第二章不可计算性
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第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
第二章大学物理实验基础知识
有效位数取决于仪器和被测量量本身的大小，仪器精度决定 存疑数字的位置（一般为仪器最小刻度的下一位），被测量量 的大小决定可靠数字的个数。
0 mm 10 20 30 40
L=14.6(mm)
第二章 大学物理实验基础知识
使用不同精度的测量仪器，得到的测量数据，其有效数字的 有效位数则不同，有效位数越多，说明测量结果越精确。
第二章 大学物理实验基础知识
过失误差 由于测量者在测量过程中粗心大意所发生的错误 或失误而造成的一种误差，只要认真、细心操作， 完全可以避免这种误差。
第二章 大学物理实验基础知识
§2.3测量结果的有效数字
对某一物理量测量时，由仪器中读取的准确数字称为可靠数 字，估读的欠准确数字称为存疑数字，可靠数字和存疑数字统 称为测量结果的有效数字，有效数字的个数叫有效位数。 有效数字一般都是由几位可靠数字和1—2位存疑数字构成。
用模拟法测绘静电场 气垫导轨上的实验 三棱镜折射率的测量 透镜焦距的测量
有效数字的读取和计算 光栅衍射实验
密立根油滴实验 测量及其结果表达式
实验基础理论知识 电学元件伏安特性的研究、
电位差计的使用 灵敏电流计的研究、
数据处理方法
自组装直流单臂电桥 基本实验方法 自组望远镜
基础性实验
综合性实验
实验项目 设计性实验
掌握测量误差的基本知识， 具有正确处理实验数据的 处理实验数据的常 用方法 基本能力
基本
要求
掌握基本物理量的测量方法。 了解和学会常用的物理实验方法。 掌握实验室常用仪器的性能。 掌握常用的实验操作技术 。
第二章 大学物理实验基础知识
§2.1 测量
测量
将待测量量与同类计量标准单位相比较的过程。 测量结果 由测量所得到的赋予被测量的值，具有单位和量纲 测量可分为直接测量和间接测量。 测量也可分为单次测量和多次测量。
第二章保险法四大基本原则
• 这种信息不对称、保险人的信息劣势是绝 对的
最大诚信原则理论依据 之经
济学分析
• 保险所涉及信息的性质与一般民商活动所 涉及信息的性质不同。
• 信息可分为“生产性事实”、“再分配性 事实”和“危害性事实”三类信息
最大诚信原则理论依据
分析
之经济学
• “生产性事实”是可以增加财富的信息
对生产性信息本身或获取途径必 然要在技能和知识方面进行经济投资，通 过该信息交易而带来的财富就是对该投资 的补偿。
➢瑕痴担保义务+法律有权要求人们所说的不 会对他人产生误导
诚信原则与最大诚信原则
• 一般民商活动：要求不向对方作出错误的 意思表示——诚信原则
• 特殊商事活动：要求当事人必须主动地、 充分地披露重要事实——最大诚信原则
最大诚信原则理论依据 之经
济学分析
• 保险的特殊性——射幸行为
• 不确定性向确定性的转化面临有关风险资 料的信息不对称问题，从而影响到保险公 司准确预测危险和损失。
故，对作为“危害性事实”的信 息，当事人应负揭示或披露义务。
从社会观点来看，这种保护性费用是一种 浪费，无效率，不应激励。
故，对作为“再分配性事实”的信息，当 事人应负揭示或披露义务。
最大诚信原则理论依据
分析
之经济学
• “危害性事实”指如果不揭示和披露就将引 起对某人的财产或人身伤害的信息。
此类信息如果不披露，将造成对 另一方当事人的财产损害或人身的伤害， 是对财富的无效率破坏。
事权利和履行民事义务，不欺诈、恪守信 用，善意地进行民事活动。
• 诚信原则不仅涉及当事人之间利益关系还 涉及当事人与社会间的利益关系
• ——帝王条款
诚信原则与最大诚信原则 ——诚信原则的要求
最大诚信原则理论依据 之经
济学分析
• 保险所涉及信息的性质与一般民商活动所 涉及信息的性质不同。
• 信息可分为“生产性事实”、“再分配性 事实”和“危害性事实”三类信息
最大诚信原则理论依据
分析
之经济学
• “生产性事实”是可以增加财富的信息
对生产性信息本身或获取途径必 然要在技能和知识方面进行经济投资，通 过该信息交易而带来的财富就是对该投资 的补偿。
➢瑕痴担保义务+法律有权要求人们所说的不 会对他人产生误导
诚信原则与最大诚信原则
• 一般民商活动：要求不向对方作出错误的 意思表示——诚信原则
• 特殊商事活动：要求当事人必须主动地、 充分地披露重要事实——最大诚信原则
最大诚信原则理论依据 之经
济学分析
• 保险的特殊性——射幸行为
• 不确定性向确定性的转化面临有关风险资 料的信息不对称问题，从而影响到保险公 司准确预测危险和损失。
故，对作为“危害性事实”的信 息，当事人应负揭示或披露义务。
从社会观点来看，这种保护性费用是一种 浪费，无效率，不应激励。
故，对作为“再分配性事实”的信息，当 事人应负揭示或披露义务。
最大诚信原则理论依据
分析
之经济学
• “危害性事实”指如果不揭示和披露就将引 起对某人的财产或人身伤害的信息。
此类信息如果不披露，将造成对 另一方当事人的财产损害或人身的伤害， 是对财富的无效率破坏。
事权利和履行民事义务，不欺诈、恪守信 用，善意地进行民事活动。
• 诚信原则不仅涉及当事人之间利益关系还 涉及当事人与社会间的利益关系
