二次函数与大利润问题
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二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题
30k b 400
k 20
, 解之得 :
，
40k b 200
b 1000
即一次函数表达式为 y 20x 1000 (30 x 50) ．
⑵ P (x 20) y ( x 20)( 20 x 1000)
20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0
∵ a 20 0 ∴ P 有最大值．
当x
1400
35 时， Pmax 4500 （元）
[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润
最大？ 解：设涨价（或降价）为每件
x 元，利润为 y 元，
y1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y1 (60 40 x)( 300 10x)
商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他
成本。 总利润 =总售价 -总进价 - 其他成本 =单位商品利润 ×总销售量－其他成本 单位商品利润 =商品定价－商品进价 总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量
[ 例 1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现， 每月销售量 y （万
所以，销售单价定为 25 元或 43 元，
将
z =-2x
2
+136x-1800
2
配方，得 z=-2 （ x-34 ） +512 ，
因此， 当销售单价为 34 元时， 每月能获得最大利润， 最大利润是 512 万元；
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
下一页 6
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
二次函数--利润最大值问题-顶点不在范围内
22.3（3.2）--利润最大值问题-顶点不在范围内
一．【知识要点】
1.利用二次函数解决最大利润问题，首先根据利润问题中常用的两个等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值。
2.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】
1.某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
三．【题库】
【A】
1．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【B】【C】【D】。
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
初中数学课件
二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
二次函数最大利润问题
2 2
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
做一做P35 2
何时橙子总产量最大
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树 平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接 受的阳光就会减少.根据经验估计, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产 量最大? 如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
y x800 10x 30 10 x 2 1100 x 2 10x 55 30250.
数学专页P146
商贩何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销 售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来 增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天 的销售量就会减少10件.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函 2 2 数关系式; 10 x 140 x 40000 10x 70 9000. (2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利 润;500 1055 502 450. 50 10 450 6750. (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得 月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
y x 2.5500 20013.5 x 2 200 x 3700 x 8000 2 200x 9.25 9112.5.
随堂练习P604
日用品何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售 经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每 提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能 在半个月内获得最大利润?
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
做一做P35 2
何时橙子总产量最大
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树 平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接 受的阳光就会减少.根据经验估计, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产 量最大? 如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
y x800 10x 30 10 x 2 1100 x 2 10x 55 30250.
数学专页P146
商贩何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销 售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来 增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天 的销售量就会减少10件.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函 2 2 数关系式; 10 x 140 x 40000 10x 70 9000. (2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利 润;500 1055 502 450. 50 10 450 6750. (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得 月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
y x 2.5500 20013.5 x 2 200 x 3700 x 8000 2 200x 9.25 9112.5.
随堂练习P604
日用品何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售 经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每 提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能 在半个月内获得最大利润?
二次函数与最大利润问题教案
师生共同分析以下问题：
1销售额是多少？
2成本是多少？
3利润y与每件涨价x元之间的函数关系式是什么？
4变量x的取值范围如何确定？
5如何求解最值？
教师引导学生确定变量x的范围的方法：300-10x≥0，x≥0
教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行比对：
解：设每件涨价x元，利润为y元，根据题意得：
y=（60+x）（300-10x）-40(300-10X)
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当销售定价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？
教师对学生的测评结果进行批阅、点评、讲解。
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解。
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层进行检验，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
课堂小结
2分钟
课堂小结：
1、谈一谈你在本节课中有哪些收货？哪些进步？
教学设计
基本信息
名称
二次函数与最大利润问题
执教者
赵娜
课时
1
所属教材目录
实际问题与二次函数
教材分析
最大利润问题是实际问题与二次函数这一部分内容中的一类典型的关于二次函数的实际应用问题，，二次函数的应用本身是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题。而最大利润问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生也比较感兴趣，目的在于让学生通过最大利润这一类题学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论的思想方法的基础。
1销售额是多少？
2成本是多少？
3利润y与每件涨价x元之间的函数关系式是什么？
4变量x的取值范围如何确定？
5如何求解最值？
教师引导学生确定变量x的范围的方法：300-10x≥0，x≥0
教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行比对：
解：设每件涨价x元，利润为y元，根据题意得：
y=（60+x）（300-10x）-40(300-10X)
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当销售定价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？
教师对学生的测评结果进行批阅、点评、讲解。
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解。
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层进行检验，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
课堂小结
2分钟
课堂小结：
1、谈一谈你在本节课中有哪些收货？哪些进步？
教学设计
基本信息
名称
二次函数与最大利润问题
执教者
赵娜
课时
1
所属教材目录
实际问题与二次函数
教材分析
最大利润问题是实际问题与二次函数这一部分内容中的一类典型的关于二次函数的实际应用问题，，二次函数的应用本身是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题。而最大利润问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生也比较感兴趣，目的在于让学生通过最大利润这一类题学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论的思想方法的基础。
二次函数与最大利润问题课件ppt
2．某商场购进一批单价为 30 元的日用商品，如果以单价 40 元销售，那 么半月内可销售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件．当销售单价是 45 元时，才 能在半月内获得最大利润．
【解析】 设销售单价为 x 元，销售利润为 y 元． 根据题意，得 y＝(x－30)[400－20(x－40)] ＝(x－30)(1 200－20x)＝－20x2＋1 800x－36 000＝－20(x－45)2＋4 500， ∵－20＜0，∴x＝45 时，y 有最大值．
当堂测评
1．科学家为了推测最适合某种珍稀植物生长的温度，将这种植物分别放
在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部
分数据如下表：
温度 t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量 l/mm
41
49
49 46 25
科学家经过猜想，推测出 l 与 t 之间是二次函数关系．由此可以推测最适 合这种植物生长的温度为 －1 ℃.
