勾股定理》教师讲义
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理全章复习与巩固基础教师讲义
中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 八年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课程主题《勾股定理》全章复习与巩固 基础 授课类型T 课本同步 C 专题辅导 T 应用能力提升 授课日期时段 年 月 日 段（ ：00-- ：00）学习目标1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 教学内容【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系： 若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长．解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268100x =+=．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=228x =．所以这个三角形的第三边的平方为100或28．【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用2、已知如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，BC ＝32，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ．∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝EC ＝12BC ＝1322⨯=16． 在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝16，∴ 222222016144AE AB BE =-=-=，∴ AE ＝12，在Rt △ADE 中，设DE ＝x ，则2222144AD AE DE x =+=+，∵ AD ⊥AC ，∴ 222AD AC CD +=，而22214420(16)x x ++=+． 解得：x ＝9．∴ BD ＝BE －DE ＝16－9＝7．3如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°． 在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．4、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ： 2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=, ∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?解：如图②③所示． 因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=． 在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=． 因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为___25___.(π取3)一.选择题 1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m（1）（2） 2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )A.15B.16C.17D.183. 放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min 到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（ ）A ． 600mB ． 800mC ． 1000mD ． 不能确定4. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．6B ．12C ．24D ．30（4）（6） （7） 5．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元7. 如图所示，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A.32cm B.42cm C.62cm D.122cm （8）（9）（11）二.填空题9. 根据下图中的数据，确定A= ，B= ，x= ．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．（12） （14） （16）12．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．13. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．积的和是16214．如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.15. 小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3 千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.（18）（19）（20）19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.21如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中， ∵ AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴ △ABP ≌△CBQ ∴ AP=CQ(2)由PA ：PB ：PC=3：4：5 可设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a连结PQ ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a ，且∠PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a 于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形 一.选择题1.【答案】C ；2.【答案】C ；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.【答案】C 【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m.4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影． 5.【答案】D ；6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ； 【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.【答案】C ；【解析】设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，.二.填空题9.【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．【答案】8； 11．【答案】30；12.【答案】132cm 【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 13.【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．【答案】100； 【解析】依题知AC ＝60cm ，BC ＝80cm ，∴ AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.【答案】能； 【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16.【答案】81； 三.解答题17.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得： ()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为： 21346962x x x ⨯⨯==. 18．解：作A 点关于CD 的对称点A ′，连结A ′B ，与CD 交点为O ．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元. 19．解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-．∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=． ∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =.。
勾股定理讲义
第十八章 勾股定理18.1 勾股定理知识点1 勾股定理的内容定理:果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.解读:(1)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意区分直角边和斜边.(3)勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系.(4)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦(如图所示) 即:222+勾股＝弦(5)应用:②已知直角三角形的两边,求第三边;③已知直角三角形的一边,确定另两边的关系;③已知直角三角形的一边与另两边的关系,求另两边;④推导线段之间的平方关系.知识点2 验证勾股定理方法:勾股定理的验证方法多达上百种,而且很多巧妙的验证方法令人赞叹不已,但大多数采用拼图的方法.善于变换角度看问题,是这种方法验证勾股定理的技巧.解读:用拼图的方法验证勾股定理的思路是:(1)图形经过制补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变.(2)根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理.(3)运用:如图①所示,24,S S S ==+大正方形三角形小正方形边长即221()4.2a b ab c +=⨯+ 化简,得222.a b c +=如图②所示,24S S S +大正方形三角形小正方形＝边长＝，即2214().2c ab b a =⨯+- 化简,得222a b c +=一、选择题1.若某等腰直角三角形的斜边长为12c m,则它的面积是( )A.48c m 2B.72c m 2C.24c m 2D.36c m 22.如图所示,在△ABC 中,若∠C =90,∠B =45,则a :b :c =( )A.1:1:2B.1:1:2C.1:2:1D.1:2:13.在Rt △ABC 中,斜边AB=1,则AB 2+BC 2+AC 2的值是( )A.2B.4C.6D.84.若一个直角三角形的两边长分别为6和8.则下列说法正确的是( )A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为105.