二次函数与实际问题-利润问题
二次函数实际问题中的利润问题
二次函数实际问题中的利润问题姓名：__________指导：__________日期：__________∴当1≤x≤50时，y=x十40.当50x≤90时，y=90.∴当售价y(元/件)与时间x(天)之间的函数关系式为y由表中数据可知每天的销售量P与时间x成一次函数关系，设每天的销售量与时间x之间的函数关系式为P=mx+n(m、n为常数，且m≠0)，将(60，80)，(30，140)代入，∴P=一2x+200(0≤x≤90，且X为整数，当1≤x≤50时，w=(x+40一30)(一2x十200)=一2X²+180x十2000;当50x≤90时，w=(90一30)(一2x十200)=一120x+12000;综上，每天的销售利润w与时间x之间的函数关系式是w(2)当1≤x≤50时，w=一2x²+180x十2000=一(x一45)²+6050，∵a=一20且1≤x≤50，∴当x=45时，w取得最大值，最大值为6050.当50x≤90时，W=一120x+12000，∵K=一1200，w随x的增大而减小，∴当x=50时，W取最大值，最大值为6000.∵60506000，∴当x=45时，w最大，最大值为6050.即销售第45天时，W最大，最大值为6050.(3)当1≤x≤50时，令W=一2x²+180x十2000≥5600，解得30≤x≤50，50一30+1=21(天)，当50x≤90时，令w=一120x十12000≥5600，解得50x≤160/3，∵x为整数，∴50x≤53，53一50=3(天)，21十3=24(天)，综上可知，该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元.3.某商场经营某种品牌的玩具，购进时单价是30元，市场调查发现，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具.(1)不妨设这种品牌玩具的销售单价为x元(x40)，请你分別用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具所获得的利润w(元,，并把结果填写在表格中:(2)在(1)的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，则该玩具的销售单价应定为多少元？(3)在(1)的条件下，若玩具厂规定这种品牌玩具的销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售这种品牌玩具获得的最大利润. 【分析】(1)依据销售利润=销售量×单件利润.∵单价每上涨1元，就会在销售量是600件的基础上少售出10件，现在销售单价为x元(x40)，∴销售单价上涨(x一40)元，少售10(x一40)件∴销售量y=600一10(x一40)=1000一10x，而单件利润为(x一30)元，∴销售所获利润w=(x一30)(1000一10x)=一10x²+1300x一30000.(2)解(1)中的w=10000即可.(3)在要求的条件下，找出x的范围，再对应w关于x的二次函数解出最大利润. 【答案解析】(1)(2)由题意得，一10x²十1300x一30000=10000，解得x=50或x=80，故当玩具销售单价定为50元或80元时，可获得10000元的销售利润.(3)根据题意可得1000一10x≥540且x≥44，解得44≤x≤46，W=一1x²十1300x一30000=一10(x一65)²+12250，当44≤x≤46时，w随x的增大而增大，∴当x=46时，w取得最大值，最大值为8640元，故商场销售这种品牌玩具获得的最大利润为8640元.【反思】一般利润问题，都是这种题型，取最值时特别要注意自变量的取值范围，根据范围结合二次函数图象，才能准确取得最值。
实际问题与二次函数利润问题
1.谈谈这节课你的收获. 2.总结解这类最大利润问题的一般步骤:
（1）列出二次函数的解析式，并根据自 变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式 法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值.
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则 这两个正方形面积之和的最小值是 25 或12.5cm2．
请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x-600)
=-10［(x-5)2-25-600］
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：
y=(60-x-40) ) (300+20x) (0≤X≤20)
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方 法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元. 十 月份售出m台，则每台电脑的利润为 600元 ， 十月份的利润为 600m元 .
