2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质
y 3x 1
2
y 3x 1
2
1.抛物线y=-3(x3.抛物线y=-3(x-1)2在对称 轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=1)右侧,当x>1时, y随着x 的增大而减小.当x=1时,函数 y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴 (x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
九年级数学(下)第二章 二次函数
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1) 函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+K的图象和性质
想一想P46 1
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
x -3 27 -2 12 -1 3 0 0 1 3 2 12 3 27 4 48
y 3x 2
x 12 y 3
48
27
12
3
0
3
12
27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2 的图象．
做一做P46 3
观察图象,回答问题
y 3x
2
y 3x 1
2
(3) 函 数 y=3(x-1)2 的 图象与y=3x2 的图象有 什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和 顶点坐标分别是什么?
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和 y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x1)2和y=-3(x+1)2在x 轴的下方(除顶点外), 它的开口向下,并且 向下无限伸展. y
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函 数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少？
y 3x 1
y 3x 2
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x= -1. 顶点坐标 是点(-1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
2.x取哪些值时,函数 2的值随x值的增 y 3x 12 y=3(x+1) 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x+1)2的值随x的 增大而减少？
?
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
二次函数y=-3(x-1) +2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,. 二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的增减性类似.
y 3x
2
y 3x 1
2
顶点是最低点,函数 有最小值.当x=1时, 最小值是0..
在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.
y 3x 2
X=-1 X=1
1)2的顶点是(1,0);对 称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的 顶点是(-1,0);对称轴 是直线:x=-1.
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y 轴的直线x=h.
二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h
Байду номын сангаас
y ax
X=h
2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y a x h
2
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0.. 二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的增减性类似.
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
想一想,在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
议一议P47 6
真知 从实践走来
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它 与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是 轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大 而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增 大而减少？
2 2
-4
-3 27
-2 12 27
-1 3 12 0
0 0 3 3
1 3 0 12
2 12 3 27
3 27 12
4
27
27
12
3
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图
象有什么关系?它是轴对称 图形吗?它的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.
顶点分别是 (1,2)和(1,-2).
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
X=1
x
y 3x 2
y 3x 1
2 2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
0
0 3 5
1
3 0 2
2
12 3 5
3
27 12 14
4
27 29
y 3x 1 2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线y=3x² ,y=3(x1)2有什么关系?它的开口 方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y ax h
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2 (a<0)
（h，0）
（h，0）
直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的 增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的 值随x的增大而减少？
(3)函数y=3(x-1)2的图象
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
X=1 开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
议一义P45 17
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x1)2-2,y=-3x² 和y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² , y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取 哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时， y的值随x值的增大而减小?
?
做一做P44 7
27.2.4《二次函数y=a(x-h)2+h的图象与性质》学案
课堂小结 1.你能说出函数 y＝a（x－h）2＋k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和 顶点坐标吗？试填写下表．
2.本节研究了函数 y＝a（x－h）2＋k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象及其性质，这种形式 叫做二次函数的顶点式，是我们研究二次函数问题的重要形式。 3.不画图象说出下列函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1） y 2 x
复习导学
1．函数 y
1 1 ( x 1) 2 的图象可以看作是将函数 y x 2 的图象向_____平移_____个单位 2 2
得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）．当 x______时，函数 值 y 随 x 的增大而减小；当 x_____时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x_____时，函数取 得最______值，最______值 y ＝______． 2．函数 y
2
系． 2．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数 y a( x k ) 2 h 的性质．
重点、难点
重点：理解 y a( x k ) 2 及 y a( x k ) 2 h 类型函数的图象特点和性质． 难点：灵活运用 y a( x k ) 2 及 y a( x k ) 2 h 类型函数的图象特点和性质去解决问 题．
2
做一做： （1） 画出函数 y 2( x 1) 2 的图象，并将它与函数 y 2( x 1)
2 2
的图象作比较．
2
函数 y 2( x 1) 2 2 的图象是由函数 y 2( x 1) 2 的图象向_____平移_____个单位 得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． 当 x______时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_____时，函数值 y 随 x 的增大而增 大；当 x_____时，函数取得最______值，最______值 y ＝______． （2） 试说出函数 y
二次函数y=a(x-h)2图像与性质
3、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2
与 y 3(x 2)2 之间的关系吗?