如图所示是一段楼梯,高BC 是3m,斜边AB 是5m,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要( )A.5mB.6mC.7mD.8m6.如图所示,若∠C =90,AC =12,BC =5,AM =AC ,BN =BC ,则MN 的长是( )A.2B.2.6C.3D.47.如图所示,分别以Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆,设斜边AB 左边阴影部分的面积为S 1,右边阴影部分的面积和为S 2,则( )A.S 1=S 2B.S 1<S 2C.S 1>S 2D.无法确定8.在△ABC 中,∠A =90,则下列各式中不成立的是( )A.222BC AB AC =+B.222AB AC BC =+ C.22AB BC AC -- D.222AC BC AB =- 9.如图所示,三个正方形中有两个的面积分别为S 1=169,S 2=144,则S 3等于( )A.50B.25C.100D.3010.如图所示,强台风“麦莎”过后,一棵大树在离地面3.6米处折断倒下,倒下部分与地面的接舢点离树的底部为4.8米,则该树的原高度为( )A.6米B.8.4米C.6.8米D.9.6米11.在某直角三角形中,若它的斜边长为5 m,周长为12 m,则它的面积是( )A.12m 2B.6m 2C.8m 2D.9m 212.若△ABC 中,12::::1,33A B C ∠∠∠=那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形13.已知一个直角三角形,两条直角边分别为3和4.则下列说法正确的是( )A.斜边为25B.三角形的周长为24C.斜边为5D.三角形的面积为2014.在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的面积为( )A.84B.24C.24或84D.30或3515.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,且c +a =2b ,,2b c a -=则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形16.若一个直角三角形的边长是三个连续自然数,那么这三边的长为( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,617.若∠XOY =45°,在角的内部有一点P ,它关于OX 、OY 的对称点分别为M 、N ,那么△MON 一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形18.在某直角三角形中,若它的斜边上的中线是2.5cm,周长是l2cm,则其面积为 ( )A.12cm 2B.6cm 2C.8cm 2D.10cm 219.若小明同学先向北行进4千米,然后向东行进4千米,再向北行进2千米,最后又向东行进4千米,此时小明离出发点( )A.6千米B.8千米C.10千米D.12千米20.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm,BC =8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( )A.2 cmB.3cmC.4 cmD.5cm二、填空题1.如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积是________cm2.2.如图所示,在四边形ABCD 中,∠B=∠ACD =90°,BC =6,AB =8,AD =26,则△ACD的面积是_________.3.如图所示,台风将旗杆在B 处折断,使杆顶落在距离杆底8米处的A 点.已知旗杆总长16米,问:旗杆是在距底部_________米处折断的.4.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8cm,BC=10cm,则EC=__________cm.5.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2.6.在△ABC中,若AB=3,BC=4,第三边AC的长_________求出.(填“能”或“不能”)7.如图所示是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图.小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为__________m.(结果保留根号)8.在Rt△ABC中,∠C=90°,回答下列问题:(1)若a=12,b=16,则c=______;(2)若a=12,c=13,则b=_______;(3)若a:b=3:4,c=10,则a=______.9.看图求出未知边.(1)a=________.a=_______,b=________.10.已知直角三角形ABC中,两直角边AB、BC分别长6cm、8cm,则斜边AC上的高为_______cm.11.如图所示,则阴影部分的面积:____________.(阴影部分为正方形)12.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,接如图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.13.等腰三角形底边上的高是8,周长是32,则三角形的面积为________.14.某生态环境调查小组的甲组同学从学校出发,以15km/h的速度向东南方向前进;同时乙组同学也由学校出发,以20km/h的速度向东北方向前进,经过2h,两组各自到达目的地A、B,则A、B两地间相距________km.15.在△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为60cm,BC:CA=5:12,则BC=______cm,CA==_______cm,AB=_______cm.16.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若AB=17,BC=16,那么AD=______.17.已知三角形三内角度数之比为1:2:3,它的最大边长为6cm,则最小边长为______.18.在△ABC中,∠C=90°AB=13,BC=5,则AC=________.19.直角三角形的两条直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为_______cm.20.如图所示,阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积是100cm2,则a的长为______cm.21.若直角三角形两直角边之比为3:4,且斜边的长为20cm,则斜边上的高为________.三、解答题1.(1)如图①所示,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,试证明S1=S2+S3.(2)加固②所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(3)如图③所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.2.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为点N,试说明AN2-BN2=AC2.3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,AB=5.求AD的长.4.(1)如图①所示,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,求AB的长.(2)如图②所示,在Rt△ABC中,AB=25,AC=20,求BC的长.5.一场台风过后,一棵小树被从距地面1.5 m处折断,树头距树的根部2m,你能判断出这棵小树原来有多高吗？6.在一次缉毒行动中,我省警方获得可靠消息:一辆运毒车将路经5号公路,但由于车上装有爆炸装置,督员无法靠近,只能利用远程射击的办法,为了减少伤亡,警方选中一距离公路120m的隐蔽处P点,射程为200m,准备行动,此时,运毒车与P点的水平距离为300m(如图所示),那么警方可在运毒车再前进多少米之后对其进行射击？7.如图所示,有一个长方形的场院ABCD,其中AB=9m,AD=12m,在点B处竖直立着一根电线杆,在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？8.如图所示,在树CD上10m高的B处有两只松鼠,其中一只松鼠爬到C点后又爬到离树20m的池塘A处,另一只松鼠爬到树顶后直接跃向池塘A处,若两只松鼠所经过的距离相等,试问这棵树有多高？(DA间实为抛物线,现假设为直线)9.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,请在所给网格中按下列要求画图形.(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.10.现有四块直角边为a、b,斜边为c的直角三角形的纸板,请你从中取出若干块拼图,说明勾股定理(需要画出所拼的图形).11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,∠DAC=90°,求BD.12.某住宅小区的形状是直角三角形,如图所示,直角边AC、BC的长度分别为600m、800m,DE为小区的大门,大门宽5m,小区的周边用冬青围成了绿化带,问绿化带有多长？13.如图所示,一逃犯从A地正北6km的B地乘车向B地正东8km的C地逃跑,我公安干警在A地闻讯,同时从A地沿直路直接向C地追击.若逃犯速度为80km/h,我公安干警的速度为多少时,恰好在C地将逃犯截住？14.如图所示,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A点多千米处？15.如图所示,某人在B处通过平面镄看见在B正上方3m处的A物体已知物体A到平面镜的距离为2m,问B点到物体A的像A'的距离是多少？(注:A'O=AO)16.为了测量一个球的直径,今有若干根木棒可供使用,通过实验发现,若将球放在桌面上,再将一根长6cm的木棒垂直桌面而立(如图所示).某一时刻,在斜阳的照射下,球与木棒的影长都是8cm,求球的直径.17.为了预防禽流感,张大爷想把自家的鸡用栅栏圈起来,已知栅栏为矩形,且其面积为48m2,对角线长为10m,那么张大爷家的鸡栅栏的周长为多少？18.如图所示,美伊战争期间,美军运输车队计划沿由东向西延伸的L公路向巴格达前线供应军用物资,一支先头小分队奉总部之命沿公路侦察敌情,当行至A地时,测得一伊军炮兵阵地P的方位是北偏西30°,行至B地时测得P地方位是北偏东30°,继续前进到C地,测得P 地方位是北偏东60°,在C地俘虏一名伊军士兵,得知C、B两地之间的距离不会超过10千米,并获得可靠情报:P地伊方炮火的射程半径是9千米.根据以上数据,请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性.19.如图所示,已知∠BAC,AB=3,AC=4.若∠A是不断变化的角,问:(1)当∠A为锐角时,BC的取值情况;(2)当∠A为直角时,BC的取值情况;(3)当∠A为钝角时,BC的取值情况;(4)当∠A变为平角时,BC的取值情况.20.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试确定重叠部分△AEF的面积.21.图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图②是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼另一种能证明勾股定埋的图形吗？请画出拼后的示意图.(无需证明)22.如图所示,两个村子A、B在河CD的同侧,A、B两村到河边的距离分别为AC=1km,BD ＝3km,又CD=3km.现需在河边CD上建造一水厂向A、B两村送水,铺设水管的工程费用约为每千米20 000元,请在河边CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出,铺设水管的费用,假如你是工程师,帮助A、B两村设计一下好吗？。