• ——帝王条款
诚信原则与最大诚信原则 ——诚信原则的要求
中科大算法第二章近似算法--黄刘生(调整后适合打印版)
12
NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普（Richard Karp ， 1935- ） 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的，而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的，就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题，即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位， 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ，他在 UC Berkeley 担任助教授； 1970年加盟多伦多大学，现为该校CS 和数学系教授，他的论文开启 了NP完备性的研究，令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献，尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
9
P、NP及NPC类问题
NP=？P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例，∴P⊆NP 是否有NP⊆P？即是否NP=P？
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布：对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元，而 问题NP=？P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ，俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想，2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨－米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
NP-完全性理论
Karp的贡献
理查德·卡普（Richard Karp ， 1935- ） 1972 年论文 ”Reducibility among Combinatorial Problems” 发 展和加强了由库克提出的“NP完全性”理论。 尤其是库 克仅证明了命题演算的可满足问题是NP完全的，而卡普则证明了从 组合优化中引出的大多数经典问题(背包问题、覆盖问题、匹配问 题、分区问题、路径问题、调度问题等)都是NP完全问题。只要证 明其中任一个问题是属于P类的，就可解决计算复杂性理论中最大 的一个难题，即P=?NP。
SAT∈P当且仅当P=NP
Cook 于1961 年获 Michigan 大学学士学位， 1962 和 1966年分获哈佛 大学硕士与博士学位。 1966-1970 ，他在 UC Berkeley 担任助教授； 1970年加盟多伦多大学，现为该校CS 和数学系教授，他的论文开启 了NP完备性的研究，令该领域于之后的十年成为计算机科学中最活 跃和重要的研究。因其在计算复杂性理论方面的贡献，尤其是在奠 定NP完全性理论基础上的突出贡献而荣获1982年度的图灵奖。
9
P、NP及NPC类问题
NP=？P
∵确定型图灵机是非确定型图灵机的特例，∴P⊆NP 是否有NP⊆P？即是否NP=P？
美国麻省的Clay数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣 布：对七个“千年数学难题”中的每一个均悬赏 100 万美元，而 问题NP=？P位列其首:
1.P问题对NP问题 2.霍奇猜想 3. 庞加莱猜想 (2002.11-2003.7 ，俄罗斯数学家佩雷尔曼在 3 篇 论文预印本中证明了几何化猜想，2006被授予菲尔兹奖) 4.黎曼假设 5.杨－米尔斯存在性和质量缺口 6.纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性 7.贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
第二章财务管理之时间价值和风险价值
先把递延年金视为普通年金，求出递延 期期末的现值，再将此现值调整到第一 期期初。
递延年金现值的计算
例15 某企业向银行借入一笔款项，银行贷款
的年利息率为8%，银行规定前10年不用还本 付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息 1000元，问这笔款项的现值应为多少？
思路一
P=A*[（P/A，i，n+m）- （P/A，i，m）]
A ＝ 150× （ A/F ， 8% ， 3 ） =150/3.2462=46.21万元
（三）普通年金现值的计算
P A(1 i)1 A(1 i)2 A(1 i)(n1) A(1 i)n 1 (1 i)n