4、已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、
同；函数y＝ 1 (x一2)2的图象可以看作是函数
y＝
1 2
2
x2的图象向右平移2个单位得到的，它
的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)。
1 2、1 你(x＋能2由)2的函图数象y与＝性2质x吗2的? 图象与性质，得到函数y＝
2
问题小结
一般地,由y=ax²的图象通过平移便 可得到二次函数y=a(x-h)²的图 象:y=a(x-h)²(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象沿x轴整体向左(右)平 移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移)。
探究二
探究二次函数y=a(x-h)² 的性质。
y=a(x-h)²
a>o
a<o
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下
直线x=h （h，0）
增减性
当x>h时，y随x增大而增 大；当x<h时，y随x增大 而减小
当x>h时，y随x增大而 减小；当x<h时，y随x 增大而增大
最值
最小值0
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x 增大而增大。
⑤当a>0时，有最小值0；当a<0时，有最大值0.
人教版数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1） 【学习目标】1．会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2．通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3．经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与2(1)(0)y a x t k a =-+≠之间的相互关系 1．顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2．一般式化成顶点式 22222()()()22b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤=++=++=++-+⎢⎥⎣⎦224()24b ac b a x a a-=++．对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 特别说明：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法 1．一般方法：列表、描点、连线； 2．简易画法：五点定形法． 其步骤为：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．（2）求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 特别说明：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象与性质2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2b x a =-时，244ac b y a-=．特别说明：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x2时，22y bx c ++；当x ＝x1时，211y ax bx c =++，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x1时，2max 11y ax bx c =++；当x ＝x2时，2min 22y ax bx c =++，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x1，x ＝x2，2bx a=-时y 值的情况． 特别说明： 【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠化为顶点式1．已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 举一反三： 【变式1】2．用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【变式2】3．已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【变式3】4．已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点A （0，4）和B （1，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）设抛物线的顶点为C ，试求∴CAO 的面积． 类型二、画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象5．已知：二次函数243y x x =++ （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）在所提供的网格中画出该函数的草图．举一反三： 【变式1】6．已知二次函数y =﹣x 2+4x ．（1）写出二次函数y =﹣x 2+4x 图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）； （3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围． 【变式2】7．已知二次函数y ＝12x 2﹣x ﹣32． （1）在平面直角坐标系内，画出该二次函数的图象； （2）根据图象写出：①当x 时，y ＞0； ②当0＜x ＜4时，y 的取值范围为 ．【变式3】8．已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠． （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；（3）设点()1,P m y ，()23,Q y 在抛物线上，若12y y <，求m 的取值范围． 类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的性质9．把抛物线21:23C y x x =++先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线2C 的函数关系式；（2）动点(),6P a -能否在拋物线2C 上？请说明理由；（3）若点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且0m n <<，比较12,y y 的大小，并说明理由． 举一反三： 【变式1】10．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【变式2】11．如图，已知抛物线y=x 2-2x -3与x 轴交于A 、B 两点．（1）当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）点P 为抛物线上一点，若S △PAB =10，求出此时点P 的坐标．【变式3】12．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型四、二次函数的图象及各项的系数13．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．（1）m的值为________；（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．