勾股定理讲义
勾股定理 复习讲义【知识回顾】1.基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等c ba HGF EDC B Abacb ac ca bc ab ab cc baED C B A８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理-综合讲义
数学学科辅导讲义教学内容勾股定理教学目标一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．教学重点根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．教学难点1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．教学过程知识详解一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱 B 点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A 、B 两点即可典型例题进门测：1. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形3. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 25．如图（第17题）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．4AB EF DC （图2）6．如图（第18题），已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为( )．A．3 B．4 C．5 D．67．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．32B．4 C．25D．4.51．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t=2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t=秒．（直接写出结果）2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．3．如图１，△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．（1）求证：∠A=∠CED；（2）如图2，若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．随堂检测1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是( )A．115°B．125°C．135°D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为( ) A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10 cm，腰长为13 cm，则腰上的高为( )A．12 cm B．6013cm C．12013cm D．135cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为( )A．42 B．32 C．37或33 D．42或32课后练习1．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有( ) A．12个B．10个C．8个D．6个2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5 B．5或8 C．52D．4或52第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．4．直角三角形三角形两直角边长为5和12，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.选择题专题6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4 m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动( )A．0.4 m B．0.8 m C．1.2 m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600 m B．500 m C．400 m D．300 m。
勾股定理的讲义
勾股定理一：勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的值.练习：1.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为_______例题：1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M 的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．练习：1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____二：勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.例题：1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？练习：1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______例题：1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．练习：1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B 在围成的正方体上的距离是____三：勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 例题：1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出 （1）当a=19时，求b 、c 的值； （2）当a=2n+1时，求b 、c 的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 练习：1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=412.下列各组数是勾股数的是（ ） A. 13，14，15 B. 1，√2，√3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 5，12，13例题：1.如图，在四边形ABCD 中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD 的度数.练习：1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a ﹣b ）2+|a 2+b 2﹣c 2|=0，则△ABC 是 三角形2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定综合练习：1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是___________.3.如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到B点的最短爬行距离是________ cm.4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．7.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=√5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD 的面积．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A点沿外表面爬行到B点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明；（2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.。
05.勾股定理讲义
勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b，，斜边长为c，那么222a b c+=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b=-，222b c a=-，()222c a b ab=+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.知识点方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c ，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．类型二、勾股定理的证明例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段例3、作长为、、的线段.类型四、利用勾股定理解决实际问题例4、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）6A．3 B．4 C．5 D．课后练习一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．无法确定3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算 二.填空题 7.在直角坐标系中，点P （－2，3）到原点的距离是_______．8.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 _________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。
新编勾股定理新课讲义(全三讲)
新编勾股定理新课讲义（全三讲）第一讲 勾股定理及应用一、知识要点引例1：如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能通过两种方法结算出梯形的面积吗？引例2：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，用两种方法计算正方形的面积。
结论：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a.b.c则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)用于证明平方关系的问题。
