【勾股定理】教师讲义
勾股定理讲义
第十八章 勾股定理18.1 勾股定理知识点1 勾股定理的内容定理:果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.解读:(1)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意区分直角边和斜边.(3)勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系.(4)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦(如图所示) 即:222+勾股＝弦(5)应用:②已知直角三角形的两边,求第三边;③已知直角三角形的一边,确定另两边的关系;③已知直角三角形的一边与另两边的关系,求另两边;④推导线段之间的平方关系.知识点2 验证勾股定理方法:勾股定理的验证方法多达上百种,而且很多巧妙的验证方法令人赞叹不已,但大多数采用拼图的方法.善于变换角度看问题,是这种方法验证勾股定理的技巧.解读:用拼图的方法验证勾股定理的思路是:(1)图形经过制补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变.(2)根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理.(3)运用:如图①所示,24,S S S ==+大正方形三角形小正方形边长即221()4.2a b ab c +=⨯+ 化简,得222.a b c +=如图②所示,24S S S +大正方形三角形小正方形＝边长＝，即2214().2c ab b a =⨯+- 化简,得222a b c +=一、选择题1.若某等腰直角三角形的斜边长为12c m,则它的面积是( )A.48c m 2B.72c m 2C.24c m 2D.36c m 22.如图所示,在△ABC 中,若∠C =90,∠B =45,则a :b :c =( )A.1:1:2B.1:1:2C.1:2:1D.1:2:13.在Rt △ABC 中,斜边AB=1,则AB 2+BC 2+AC 2的值是( )A.2B.4C.6D.84.若一个直角三角形的两边长分别为6和8.则下列说法正确的是( )A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为105.如图所示是一段楼梯,高BC 是3m,斜边AB 是5m,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要( )A.5mB.6mC.7mD.8m6.如图所示,若∠C =90,AC =12,BC =5,AM =AC ,BN =BC ,则MN 的长是( )A.2B.2.6C.3D.47.如图所示,分别以Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆,设斜边AB 左边阴影部分的面积为S 1,右边阴影部分的面积和为S 2,则( )A.S 1=S 2B.S 1<S 2C.S 1>S 2D.无法确定8.在△ABC 中,∠A =90,则下列各式中不成立的是( )A.222BC AB AC =+B.222AB AC BC =+ C.22AB BC AC -- D.222AC BC AB =- 9.如图所示,三个正方形中有两个的面积分别为S 1=169,S 2=144,则S 3等于( )A.50B.25C.100D.3010.如图所示,强台风“麦莎”过后,一棵大树在离地面3.6米处折断倒下,倒下部分与地面的接舢点离树的底部为4.8米,则该树的原高度为( )A.6米B.8.4米C.6.8米D.9.6米11.在某直角三角形中,若它的斜边长为5 m,周长为12 m,则它的面积是( )A.12m 2B.6m 2C.8m 2D.9m 212.若△ABC 中,12::::1,33A B C ∠∠∠=那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形13.已知一个直角三角形,两条直角边分别为3和4.则下列说法正确的是( )A.斜边为25B.三角形的周长为24C.斜边为5D.三角形的面积为2014.在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的面积为( )A.84B.24C.24或84D.30或3515.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,且c +a =2b ,,2b c a -=则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形16.若一个直角三角形的边长是三个连续自然数,那么这三边的长为( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,617.若∠XOY =45°,在角的内部有一点P ,它关于OX 、OY 的对称点分别为M 、N ,那么△MON 一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形18.在某直角三角形中,若它的斜边上的中线是2.5cm,周长是l2cm,则其面积为 ( )A.12cm 2B.6cm 2C.8cm 2D.10cm 219.若小明同学先向北行进4千米,然后向东行进4千米,再向北行进2千米,最后又向东行进4千米,此时小明离出发点( )A.6千米B.8千米C.10千米D.12千米20.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm,BC =8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( )A.2 cmB.3cmC.4 cmD.5cm二、填空题1.如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积是________cm2.2.如图所示,在四边形ABCD 中,∠B=∠ACD =90°,BC =6,AB =8,AD =26,则△ACD的面积是_________.3.如图所示,台风将旗杆在B 处折断,使杆顶落在距离杆底8米处的A 点.已知旗杆总长16米,问:旗杆是在距底部_________米处折断的.4.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8cm,BC=10cm,则EC=__________cm.5.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2.6.在△ABC中,若AB=3,BC=4,第三边AC的长_________求出.(填“能”或“不能”)7.如图所示是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图.小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为__________m.(结果保留根号)8.在Rt△ABC中,∠C=90°,回答下列问题:(1)若a=12,b=16,则c=______;(2)若a=12,c=13,则b=_______;(3)若a:b=3:4,c=10,则a=______.9.看图求出未知边.(1)a=________.a=_______,b=________.10.已知直角三角形ABC中,两直角边AB、BC分别长6cm、8cm,则斜边AC上的高为_______cm.11.如图所示,则阴影部分的面积:____________.(阴影部分为正方形)12.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,接如图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.13.等腰三角形底边上的高是8,周长是32,则三角形的面积为________.14.某生态环境调查小组的甲组同学从学校出发,以15km/h的速度向东南方向前进;同时乙组同学也由学校出发,以20km/h的速度向东北方向前进,经过2h,两组各自到达目的地A、B,则A、B两地间相距________km.15.