P A i
P A(P / A,i, n)
举例：普通年金现值计算
例9：某企业未来5年每年年末等额从银 行取1万元，为职工发奖金，年利率3%， 现在应该存入多少金额以保证未来5年每 年末从银行等额提出1万元？
=1000*1.08*14.487
=15 645
例13 某企业租用一设备，在10年中每年年 初要支付租金5 000元，年利息率为8%， 问这些租金的现值是多少？
思路一
P=A*[（F/A，i，n-1）+1] =1000* [（F/A，8%,9）+1 ] =1000*（6.247+1） =36 235元
风险是“一定时期内”的风险。
与风险相联系的另一个概念是不确定性。严格说 来，风险和不确定性有区别。
风险可能给投资人带来超出预期的收益，也可能 带来超出预期的损失。
财务管理中的风险按形成的原因一般可分为经营 风险和财务风险两大类。
二、风险程度的衡量——概率分析法
确定概率分布 计算期望值 计算标准离差
25
递延年金现值的计算
例15 某企业向银行借入一笔款项，银行贷款
的年利息率为8%，银行规定前10年不用还本 付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息 1000元，问这笔款项的现值应为多少？
思路一
P=A*[（P/A，i，n+m）- （P/A，i，m）]
A ＝ 150× （ A/F ， 8% ， 3 ） =150/3.2462=46.21万元
（三）普通年金现值的计算
P A(1 i)1 A(1 i)2 A(1 i)(n1) A(1 i)n 1 (1 i)n
P A i
P A(P / A,i, n)
举例：普通年金现值计算
例9：某企业未来5年每年年末等额从银 行取1万元，为职工发奖金，年利率3%， 现在应该存入多少金额以保证未来5年每 年末从银行等额提出1万元？
=1000*1.08*14.487
=15 645
例13 某企业租用一设备，在10年中每年年 初要支付租金5 000元，年利息率为8%， 问这些租金的现值是多少？
思路一
P=A*[（F/A，i，n-1）+1] =1000* [（F/A，8%,9）+1 ] =1000*（6.247+1） =36 235元
风险是“一定时期内”的风险。
与风险相联系的另一个概念是不确定性。严格说 来，风险和不确定性有区别。
风险可能给投资人带来超出预期的收益，也可能 带来超出预期的损失。
财务管理中的风险按形成的原因一般可分为经营 风险和财务风险两大类。
二、风险程度的衡量——概率分析法
确定概率分布 计算期望值 计算标准离差
25
第二章建筑围护结构的传热原理及计算分析
d2
i q(
1
d1
2
d2
)
………… 多层壁内第j层与第j+1层之间接触面温度：
j 1 i q(
1
d1
2
d2
dj
j
)
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
1.2 对流换热
层流边界层：由于摩擦力作用，在紧贴固体壁面处有一平行于固体壁 面流动的流体薄层称为层流边界层。
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
q1
1
d1
( i 2 )
q2
2
d2
( 2 3 )
q3
3
d3
( 3 e )
对于多层复合壁体而言，由于每一层都是由单一材料组成的，在壁体两 侧稳定温度场的作用下，流经各层材料的热流强度都是相等的： q=q1=q2=q3 由上面四式可得：
第二章 建筑围护结构的传热原理及计 算
q
d
(i e )
i e
d
i e
R
我们将上式中的R=d/λ 称为热阻，单位m2*K/W。热阻是热流通过壁体 时受到的阻力，反映了壁体抵抗热流通过的能力。 说明： 1）在同样的温差条件下，热阻越大，通过壁体的热量就越少，如 果要增加热阻，可以加大平壁的厚度d，或者选用导热系数小的材料 2）导热系数λ 它反映了壁体材料的导热能力，当材料层单位厚度 内的温差为1摄氏度时，在单位时间内通过1m2表面积的热量 3）影响材料导热系数的因素：
第二章 建筑围护结构的传热原理及计算
1.3.4 辐射换热计算
以上仅是对单一物体热辐射能力的讨论，由于通常情况下自然
信息技术导论知识点
第一章计算科学简介1．简述计算科学的概念⑴是描述和变换信息的算法过程。
⑵包括其理论分析、设计，效率分析、实现和应用系统的研究。
⑶计算科学的基本问题就是：什么能（有效地）自动进行，什么不能（有效地）自动进行。
2．计算科学涵盖了：计算机科学、计算机技术、计算机工程。
3．计算机科学研究的课题是：计算机程序能做什么和不能做什么（可计算性）；如何使程序更高效的执行特定任务（算法和复杂性理论）；程序如何存取不同类型的数据（数据结构和数据库）；程序如何显得更具有智能（人工智能）；人类如何与程序沟通（人机互动和人机界面）。
4．计算机技术的内容非常广泛，可粗分为：计算机系统技术；计算机器件技术；计算机部件技术；计算机组装技术等。
5．计算科学的主要内容主要分为14个领域：离散结构程序设计基础算法与复杂性体系结构操作系统网络计算程序设计语言人－机交互图形学和可视化计算智能系统信息管理软件工程社会和职业问题科学计算离散结构•主要内容：集合论、数理逻辑、近似代数、图论和组合数学等。
