 2＋1600当售价定为140元, W 最大＝1600.∴售价定为140元/件时,每天最大利润W ＝1600元某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y （元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB ﹣﹣BC ﹣﹣CD 所示（不包括端点A ）．（1）当100＜x ＜200时，直接写y 与x 之间的函数关系式： y=﹣+8 ．O（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润考点：二次函数的应用分析：（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；（3）根据（2）中所求得出，﹣（x﹣150）2+450=418求出即可．解答：解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，，解得：∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣+8；故答案为：y=﹣+8；（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x，当x=100时，W有最大值400元，当100＜x≤200时，W=（y﹣2）x=（﹣+6）x=﹣（x﹣150）2+450，∵当x=150时，W有最大值为450元，综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；（3）∵418＜450，∴根据（2）可得，﹣（x﹣150）2+450=418解得：x1=110，x 2=190，答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．5.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元此时每日销售利润是多少元某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为60x2，其中自变量x的取值范围是0≤x≤；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．考点：二次函数的应用；一次函数的应用分析：（1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x 的取值范围；（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．解答：解：（1）设函数的解析式为y=ax2，把点（1，60）代入解析式得：a=60，则函数解析式为：y=60x2（0≤x ≤）；（2）设需要开放x个普通售票窗口，由题意得，80x+60×5≥1450，解得：x≥14，∵x为整数，∴x=15，即至少需要开放15个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，把点（1，80）代入得：k=80，则y=80x，∵10点是x=2，∴当x=2时，y=160，即上午10点普通窗口售票为160张，由（1）得，当x=时，y=135，∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），设一次函数的解析式为：y=mx+n，把点的坐标代入得：，解得：，则一次函数的解析式为y=50x+60．点评：本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55 60 70 75 …一周的销售量y（件）…450 400 300 250 …（1）直接写出y与x的函数关系式：y=﹣10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元考点：二次函数的应用．3718684分析：（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．解答：解：（1）设y=kx+b，由题意得，，解得：，则函数关系式为：y=﹣10x+1000；（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000，∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）当购进该商品的贷款为10000元时，y==250（件），此时x=75，由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，∴当x=70时，销售利润最大，此时S=9000，即该商家最大捐款数额是9000元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．题型二、寻找件数之间的关系（一）售价为未知数1．某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。
二次函数中的利润问题
22.3 二次函数中的利润问题教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的性质：顶点式,对称轴和顶点坐标公式:♦ 利润=售价-进价.♦ 总利润=每件利润×销售数量.二、探究新知1、日用品何时获得最大利润♦ 1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,.44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab x 2-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?♦ 设销售价为x 元(x ≥30元), 利润为y 元,则♦探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x 元，每星期则少卖l0x 件，实际卖出(300－l0x )件，销售额为(60 + x ) (300－l0x )元，买进商品需付40(300－10x )元．因此，所得利润y ＝(60+x )(300－l0x )一40(300－l0x )，即y ＝－l0x 2+100x +6 000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x 的取值范围呢？ 由300－l0x ≥0，得x ≤30．再由x ≥0，得0≤x ≤30．根据上面的函数，可知：当x ＝5时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x 元，每星期则多卖20x 件，实际卖出(300＋20x )件，销售额为(60－x ) (300＋20x )元，买进商品需付40(300＋20x )元．因此，所得利润y ＝(60－x )(300＋20x )－40(300＋20x )，即y ＝－20x 2＋100x ＋6 000．怎样确定x 的取值范围呢？由降价后的定价(60－x )元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x ≤20．当x ＝2.5时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，()()[]202040020---=x x y 20000140202-+-=x x ().450035202+--=x即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．解决这类题目的一般步骤（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.三、巩固练习3、旅行社何时营业额最大某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？4、直击中考（2010·荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）四、小结（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？（3）你学到了哪些思考问题的方法？。
专题实际问题与二次函数利润问题
日销售量y(kg)与时间第t(天)之间的函数关系 如图所示．
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
②当41≤t≤80时，
1 w＝ ( t 46 6)(－2t＋200)＝(t－90)2－100， 2
解得
∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)．
展示竞学 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知每千克小龙虾养殖成本 为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t(天)
（1 t 40，t为整数）， 14t＋16 之间的函数关系为 p 1 － t＋46 （41 t 80，t为整数）， 2
y= ，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千 克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克， 每天的利润 是W元(利润=销售收入一成本) (1)m= ，n= ； (2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
∴当t＝41时，w最大值＝2 301，
∵2 450＞2 301，
小结评学
1.通过本节课的学习你有什么收获?
检测固学
（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新 发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产 这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关 于售价x（元/件）的函数解析式为： y=
合作互学
展示竞学 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知每千克小龙虾养殖成本 为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t(天)
（1 t 40，t为整数）， 14t＋16 之间的函数关系为 p 1 － t＋46 （41 t 80，t为整数）， 2
数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
10
y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
精选ppt
13
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x：定2价ba为5358时1 ， y元最时大，利18润最53大2，6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
精选ppt
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某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
数学人教版九年级上册二次函数与商品利润问题
2.（云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水 果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40 元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合 一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的 利润为W元，求W的最大值．
例1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件定价x元，每星期总利润为y元 2 则y=(x-40)[300-l0（x-60）]= -l0x +1300x-36 000 2 = - 10（x-65） +6250 ∵900-l0x≥0且x≥0 ∴60≤x≤90． ∴当x=65时，y最大是6250． 答：商品定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．
1、选择恰当的自变量，根据题意列出函数解析式； 2、由实际情况的条件，求出自变量的取值范围；
3、根据自变量的取值范围和二次函数性质，求出函 数的最大最小值。
：已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反 映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖 出20件。设该商品每件降价x元,商场销售该商 品每周总利润为y元，则： 20-x 该商品每件利润为_____________ 元； 300+20x 该商品的销量为_______________ 件； 商场销售该商品每周总利润 2 y=___________________________________ (20-x)(300+20x)=-20x +100x+6000 0≤x≤20 ； 自变量的取值范围是_______________.