举一反三：【变式1】14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：∴abc＞0；∴a﹣b+c＜0；∴2a+b﹣c＜0；∴4a+2b+c＞0，∴若点（﹣23，y1）和（73，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）类型五、一次函数、二次函数图象的综合判断15．如图，已知直线y=-2x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m 的值； （2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是x 轴上一点，当∴ABP 为直角三角形时直接写出点P 的坐标． 举一反三： 【变式1】16．已知二次函数()2229y mx m x m =++++．()1如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；()2如图，二次函数的图象过，点()4,0A ，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．【变式2】17．如图所示，已知直线y=12-x 与抛物线y=2164x -+交于A 、B 两点，点C 是抛物线的顶点．(1)求出点A 、B 的坐标； (2)求出∴ABC 的面积；(3)在AB 段的抛物线上是否存在一点P ，使得∴ABP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++（2）（1，4）【详解】解：（1）∴抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）， ∴抛物线的解析式为；()()y x 3x 1=--+，即2y x 2x 3=-++， （2）∴抛物线的解析式为()22y x 2x 3x 14=-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．（1）根据抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式．（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．2．抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)． 【分析】用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵y ＝12x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可； （2）利用描点法画出二次函数图象即可．【详解】解：()21y x 4x 3=-+=222x 4x 223-+-+ =2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0， ∴其图象为：故答案为（1）2(x 2)1--；（2）见解析.【点睛】本题考查二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解题的关键．4．（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）∴CAO 的面积为2．【分析】（1）利用待定系数法把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式即可； （2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C 的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO 的面积． 【详解】解：（1）把A （0，4）和B （1，﹣2）代入y ＝﹣2x 2+bx +c ，得：24212c b c =⎧⎨-⨯++=-⎩，解得：44b c =-⎧⎨=⎩， 所以此抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x +4； （2）∴y ＝﹣2x 2﹣4x +4 ＝﹣2（x 2+2x ）+4 ＝﹣2[（x +1）2﹣1]+4 ＝﹣2（x +1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）； （3）由（2）知：顶点C （﹣1，6）， ∴点A （0，4），∴OA ＝4， ∴S △CAO ＝12OA •|xc |＝12×4×1＝2，即△CAO 的面积为2．故答案为（1）y ＝﹣2x 2﹣4x +4；（2）对称轴为直线x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）△CAO 的面积为2．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． 5．（1） (－2，－1)；（2）见解析【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）利用五点法画二次函数的图象即可．【详解】（1）243y x x =++化为顶点式为2(2)1y x =+- 则该函数图象的顶点坐标为(2,1)--；（2）先求出自变量x 在4,3,2,1,0----处的函数值，再列出表格 当4x =-和0x =时，3y =当3x =-和=1x -时，2(1)4(1)30y =-+⨯-+= 当2x =-时，1y =- 列出表格如下：由此画出该函数的草图如下：【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．6．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【详解】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．7．（1）见解析；（2）①x＜﹣1或x＞3；②﹣2≤y＜52．【分析】（1）先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（1，2）；再分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（2）∴利用函数图象写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；∴先确定x＝4时，y＝52，然后利用函数图象写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围．【详解】解：（1）∴y＝12（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）；当x＝0时，y＝12x2﹣x﹣32＝﹣32，则抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣32）当y ＝0时，12 x 2﹣x ﹣32＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）， 如图，（2）∴当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0； ∴当0＜x ＜4时，﹣2≤y ＜52；故答案为x ＜﹣1或x ＞3；﹣2≤y ＜52．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．8．（1）1x =；（2）233322y x x =-+或221y x x =-+-；（3）当a ＞0时，13m -<<；当a ＜0时，1m <-或3m >．