二、精选例题：例1.如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？例2．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长．ABC例3．如图，△ABC 中，∠C ＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；图①(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；图②(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．三、课堂巩固：1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A . 0B . 1C . 2D . 32. 如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为 .第1题图第2题图第4题图4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.5．在△ABC 中，∠C =900,，BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA -AB -BC 的路径再回到C 点，需要 分的时间.6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：拓展题．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?四、课后分层作业： A 组:1．如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么______＝c 2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边． (1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．3．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．第6题图5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．(A)4 (B)6 (C)8 (D)1028．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．(A)150cm2 (B)200cm2(C)225cm2(D)无法计算9．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．B组：1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．3．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．4．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?5．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？6．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？7.利用带刻度的直尺和圆规做一条长为13cm 的线段5m13m观测点第二讲 勾股定理的逆定理及应用一、知识要点:1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.二、经典例题例1.在△ABC 中，2:1:1:: c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 例 2.若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．例3.如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.例4. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.三、课堂练习：1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组E2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）。
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《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2。
公式的变形：a 2=c 2-b 2，b 2=c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2+b 2=c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13)(6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2.如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）=+S 2=+S 3<=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边S 3S 2S 11．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、1n2+7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）222c b a+=222+=以上都有可能a b c+=222a c b8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m B、362c m C、4829、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25 C、7D、15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD 的长；②ΔABC的面积．考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（），5，，3，，12，，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个4、若三角形的三边之比为2::122，则这个三角形一定是（） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形5、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A ．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。
8、△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为，此三角形为。
例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。
（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为． 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗2、一架长m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑m ，那么梯子底端将向左滑动米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；•另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为.考点七1题图601140 B6AC第5题8米 2米8米15328BABCEDAB C6题图图18-156、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再折向北方走到5km 处往东一拐，仅1km•就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（） 4253224735、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．3、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
4、如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积5、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少6、如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。
（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长7、如图2所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______．8、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．9、如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。
如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM=3：4：5。
10、如图2-5，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（）A ．．．．2-511、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C 若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由.AB C E FD②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE=2cm 若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且 F ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
13、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160m 。
假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为2、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是． 考点九1题图2题图3题图 考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积2、如图2，已知，在△ABC 中，∠A =45°，AC =，AB =+1，则边BC 的长为．3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为ｍ,宽为ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门并说明你的理由4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围。