在△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为60cm,BC:CA=5:12,则BC=______cm,CA==_______cm,AB=_______cm.16.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若AB=17,BC=16,那么AD=______.17.已知三角形三内角度数之比为1:2:3,它的最大边长为6cm,则最小边长为______.18.在△ABC中,∠C=90°AB=13,BC=5,则AC=________.19.直角三角形的两条直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为_______cm.20.如图所示,阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积是100cm2,则a的长为______cm.21.若直角三角形两直角边之比为3:4,且斜边的长为20cm,则斜边上的高为________.三、解答题1.(1)如图①所示,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,试证明S1=S2+S3.(2)加固②所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(3)如图③所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.2.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为点N,试说明AN2-BN2=AC2.3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,AB=5.求AD的长.4.(1)如图①所示,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,求AB的长.(2)如图②所示,在Rt△ABC中,AB=25,AC=20,求BC的长.5.一场台风过后,一棵小树被从距地面1.5 m处折断,树头距树的根部2m,你能判断出这棵小树原来有多高吗？6.在一次缉毒行动中,我省警方获得可靠消息:一辆运毒车将路经5号公路,但由于车上装有爆炸装置,督员无法靠近,只能利用远程射击的办法,为了减少伤亡,警方选中一距离公路120m的隐蔽处P点,射程为200m,准备行动,此时,运毒车与P点的水平距离为300m(如图所示),那么警方可在运毒车再前进多少米之后对其进行射击？7.如图所示,有一个长方形的场院ABCD,其中AB=9m,AD=12m,在点B处竖直立着一根电线杆,在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？8.如图所示,在树CD上10m高的B处有两只松鼠,其中一只松鼠爬到C点后又爬到离树20m的池塘A处,另一只松鼠爬到树顶后直接跃向池塘A处,若两只松鼠所经过的距离相等,试问这棵树有多高？(DA间实为抛物线,现假设为直线)9.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,请在所给网格中按下列要求画图形.(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.10.现有四块直角边为a、b,斜边为c的直角三角形的纸板,请你从中取出若干块拼图,说明勾股定理(需要画出所拼的图形).11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,∠DAC=90°,求BD.12.某住宅小区的形状是直角三角形,如图所示,直角边AC、BC的长度分别为600m、800m,DE为小区的大门,大门宽5m,小区的周边用冬青围成了绿化带,问绿化带有多长？13.如图所示,一逃犯从A地正北6km的B地乘车向B地正东8km的C地逃跑,我公安干警在A地闻讯,同时从A地沿直路直接向C地追击.若逃犯速度为80km/h,我公安干警的速度为多少时,恰好在C地将逃犯截住？14.如图所示,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A点多千米处？15.如图所示,某人在B处通过平面镄看见在B正上方3m处的A物体已知物体A到平面镜的距离为2m,问B点到物体A的像A'的距离是多少？(注:A'O=AO)16.为了测量一个球的直径,今有若干根木棒可供使用,通过实验发现,若将球放在桌面上,再将一根长6cm的木棒垂直桌面而立(如图所示).某一时刻,在斜阳的照射下,球与木棒的影长都是8cm,求球的直径.17.为了预防禽流感,张大爷想把自家的鸡用栅栏圈起来,已知栅栏为矩形,且其面积为48m2,对角线长为10m,那么张大爷家的鸡栅栏的周长为多少？18.如图所示,美伊战争期间,美军运输车队计划沿由东向西延伸的L公路向巴格达前线供应军用物资,一支先头小分队奉总部之命沿公路侦察敌情,当行至A地时,测得一伊军炮兵阵地P的方位是北偏西30°,行至B地时测得P地方位是北偏东30°,继续前进到C地,测得P 地方位是北偏东60°,在C地俘虏一名伊军士兵,得知C、B两地之间的距离不会超过10千米,并获得可靠情报:P地伊方炮火的射程半径是9千米.根据以上数据,请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性.19.如图所示,已知∠BAC,AB=3,AC=4.若∠A是不断变化的角,问:(1)当∠A为锐角时,BC的取值情况;(2)当∠A为直角时,BC的取值情况;(3)当∠A为钝角时,BC的取值情况;(4)当∠A变为平角时,BC的取值情况.20.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试确定重叠部分△AEF的面积.21.图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图②是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼另一种能证明勾股定埋的图形吗？请画出拼后的示意图.(无需证明)22.如图所示,两个村子A、B在河CD的同侧,A、B两村到河边的距离分别为AC=1km,BD ＝3km,又CD=3km.现需在河边CD上建造一水厂向A、B两村送水,铺设水管的工程费用约为每千米20 000元,请在河边CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出,铺设水管的费用,假如你是工程师,帮助A、B两村设计一下好吗？。
《勾股定理》教师讲义
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理讲义
勾股定理 复习讲义【知识回顾】1.基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等c ba HGF EDC B Abacb ac ca bc ab ab cc baED C B A８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理的讲义