实际问题与二次函数——利润问题
22.3 实际问题与二次函数——利润问题教学目标：1、通过探究商品销售中的变量关系，列出函数关系式；2、学会用二次函数求实际问题中的极值.教学重点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.教学难点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.教学方法：以问题为载体，引导学生探究新知教学过程：一、导入简单的复习。
将学生分成两大组，分别完成第一题的|（1）、（2）小题。
1、求下列二次函数的最值⑴ y=2x2＋8x ＋13 ; ⑵ y= -x2＋4x在第一题的基础上，给出函数图像，完成第二题。
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：y=2x2＋8x ＋13⑴若-3≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.⑵又若0≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.通过上两题提出第三个问题：3、求函数的最值问题，应注意什么? 【归纳】一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当________时，二次函数y=ax2+bx+c 有最小（大）值________.二、新授例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.先来看涨价的情况：现售价为每件60元,成本40元，每星期可卖300件，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.⑴设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 也随之变化，涨价x 元,则每星期少卖 件，实际卖出_______件,每件利润为_______因此，所得总利润为___________元.带领同学们以表格形式探讨其中的价格和数量的关系，表格如下：根据表格分析再填空，此时y与x的函数关系式就显而易见了.同学们设好未知数并列好函数关系式y=(60+x-40)(300-10x)，同时提问：对于自变量x 的范围有没有要求呢？六人一组分小组讨论，然后全班交流答案.得出0≤x≥30.在自变量范围内求最值：发现函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点（5，6250）是函数图象的最高点，而x=5恰好在0≤x≥30范围内，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.展示解题过程：解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元.依题意可得：y=(60+x-40)(300-10x) (0≤x≤30)即y= -10（x-5）2 +6 250∴当x=5时，y最大值=6 250.涨价的情况下，当售价为65元时，每周利润最大，且最大为6250元.此为间接设元，若是直接设元，你会列函数解析式吗？请同学们课后试一试.【归纳】1、切记自变量的取值范围（可从自变量的实际意义考虑，也可从用含自变量来表示的量的实际意义考虑）2、最值可优先考虑抛物线顶点，但要检查顶点的横坐标是否在自变量取值范围内.接下来看看降价的情况：某商品现售价为每件60元，成本40元，每星期卖300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.在降价的情况下，最大利润是多少？在涨价的基础上，同学们自行求解降价的最值，并请一名同学在黑板上展示结果，再由全班同学一起批改.【归纳】解决这类题目的一般步骤（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
二次函数与实际问题 利润问题
二次函数与实际问题利润问题二次函数与实际问题利润问题实用问题与二次函数——利润问题教案（1）一、利润公式一种商品的购买价是40元，现在是60元。
每周可以卖出50件。
本周销售商品的利润是多少？小结：总利润=二、问题探究问题1：某种商品的购买价格是30元/件。
如果你在一段时间内以每件x元的价格出售，你可以卖出（200-x）件。
你应该如何定价以实现利润最大化？问题2：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？分析问题：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润为y 元。
（1）将价格提高X元，每周销量减少；实际上卖了几件。
（2）商品的现行价格是元，购买价格是元。
跟据上面的两个问题列出函数表达式为：自变量x的取值范围解答过程：问题3：目前一种商品的售价是60元/件，每周可以卖出300件。
根据市场调查，每涨1元，每周就少卖10件；每降价1元，每周可多卖出18件。
已知商品的购买价格为40元/件。
如何定价以实现利润最大化？三、课堂练习1.据了解，一件商品的购买价格为40元/件，销售价格为60元/件，每周可销售300件。
市场调查显示，如果价格调整，每降低一元，每周就会多卖出18件。
当商品的价格应该是多少元时，商场能获得最大的利润吗？2、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50元销售,平均每天可销售100箱.价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱;价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。
如何定价才能使得利润最大？3.旅行社组织30人组团出国旅游，单价为每人800元。
旅行社对30人以上的组团提供折扣，即每增加一人，每人的单价将减少10元。
你能帮我分析一下当旅行团数量减少时旅行社能获得的最大营业额吗？4、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。
二次函数的实际应用(利润问题)
建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。
二次函数实际应用(利润问题)讲义
二次函数实际应用最大利润问题这类问题只需围绕一点来求解，那就是总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：1）自变量x是所涨价多少，或降价多少2）自变量x是最终的销售价格而这种题型之所以是二次函数，就是因为总利润=单件商品利润*销售数量这个等式中的单件利润里必然有个自变量x，销售数量里也必然有个自变量x，至于为什么它们各自都有一个x,后面会给出解释，那么两个含有x的式子一相乘，再打开后就是必然是一个二次的多项式，所以如果在列表达式时发现单利润里没有x，或销售数量里没有x, 那恭喜你，此题0分！下面借助例题加以理解：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件现设一天的销售利润为y元，降价x元。
（1）求按原价出售一天可得多少利润？解析：总利润=单利润*数量（2）求销售利润y与降价x的的关系式解析：总利润=数量*单利润(3)商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？（4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润解析：因为要是利润最大，所以需要求因变量y的最大值。
（一）涨价或降价为未知数例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。
不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？变式1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？②若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利 y元，写出y与x的函数关系式。