【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到a 的值，进而得到其解析式；（3）根据抛物线的对称性求得点Q 关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到m 的取值范围．【详解】（1）∴22232y ax ax a =--+， ∴22(1)32y a x a a =---+， ∴其对称轴为：1x =．（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：2(1,23)a a --，∴抛物线顶点在x 轴上， ∴2230a a --=， 解得：32a =或1a =-， 当32a =时，其解析式为：233322y x x =-+， 当1a =-时，其解析式为：221y x x =-+-， 综上，二次函数解析式为：233322y x x =-+或221y x x =-+-． （3）由（1）知，抛物线的对称轴为1x =， ∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -， 当a ＞0时，若12y y <， 则-1＜m ＜3；当a ＜0时，若12y y <， 则m ＜-1或m ＞3.【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．9．（1）2(3)3y x =--；（2）不在，见解析；（3）12y y >，见解析【分析】（1）先求出抛物线1C 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；（2）根据抛物线2C 的顶点的纵坐标为3-，即可判断点()6P a -，不在拋物线2C 上； （3）根据抛物线2C 的增减性质即可解答．【详解】（1）抛物线221:23(1)2C y x x x =++=++，∴抛物线1C 的顶点坐标为(﹣1，2)，根据题意，抛物线2C 的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，﹣3)， ∴抛物线2C 的函数关系式为：2(3)3y x =--； （2）动点P 不在抛物线2C 上． 理由如下：∴抛物线2C 的顶点为()3,3-，开口向上， ∴抛物线2C 的最低点的纵坐标为3-． ∴63P y =-<-，∴动点P 不在抛物线2C 上； （3）12y y >． 理由如下：由（1）知抛物线2C 的对称轴是3x =，且开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小． ∴点()()12,,,A m y B n y 都在抛物线2C 上，且03m n <<<， ∴12y y >．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∴2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭；（3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∴一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∴3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 11．(1) ﹣4≤y ＜0;(2) P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）【详解】分析：(1)、首先将抛物线配成顶点式，然后根据x 的取值范围，从而得出y 的取值范围；(2)、根据题意得出AB 的长度，然后根据面积求出点P 的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P 的坐标．详解：（1）∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4），由图可得当0＜x ＜3时，﹣4≤y ＜0． （2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0， 解得：x 1=-1 x 2=3 ∴A （﹣1，0）、B （3，0）， ∴AB=4．设P （x ，y ），则S △PAB =AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ∴当y=5时，x 2﹣2x ﹣3=5，解得：x 1=﹣2，x 2=4， 此时P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ∴当y=﹣5时，x 2﹣2x ﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P 点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质，属于基础题型．求函数值取值范围时，一定要注意自变量的取值范围是否是在对称轴的一边．12．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号； （2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系； （3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0． 【详解】()1∵抛物线开口向下， ∴0a <， ∵对称轴12bx a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.13．（1）3；（2）x ＞1；（3）-1＜x ＜3；（4）-5≤y ≤4 【分析】根据函数的图象和性质即可求解．【详解】解：（1）将（0，3）代入y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x +m 得，3＝m ， 故答案为3；（2）m ＝3时，抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， 函数的对称轴为直线x ＝2ba-＝1， ∴﹣1＜0，故抛物线开口向下，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小， 故答案为x ＞1；（3）令y ＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或3， 从图象看，当﹣1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方； 故答案为﹣1＜x ＜3；（4）当x ＝0时，y ＝3；当x ＝4时，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣5， 而抛物线的顶点坐标为（1，4），故当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是﹣5≤y ≤4， 故答案为﹣5≤y ≤4．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键． 14．