二次函数与最大利润问题教案

师生共同分析以下问题：
1销售额是多少？
2成本是多少？
3利润y与每件涨价x元之间的函数关系式是什么？
4变量x的取值范围如何确定？
5如何求解最值？
教师引导学生确定变量x的范围的方法：300-10x≥0，x≥0
教师利用多媒体展示解答过程，指导学生进行比对：
解：设每件涨价x元，利润为y元，根据题意得：
y=（60+x）（300-10x）-40(300-10X)
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当销售定价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？
教师对学生的测评结果进行批阅、点评、讲解。
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解。
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层进行检验，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
课堂小结
2分钟
课堂小结：
1、谈一谈你在本节课中有哪些收货？哪些进步？
教学设计
基本信息
名称
二次函数与最大利润问题
执教者
赵娜
课时
1
所属教材目录
实际问题与二次函数
教材分析
最大利润问题是实际问题与二次函数这一部分内容中的一类典型的关于二次函数的实际应用问题，，二次函数的应用本身是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题。而最大利润问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生也比较感兴趣，目的在于让学生通过最大利润这一类题学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论的思想方法的基础。
2、用一根长为20m的绳子围成一个矩形，则围成的矩形的最大面积是多少？
学生资助进行解答，教师做好指导和点评；
（提示：1题课指导学生用不同的方法解答；2题先确定矩形的长和宽，利用面积公式列出函数表达式，再求最值）
1、通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课进行铺垫。
2、复习运用二次函数解答面积问题，词用对比教学效果较明显。
学情分析
对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数的图像与性质后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图像的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题。本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
解：设每件降价x元，利润为y元，根据题意得：
y=（60-x）（300+20x）-40（300+20 x）
=-20x2+100x+6000（0≤x≤20）
当x=2.5时，y有最大值为6125元.
总结：当定价为每件65元时，利润最大为6250元。
教师板书出学生所做总结：
1确定自变量和函数；
2利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式；
通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式。
通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性。
活动三：开放训练，体现应用
12分钟
应用举例：
例1、某商店购进一批单价为20元一件的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月可售出400件，根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，售定价为多少，才能在半个月内获得最大利润？
教师指导学生做出总结，并板书出学生所做总结：
1确定自变量和函数；
2表示出单位利润和销售量；
3利用利润公式列出函数解析式；
4运用顶点公式求出最值。
拓展提高：
例2、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系.
（3）当x=60时，w有最大值，但因为x≤55，所以当x=55时，w的值最大，为125元。
学生自主解答（教师巡视，指导），并让学生板书出解答过程。
解：设单价提高x元，利润为y元，依题意得：
y=（30+x-20）（400-20x）=-20x2+200x+4000（0≤x≤20）
所以当x=5时，y有最大值为4500元。
=-10x2+100x+6000（0≤x≤30）
因为a=-10＜0，所以函数有最大值，
当x=5时，y有最大值为6250
教师指导、点拨，重点强调：
1怎样利用函数观点来认识问题；
2怎样能够建立函数模型；
3能够找到两变量之间的关系；
4怎样从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值。
活动二：
按照上述涨价的问题，教师给予学生时间解答降价的最值问题。
学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题。
通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生探究意识和解决实际问题的能力。
活动二：实践探究，交流新知
10分钟
1、探究新知
活动一：针对课堂引入的问题进行探究，教师总结解题过程：
教师展示问题：（1）该如何定价呢？
（2）问题中的变量是什么？
3确定自变量的取值范围；
4利用公式求出问题中的最大利润。
学生先独立思考，教师给予引导。提示：（1）学生分组讨论如何利用函数模型解决问题：（2）利润随着价格的变化而变化。
教师指导学生完成涨价问题的函数解析式。
在教师的指导下，学生加大问题，与教师做出的展示结果进行比对。
在教师的指导下，学生总结加大问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，进而共同确定解题思路。
A、130 B、120 C、110 D、100
4、最近，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农副产品.已知这种产品的成本价位20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=-2x+80，
设这种产品每天的销售利润为y元.
A、20 B、25 C、30 D、40
2、服装店将进价为每件100元的服装按x元/件的价格出售，每天可销售（200-x）件，若想获得最大利润，则应定价为（ ）
A、150 B、160 C、170 D、180
3、某产品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，若这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，那么为获得最大利润，其单价应定为（ ）
活动一：创设情境，导入新课
4分钟
问题：某商品现在的售价为每件60元，每周可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖10件；每降价1元，每周可多卖20件。已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？
教师展示问题：该如何定价呢？
教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况。2、学习本节课后，还存在源自些困惑？布置作业1分钟
课本第51页习题22.3第2、8题
板书设计
实际问题与二次函数（最大利润问题）
利润问题 二次函数的最值 例题
总利润=单位利当a＞0时，函数有最小值
润×数量当a＜0时，函数有最大值
顶点坐标公式
教学反思
在创设情境和探究新知环节中，通过解决实际生活中的利润问题，从而得到解答此类问题的一般方法，构建函数模型；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由讨论时间，提高学生解答问题的积极性；关于授课效果，教师强调：（1）利用利润公式列函数解析式（2）在数量与价格的变化中利用表格形式表示数量关系；关于师生互动，从课堂发言和练习来看，借助实际问题和开放自由的讨论给予课堂活力，使学生能够充分理解利润问题的函数模型。
（1）求每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
教师做好总结和展示：
解：（1）得y=-3x+240
（2）由题意得：w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600
教学目标
知识与能力目标
1、能顺利的从简单的实际问题中抽象出数量关系进而建立二次函数的表达式；
2、理解实际问题中的最大利润应为函数图象上有意义的最高的点的纵坐标；
3、会根据具体的题意用二次函数的顶点坐标及非顶点坐标求出实际应用中的最大利润。
过程与方法目标
经历从实际问题中建立函数模型并应用二次函数的性质解决实际问题的过程，体会数学来源于生活、服务于生活的本质，探索并解决不同情况下的最值问题，进而提高学生分析问题、解决问题的能力。
当二次函数关系式中的自变量有特定的取值范围的条件下，确定最大值进而解决实际问题。
教学策略与设计说明
利用多媒体通过设置丰富的问题情境，鼓励学生进行探索和交流，让学生亲身经历知识的形成过程。
教学过程
教学环节（注明每个环节预设的时间）
教师活动
学生活动
设计意图
回顾
6分钟
1、请求出下列二次函数的最值：
（1）y=x2-4x-5 (2)y=-x2+3x
情感态度与价值观目标
培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，让学生体验数学活动中充满着探索和创造，增强学好数学的信心。
教学重难点
重点
理解实际问题中的最大利润应为函数图象上有意义的最高的点的纵坐标；会根据具体的题意用二次函数的顶点坐标及非顶点坐标求出实际应用中的最大利润。