勾股定理一：勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的值.练习：1.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为_______例题：1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M 的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．练习：1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____二：勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.例题：1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？练习：1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______例题：1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．练习：1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B 在围成的正方体上的距离是____三：勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 例题：1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出 （1）当a=19时，求b 、c 的值； （2）当a=2n+1时，求b 、c 的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 练习：1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=412.下列各组数是勾股数的是（ ） A. 13，14，15 B. 1，√2，√3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 5，12，13例题：1.如图，在四边形ABCD 中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD 的度数.练习：1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a ﹣b ）2+|a 2+b 2﹣c 2|=0，则△ABC 是 三角形2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定综合练习：1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是___________.3.如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到B点的最短爬行距离是________ cm.4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．7.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=√5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD 的面积．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A点沿外表面爬行到B点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明；（2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.。
05.勾股定理讲义
勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b，，斜边长为c，那么222a b c+=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b=-，222b c a=-，()222c a b ab=+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.知识点方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c ，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．类型二、勾股定理的证明例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段例3、作长为、、的线段.类型四、利用勾股定理解决实际问题例4、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）6A．3 B．4 C．5 D．课后练习一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．无法确定3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算 二.填空题 7.在直角坐标系中，点P （－2，3）到原点的距离是_______．8.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 _________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。
《勾股定理》讲义
一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：2、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：该定理在应用时，要注意如下几个要点：①已知的条件：三角形的三条边长度.②满足的条件：（最大边）2=（最小边）2+（中间边）2.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是 。
二、 知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积例1：求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法【强化练习】1、（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 。
2、已知Rt △ABC 三边的长分别是x ，x+1和5，则△ABC 的周长= ，面积= 。
考点二：应用勾股定理求边长例2：如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC=5，BC=12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD 为？考点三、利用列方程求线段的长（方程思想）例3：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
【强化练习】 如图，四边形ABCD 中，DC//AB ，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（ ）A 、14B 、15C 、23D 、32考点四：勾股定理在几何图形中的应用例4、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt △ABC中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
初二数学勾股定理讲义
初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2c22+ba=勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2+（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222+=a c b+= B.222a b cC.222+= D.以上都有可能c b a（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m B、362c m C、482（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。
勾股定理专题讲义