∴∴∴【详解】解：∴抛物线开口向下， ∴a ＜0，∴对称轴在y 轴右边， ∴b ＞0，∴抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故∴错误；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b +c ＜0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，c ＞0， ∴2b a-=1， ∴2a +b =0，∴2a +b ＜c ，∴2a +b ﹣c ＜0，故∴正确；∴二次函数y =ax 2+bx +c 图象可知，当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，故∴正确；∴二次函数图象的对称轴是直线x =1，∴抛物线上x =23-时的点与当x =83时的点对称， ∴x ＞1，y 随x 的增大而减小，∴y 1＜y 2，故∴错误；故答案为∴∴∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：∴二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；∴一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）∴常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．15．（1）m ＝6；（2）y ＝﹣x 2+2x +3；（3）点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【分析】（1）将点A 坐标代入y=-2x+m ，即可求解；（2）y=-2x+6，令y=0，则x=3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y=a （x -1）2+4，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（3）分∴BAP=90°、∴AP （P′）B=90°两种情况，求解即可．【详解】解：（1）将点A 坐标代入y ＝﹣2x+m 得：4＝﹣2+m ，解得：m ＝6；（2）y ＝﹣2x+6，令y ＝0，则x ＝3，故点B （3，0），则二次函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）2+4，将点B 的坐标代入上式得：0＝a （3﹣1）2+4，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+4＝﹣x 2+2x+3；（3）∴当∴BAP ＝90°时，直线AB 的表达式为：y ＝﹣2x+6，则直线PB 的表达式中的k 值为12，设直线PB 的表达式为：y ＝12x+b ，将点A 的坐标代入上式得：4＝12×1+b ， 解得：b ＝72， 即直线PB 的表达式为：y ＝12x+72， 当y ＝0时，x ＝﹣7，即点P （7，0）；∴当∴AP （P′）B ＝90°时，点P′（1，0）；故点P 的坐标为（7，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．16．（1）45m <且0m ≠；（2）P 点坐标为()1,6． 【分析】解：（1）根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>；（2）先求二次函数的解析式，再求抛物线的对称轴，用待定系数法求直线AB 的解析式，再求AB 与对称轴的交点P.【详解】解：()1根据题意得0m ≠且()24(2)490m m m =+-⋅+>， 所以45m <且0m ≠； ()2把()4,0A 代入()2229y mx m x m =++++得()168290m m m ++++=，解得1m =-，所以抛物线解析式为2228(1)9y x x x =-++=--+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，当0x =时，2288y x x =-++=，则()0,8B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把()4,0A ，()0,8B 代入得{408k b b +==，解得{28k b =-=，所以直线AB 的解析式为28y x =-+，当1x =时，286y x =-+=，所以P 点坐标为()1,6．【点睛】本题考核知识点：二次函数与一次函数. 解题关键点：理解二次函数图象的交点问题.17．(1)点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)30；(3)当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)． 【分析】（1）由直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点，可得方程211x x 624-=-+，解方程即可求得点A 、B 的坐标；（2）首先由点C 是抛物线的顶点，即可求得点C 的坐标，又由S △ABC =S △OBC +S △OAC 即可求得答案；（3）首先过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，然后设21P a,a 64⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即可求得点D 的坐标，可得PD 的长，又由S △ABP =S △BDP +S △ADP ，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．【详解】解：(1)∴直线1y x 2=-与抛物线21y x 64=-+交于A 、B 两点， ∴211x x 624-=-+， 解得：x ＝6或x ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝﹣3，当x ＝﹣4时，y ＝2，∴点A 、B 的坐标分别为：(6，﹣3)，(﹣4，2)；(2)∴点C 是抛物线的顶点．∴点C 的坐标为(0，6)，∴S △ABC ＝S △OBC +S △OAC ＝12×6×4+12×6×6＝30；(3)存在．过点P 作PD∴OC ，交AB 于D ，设P(a ，﹣14a 2+6)， 则D(a ，﹣12a)， ∴PD ＝﹣14a 2+6+12a ， ∴S △ABP ＝S △BDP +S △ADP ＝12×(﹣14a 2+6+12a)×(a+4)+12×(﹣14a 2+6+12a)×(6﹣a)＝25125(a 1)44--+ (﹣4＜a ＜6)， ∴当a ＝1时，∴ABP 的面积最大，此时点P 的坐标为(1，234)．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积的求解以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课件
知
识 点
二次函数 y a(x h)2 的图象；
一
三、研读课文
探究 在同一直角坐标系中，画出函
数，y
1x
2
12
，y
1 2
x
12
的图象，并分别指出他们的开口方向、
对称轴和顶点.
三、研读课文 解：（1）列表
-3 -2 -1 1 2 3
-2
1 2
0
1 2
-2
9 2
-8
开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
知识点二 二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2 与抛物线
y 1 x 1，2 y 1 x 212 有什么关系？
2
2
分y 析：1请x2在也知画识上点去一。图上把抛物线 2
知 识
y归（ 1纳）1：抛x 物12 线的形y 状为12 开x 口12向、y
二次函数 y a(x h)2 的图像和性质
一、学习目标 引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件 课件制作：苏志朝
1、会画二次函数 y a(x h)2的图象； 2、掌握二次函数 y a(x h)2的性质；
3、比较函数 y ax2 与 y a(x h)2
的联系.
二、新课引入 1、填表：
（2）对称轴是直线 x = h
；
（3）顶点坐标是 ( h , 0 )
.