九年级上册数学课件《二次函数与实际问题-最大利润》
注意：在实际问题中必须考虑自
变量的取值范围内是否包含顶点，
顶点是二次函数的最值，不一定
20 28 30
x
是实际问题的最值
变式
3、若销售单价不高于35元/千克，不低于 27元/千克，求销售利润最小值W？
当x=35时 ，W最小= 150
有时利用图象观察更简单
27 30
35 x
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系
如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每Βιβλιοθήκη 月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴
50k+b=60 70k+b=20
解得：
k =－2 b = 160
当由∵ww题==1﹣意502，时x 2有，+1可2得0x方﹣程16﹣002=x﹣22+（1x2﹣0x3﹣0）1620+02=010，50，
整∴理当，x得=3x02时﹣，6w0有x+最8大75值=200，0． 解得20≤x≤40．
解故得当x 1销=售25价，定x为2 3=03元5．/千克时，每天可获最大销售利润200元； ∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x 2 =35不合题意， 应舍去．
虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因 此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，是多少？
所以降价2.5元，应定价57.5元时，利润最大6125元
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大6250元。
归纳总结
利用二次函数解决最大利润问题的一般步骤：
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
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课题：人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》
教学目标：
1、知识与技能：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。
2、过程与方法：
经历探索商品销售中最大利润问题的过程，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，增强学生数学应用能力。
3、情感态度与价值观：
提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
教学重点与难点：
1、重点：
让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。
2、难点：
如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。
教学过程：
一、创设情境：
请同学们考虑下列问题：
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
学生根据相应的数量关系列出方程。
设每件涨价x元
（60+x -40）×（300-10x）=6090
（从实际生活入手，创设问题情境，提高学生兴趣，激发求知欲望。
）
二、探索新知，进入新课
1、商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润否是随涨价而增多，降价而减少呢？
2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
如何定价才能使利润最大？
教师展示问题，
（1）、本题中的变量是什么？
（2）、如何表示赚的钱呢？
学生分组讨论，利用函数模型解决问题
设每件涨价x元，由此商品
①每件的利润为：（60+x -40）元
②每星期的销售量为：（300-10x）件
③所获利润是：（60+x -40）×（300-10x）元
若设所获得利润为y元，则有y=（60-40+x）（300-10x），即
y=-10x2+100x+6000。
自变量x的取什范围是0≤x≤30（300-10x≥0 x≤30）
当x=5时，y的最大值为6250.
3、师：市场调查中有涨价的情况，也有降价。
请同学们思考：
在上述问题中，如果每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（让学生体会到函数模型在同一个问题中的不同情况下是不同的，从而培养学生对问题思考的完善性。
）
学生思考，交流，完成题目：
设每件降价x元，由此每星期售出的商品利润y随x的变化：
y=（60-x-40）（300+20x）=-20x2+100x+6000
自变量x的取什范围是0≤x≤20
当x=2.5时，y的最大值为6125.
综上所述：每件为65元时，每星期的利润最大，最大值为6250元。
（通过学生“观察、分析、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，把二次函数与一元二次方程联系起来，让学生从方程思想过渡到函数，可以体验到知识的深化和成功的喜悦；在应用中获得发展，从而使知识转化为能力，进而应用于实际生活。
）
三、随堂练习：
1.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱; 价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。
如何定价才能使得利润最大？
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。
如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）
2、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出。
已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R、P与x的表达式分别为R=500+30x,P=170－2x.
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
（学生在练习活动中可以体验到分析数学问题的快乐，丰富数学活动的经历和积累数学分析的经验；并且使学生在“合作与交流”中提升自我的价值。
）四：学生总结
解决利润最大化问题的基本方法和步骤：
方法：利用二次函数思想
步骤：1、设自变量；2、建立函数解析式；3、确定自变量取值范围；
4、利用顶点公式或配方法求出最值（在自变量取值范围内）
五、作业：
1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
设销售价为x元(x≤13.5元)，那么：销售量可表示为：（）件；销售额可表示为：（）元；所获利润可表示为：（）元。
当销售单价为（）
元时，可以获得最大利润,最大利润是（）元。
2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
六、教学反思：
本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，把二次函数与一元二次方程联系起来，通过分解问题降低难度，让学生从方程思想过渡到函数，可以体验到知识的深化和成功的喜悦；在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。
学生在活动中可以体验到分析数学问题的快乐，丰富数学活动的经历和积累数学分析的经验；学生在“合作与交流”中提升自我的价值。
在教材处理上，我对教学内容进行了合理的加工和改进，使教学符合学生的认知规律。
本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流”的《数学新课标》要求。
让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。