勾股定理二、核心纲要 1. 勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.注：⑴如图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.⑵勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形. ⑶为方便应用勾股定理进行计算，常将a2+b 2=c 2进行如下变形：①a 2 =c 2-b 2；②b 2=c 2-a 2；③a b ；⑤c ⑷勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形边； ③证明三角形中的某些线段的平方关系； 的线段.2. 勾股定理的证明勾股定理的证明实际采用的图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想.⑴证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b （b ＞a ），斜边为c ，中间是正方形，且边长为b —a .∵以c 为边的大正方形的面积为c 2，而4个直角三角形的面积和为142ab ⨯，中间的小正方形的面积为（b -a ）2， ∴c 2=214()2ab b a ⨯+-.即a 2+b 2=c 2.AB CDEFG Hb ac勾弦 股⑵证法二：邹元治的证明如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c .∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =2142ab c ⨯+=2ab +c 2，，大正方形面积S =（a +b ）2，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. ∴（a +b ）2=2ab +c 2. ∴a 2+b 2=c 2.⑶证法三：1876年美国总统伽菲尔德（Garfield ）的证明如图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形.∵S 梯形=211()()()22a b b a a b +⋅-=+， S 梯形=2S △ADE +S △DEC =221112222ab c ab c ⨯+=+，∴2211()22a b ab c +=+. ∴a 2+b 2=c 2. ⑷证法四：陈杰的证明如图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S . ∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab . ∴a 2+b 2 =c 2.GD ABCEF Lb a a bc cABCa ab bE A B CD HE FG a b a b a b abc cc c⑸证法五：火柴盒拼图如图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ＇C ＇D ＇的位置，连接C ＇C ，可得到直角梯形B C C ＇D ＇和等腰直角三角形C ＇AC ，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，利用梯形B C C´D´的面积即可证明勾股定理.∵S 梯形B C C ＇D ＇=21()()22a b BC C D BD +'''+⋅=，S 梯形B C C ＇D ＇=S △ABC +S △CAC ＇+S △D ＇AC ＇=2211122222c abab c ab +++=，∴22()222a b c ab++=， ∴a 2+b 2 =c 2.说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德总统证法.勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考. 3.直角三角形斜边上的高求法 如图所示，ab =ch =>ab h c=.4.数学思想本节涉及到的常用数学思想有： ⑴方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而几何问题代数化.⑵分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论. ⑶数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.⑷转化思想：有些问题如果直接解决难以入手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清楚，更简单.⑸类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处.cbah A B ＇DC ＇D ＇c ab图17-1-430°ACBA6410图17-1-2EADCB图17-1-5本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想.三、全能突破基础演练1.如图17-1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. A.2 B.3 C.4 D.52.一艘轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后他们相距（）. A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.32海里3.若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.125cm 4.三个正方形的面积如图17-1-2所示，则正方形A 的面积为______.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a +c =32，a :c =3:5，则△ABC 的面积为______.6.图17-1-3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm.7.某楼梯的侧面视图如图17-1-4所示，其中AB =4米，∠BAC =30°，∠C =90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______米. 8.如图17-1-5所示，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄.DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少千米处？能力提升图17-1-3图17-1-19.如图17-1-6所示，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么，梯子与地面和墙围成的的三角形的面积（） A.不变 B.大于24m 2 C.小于24m 2 D.不确定10.在△ABC 中，AB =20，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（）. A.54 B.44 C.54或44 D.42或3211.如图17-1-7所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，正放置的四个正方形的面积为从左到右依次是1.21，1，1.44，1.69，则S 1+S 2+S 3=（）.12如图17-1-8所示，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）13.以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为25cm 2和12cm 2，则第三个正方形的面积是______. 14.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，CA =8cm ，动点P 从C 出发，以每秒2cm 的速度沿CA →AB 运动到点B ，则从点C 出发______秒时，可使S △BCP =13S △ABC . 15.⑴已知Rt △ABC的周长为2AB =2，则这个三角形的面积为______.⑵已知，如图17-1-9所示，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC =______.16.图17-1-10中的螺旋形有一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、图17-1-9CBD CBA图17-1-8S 1S 2S 3图17-1-7图17-1-6⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为______.17.