2、抛物线 y a(x h)2 与 y ax2 形状相同，位置不同，y a(x h)2 是由 y ax2 ____左__右____平移得到的. （填“上下”或“左右”）
1、抛物线 y 2(x 3)2 的开口_向__上__；
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(教案)
一、教学内容
22.1.2第4节二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质
1.二次函数y=a(x-h)^2的图象特点
- a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下
- h为抛物线的对称轴，即x=h
-抛物线顶点为(h, 0)
2.二次函数y=a(x-h)^2的性质
（2）强调对称轴（x=h）和顶点（(h, k)）的概念，解释它们与函数最值、单调性的关系，并通过具体例子进行说明。
（3）详细讲解图象的平移变换，使学生掌握左加右减、上加下减的变换规律，并能运用到具体问题中。
（4）结合实际情境，如物体抛掷、经济模型等，展示二次函数的应用，强调数学知识在实际问题中的运用。
1.提供更多具有代表性的案例，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.加强对学生的引导和启发，提高他们在解决问题时的独立思考能力。
3.优化问题设计，使学生在讨论过程中能够更加聚焦主题。
4.针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的辅导和答疑。
2.掌握二次函数图象变换方法，提高学生数学建模、数学运算的能力。
-通过图象变换，培养学生建立数学模型，解决实际问题的能力。
-在变换过程中，锻炼学生准确进行数学运算，提高解题效率。
3.培养学生运用二次函数知识解决实际问题的意识，提升数学应用、数据分析的核心素养。
-结合实例分析，引导学生运用所学知识解决生活中与二次函数相关的问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》学问点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质y=a(x-h)2x=h0）y 随x 的增大而减小最小值y =0a ＜0向下直线x=h（h ，0）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =0 ④y=a(x-h)2+ka ＞0向上直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即最小值y =k a ＜0向下直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k ⑤ y=ax 2+b x+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0向上直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =ab ac 442-a ＜0向下直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要驾驭了顶点是如何平移的，就驾驭了二次函数图像间的平移. 四.二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五．二次函数解析式的三种表示方法但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a【a确定抛物线的开口方向，|a|确定抛物线开口的大小】⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大．注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大抛物线的形态一样，即|a|一样.2.一次项系数b【由a和对称轴共同确定】对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线及y轴的交点在x轴上方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线及y轴的交点为坐标原点，即抛物线及y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线及y轴的交点在x轴下方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c确定了抛物线及y轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）及x轴交点状况的推断：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）1.△=b²-4ac＞0⇔抛物线及x轴有两个交点2.△=b²-4ac=0⇔抛物线及x轴有一个交点3.△=b²-4ac＜0⇔抛物线及x轴没有交点①当0y>；a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0②当0y<．a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0八.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象及x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进展推断）.2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用☆☆二次函数抛物线简洁的图形变换☆☆（1）顶点式【ky+=2)(（a≠0）】-hxa（2）一般式【c+=2（a≠0）】y+bxax①平移：如将二次函数c=2向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n+bxaxy+＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a -+-+--=-+-+-=222)2()()(y ②对称注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再依据须要进展求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A.22(1)y x =-+B.22(1)y x =--C.221y x =-+D.221y x =-- 3.函数2y kx k =-和在同始终角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),及y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，假如y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且及y 轴的交点为(0,52-).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内改变时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式 （0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-及坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线及x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
§2-4 二次函数y=ax2+bx+c的图象(1)y=a(x-h)2和y=a(x+h)2+k的图象和性质
驶向胜利 的彼岸
在同一坐标系中作出函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?
x
y 3x 2
y 3x 1
2 2
-4
-3
27
-2
12 27 29
-1
3 12 14
0
0 3 5
1
1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y y ax
X=h
2
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y a x h
2
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).
与y=3x2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x
2
y 3x 1
2
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
对称轴仍是平行于y轴的直 开口向上,当 2类似. 线(x=1);增减性与y=3（x-1） X=1时有最小 值:且最小值=2. 顶点是(1,2).
32.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(一)
问题1：二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象有何关系？ 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到（或向下平移|k|个单位长度得到）. 思考：二次函数y =a﹙x-h﹚² 的图象和性质. 二次函数y =a﹙x-h﹚² 的图象与二次函数y=ax2的图象有何关系？
直线x=-1
直线x=0 直线x=1
想一想
1 2 1 2 1 2 y x 1 y x 1 y x 有什么关系？ 抛物线 ， 与抛物线 2 2 2
y
-4
-2 -2 -4 -6O2Fra bibliotek4 x
1 2 y x 1 2
向左平移
1个单位
1 2 y x 2
向右平移
1个单位
1 2 y x 1 2
知识梳理
二次函数y=a（x-h）2 的图象和性质
二次函数y=a（x-h）2 的图象是抛物线 a＞0时，开口 a＜0时，开口 对称轴是 顶点坐标是 向上 , 最 ____ 低 点是顶点; 向下 , 最 ____ 高 点是顶点; ， .
直线x = h ( h,0 )
-4.5 y O
0 1 2 1 2
1
2
3
· · · · · · · · ·
-2 0
-4.5
1 2
-8 -2
-4
-2 -2 -4 -6
4 x
y -4 -2 -2 -4 -6 抛物线 开口方向 向下 向下 向下
O
2
4 x
对称轴
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0 )