归类探究
类型 二次函数与最大利润问题 [2016·成都]某果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现
准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结 5 个橙子，假设果园多种了 x 棵橙子树．
【点悟】 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题．解 此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实 际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围．
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这种白T恤现在的售价为每件60元，每星期可卖 出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何 定价才能使利润最大？
请同学们带着以下几个问题读
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量 是自变量？哪些量随之发生了变化？
1.实际问题与二次函数在期末考试中是必考 的一个知识点，分值在10～15分；
2.在河北省、邢台市中考中，2016年以前一 般出现在最后一道大题中，分值 14分.
学习目标： 1、会用二次函数解决实际生活中的最大
利润问题； 2、培养学生的数学建模思想和化归思想
学习重点： 列二次函数解析式解决实际生活中的最
2F
进价为4０元的篮球，市场调查发现，若以每个5０元的价格 销售，平均每月销售500个，价格每提高１元，平均每月少 销售10个．
（1）求平均每月销售量y个与涨价x之间的函数关系式；
（2）要想获得8000元的利润则篮球的定价应是多少？
（3）当每个篮球的销售价为多少元
时，可以获得最大利润？最大利润
(0≤x≤30)
怎样确定x
的取值范 围
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以最大值
10 52
100 5
6000
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的图
像是一条抛物线的一部分，
这条抛物线的顶点是函数
40 (500-10x )
8000
列表分析2: 总利润 =单件利润×数量
总利润=单件利润×数量 利润
(50+x-40) (500-10x)
8000
问题3 在这个问题中，总利润是不是一个变量？ 如果是，它随着哪个量的改变而改变？
若设每个涨价为x元，总利润为W元。你能 列出函数关系式吗？
解：设每个涨价为x元时获得的总利润为W元.
大利润问题 学习难点：
列二次函数解析式及确定自变量的取值 范围
情景导入
阿姨想买一双鞋，问导购员：“这双鞋前两天卖40 元，怎么现在卖50元了呢？”导购员说：“前几天 是中秋节活动打八折，现在恢复原价了。”阿姨说: “我只带了45元，能不能打个折扣。”这时候经理过 来了，告诉阿姨：“我们经过调查，如果每双鞋盈 利10元，每天可售出50双；若每双鞋涨价1元，日 销售量将减少两双，现在商场要求，每天盈利600 元，所以，只能恢复原价。”
是多少？
[点拨 ]（１）原来每个销售价5０元，价
格每提高１元少销售10个，若涨价为x，
元，则每月少销售
个,则提价后每
天销售
个，所以
y＝ 500-10x
（10x） [500-10x]
列表分析1: 总售价-总进价=总利润
设每个涨价x元，则
总售价=
总进价=
利润
单件售价×数量 单件进价×数量
(50+x) (500-10x)
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨
价x元,则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件,
每件利润为 (60+x-40)
元，因此，所得利润
为 （60+x-40）(300-10x) 元. y=(60+x-40)(300-10x) 即y=-10（x-5）2+6250
∴x=2.5时，y极大值=6125
怎样确 定x的取 值范围
答：定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价
能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
运用新知
阿姨想买一双鞋，问导购
员：“这双鞋前两天卖40元，
怎么现在卖50元了呢？”
导购员说：“前几天是中秋节活动打八折，现在恢 复原价了。”阿姨说: “我只带了45元，能不能打个 折扣。”这时候经理过来了，告诉阿姨：“我们经 过调查，如果每双鞋盈利10元，每天可售出50双； 若每双鞋涨价1元，日销售量将减少两双，现在商场 要求，每天盈利600元，所以，只能恢复原价。”
w =(50+x-40) (500-10x) (0<x<50)
=(10+x)(500-10x) =-10x2+400x+5000 =-10(x2-40x-500) =-10［(x-20)2-100)] =-10(x-20)2+9000
当x=20时，y的最大值是9000.
答：定价为70元时，利润最大为9000.
图像的最高点，也就是说
当x取顶点坐标的横坐标时，
这个函数有最大值.由公式
可以求出顶点的横坐标.
30
x\元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程
得出答案.
解析：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实
际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此， 得利润
y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x²-5x+6.25)+6125 =-20（x-2.5）²+6125 （0＜x＜20）
聪明的同学们，利用我们所学的数学知识，谁能帮 阿姨想个办法打个折扣？
信 和 ， 我 来 了 ！
1、冰激凌售价3元， 成本1元，每天卖20 个冰激凌，每天的 利润是多少元？
2、每天冰激凌所获 利润y（元）与销售 量x（个）之间的函 数解析式为
y=－2x2＋200x -4900则当卖出_____个冰激凌时，可获得 的最大利润为___元。
设 1、审题，由题意设出适当未知数； 列 2、求出函数解析式和自变量的取值范围； 最 3、配方变形，或利用公式求它的最大值或最
小值。
检 4、检查求得的最大值或最小值对应的自变量 的值必须在自变量的取值范围内。
答 5、写出最后答案。