如图17-1-11所示，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求四边形ABCD 的面积.18.如果把勾股定理的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.⑴如图17-1-12（a ）所示，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？并说明理由.⑵如图17-1-12（b ）所示，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？⑶如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，如图17-1-12（c ）所示，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由.（此阴影面积在数学史上称为“希波克拉底月牙”）图17-1-13(a)FS 1 S 3S 2EACB Dc a bS 1 S 2S 3bACBc a (b)(c)S 2 S 1 S 3 AC B cba 图17-1-11ACBD①②③ ④ ⑤11 …图17-1-10图17-1-1419.图17-1-13所示是一块长、宽、高分别为3cm 、4cm 、6cm 的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）.⑴求长方体底面的对角线长；⑵若揭开盖子EFGH 后，插入一根长为10cm 的细木棍，则细木棍露在外面的最短长度是多少？⑶在A 处有一蚂蚁，在G 处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A 沿表面爬行到G ，求蚂蚁爬行的最短路径长.⑷若蜂蜜在点M 处，且距离F 为1cm ，蚂蚁从A 沿表面爬行到M ，求蚂蚁爬行的最短路径长.（直接写出结果）20.如图17-1-14所示，在平面直角坐标系中，△ABC 满足：∠C =90°，AC =2，BC =1，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始沿x 轴的正半轴运动，点C 沿y 轴的正半轴运动.⑴当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑵当OA =OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .21.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图17-1-15（a ）所示，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2.若△ABC 不是直角三角形，如图17-1-15（b ）和图17-1-15（c ）所示，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.中考链接（a ） （b ） 图17-1-15ACBABCABC（c ）CH EF G A D3 64 图17-1-13· MACB22.（2012·山东青岛）如图17-1-16所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.23.（2012·陕西）如图17-1-17所示，从点A （0，2）发出的一束光，经x 轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径长为______ .24.（2012·山东泰安）如图17-1-18所示，在△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE =∠CBE . ⑴线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由； ⑵求证：BG 2-GE 2=EA 2.巅峰突破25.在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD =______.26.在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上任意一点， ⑴试探究：AB 2-AD 2与BD ·DC 之间的关系.⑵应用上述结论解决问题：在△ABC 中，若AB =AC =1，BC 边上有2012个不同的点P 1、P 2、…、P 2012，记m i =AP i 2+BP i ·P i C (i =1、2、3、…、2012)，则m 1+m 2+…+m 2012=______.(直接写出结果)图17-1-18CABE HG F图蚂蚁AC 蜂蜜 图17-1-16。
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【勾股定理】教师讲义 work Information Technology Company.2020YEAR《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为． 2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．S 3S 2S 14、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A. 222+= C. 222+= D.以上都有可能c b aa c ba b c+= B. 2228、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c m D、602c mc m B、36 2c m C、4829、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C、7D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个，则这个三角形一定是（）4、若三角形的三边之比为21::122A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若△ABC的三边长a,b,c满足222+++=++，试判断△ABC的形状。
a b c20012a16b20c8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗2、一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）86BC4、在一棵树10 m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；•另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .考点七1题图6题图 图18-156、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？第5题15328BACB BCE D考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.425B. 322C. 47D. 352、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积DCBAFE5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？6、如图，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．AB CEFD8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。
10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-511、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．考点九1题图 2题图 3题图考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。