程序设计基础•内容包括：程序设计结构、算法、问题求解和数据结构等。
•基本问题主要包括：对给定的问题进行程序设计、编码、测试和调试。
算法与复杂性•主要包括：算法的复杂度分析、典型的算法策略、分布式算法、并行算法、可计算理论、P类和NP类问题、自动机理论、密码算法、以及几何算法等。
•基本的问题：对于给定的问题类，最好的算法是什么？算法的复杂度如何？算法的性能如何？操作系统•主要内容：操作系统的逻辑结构、并发处理、资源分配与调度、存储管理、设备管理、文件系统等。
•基本问题：在计算机系统操作的每一个级别上，可见的对象和允许进行的操作是什么？等等。
程序设计语言•主要内容：程序设计模式、虚拟机、类型系统、执行控制模型、语言翻译系统、程序设计语言的语义学、基于语言的并行构件等。
•基本问题：语言表示的虚拟机的可能组织结构是什么？语言如何定义机器？机器如何定义语言？什么样的表示法可以有效地用于描述计算机应该做什么？软件工程•主要内容：软件过程、软件需求与规格说明、软件设计、软件验证、软件演化、软件项目管理、软件开发工具与环境、基于构件的计算、形式化方法、软件可靠性、专用系统开发等。
第二章 资产评估的基本方法
计算方法： 1、用资产生产能力来计算经济性贬值
经 济 性 贬 值 [ 1 （ 现实生产能力 X ） ] 被 估 资 产 重 置 成 本 原设计生产能力
X称为生产能力指数，X一般取值0.4～0.9 例2-9：评估资产为某专用生产线，重置成本为20万元，设计日生产能力2000 只。因市场出现可替代产品，现时及今后趋势每日只能生产1200只。如取X=0.6， 则： 1200 0.6 经济性贬值 [1 （ ） ] 200000 52760 （元） 2000 2、利用年收益损失额现值来计算经济性贬值： 经济性贬值=年收益损失额×（1－所得税率）×年金现值系数
截 至 评 估 日 时 资 产 累实 际 利 用 时 间 计 资产利用率 100% 截 至 评 估 日 时 资 产 累法 定 利 用 时 间 计
资产利用率<1，表示开工不足，资产实际已使用年限小 于名义使用年限； 资产利用率=1，表示资产满负荷运转，资产实际已使用 年限等于名义使用年限； 资产利用率>1，表示资产超负荷运转，资产实际已使用 年限比名义已使用年限长。
2、用超额投资成本（视为功能性贬值）估算： 功能性贬值 =复原重置成本－更新重置成本
（四）经济性贬值及其估算 ———指由外部环境变化引起的资产由于利用率降低或 收益额减少而引起的贬值。 哪些情况下不需要计算经济性贬值： （1）资产使用基本正常时；（不存在外在因素造成资产 利用率下降或收益减少） （2）对不能直接计算收益的单台、单件资产进行评估。
三、市场法的优缺点 1、优点： ①能客观反映资产目前的市场情况，其评估的参数、 指标直接从市场获得。 ②评估值更能反映市场现实价格，评估结果易于被各 方理解和接受。 2、缺点： ①需要有公开活跃的市场作为基础。 ②不适合用于评估专用机器设备、大部分的无形资产以 及受到地区、环境等严格限制的一些资产。 四、市场法适用的资产业务： 单项资产的买卖。如买卖设备、原材料、房屋等，用 单项生产要素作为投资参股、合作经营等。 在课征财产税和遗产税时，有时也以现行市价为基础。
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§5 Gödel不完备性定理
• 每一个形式系统都可以写成一台图灵机。 • 形式系统不过是一种产生定理的机械程序 ，或者说数学家在一个形式系统中进行演 算的过程就是一台图灵机的运行过程。 • 有了图灵机概念以后人们开始期望造出能 证明所有数学定理的机器。 • 但是，既然形式系统就等价于图灵机，那 么图灵机的局限就是形式系统的局限。
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§３ 停机问题的不可解性
引理2 K是r.e.集，但不是可计算集。 证 可构造一台机器(图灵机)M接受集合K： M：对任意输入x∈N，（1）将x解码为 图灵机Tx；（2）模拟Tx以x为输入的 运行。 故K是r.e.集。 因为可计算集的补集一定是可计算集， 可计算集一定是r.e.集，但K的补集不 是r.e.集，故K不是可计算集。
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§３ 停机问题的不可解性
因为A*与N是可以建立一一对应的，可以认为图 灵机的输入都是N中的非负整数。 定义 N的子集K={i|i∈wi}={i|ϕi(i)↓} θ= K = {i | i ∉ wi } = {i | ϕi (i ) ↑} 引理1 θ不是r.e.集。 证 用反证法。假设θ是r.e.集，则存在常数p使得 θ =wp，则p∈wp当且仅当p∈θ当且仅当 p ∉ wp ， 矛盾
第二章 不可计算性
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§１ 胜奕机之不存在性
假设存在一个计算机系统A，它下国际象棋能 击败任何对手。 于是存在一个被另一个人掌握的与A同样的计 算机系统B，它下国际象棋能击败任何对手。 现在让A与B下国际象棋。有如下三种可能： i>Ａ击败B；ii>下成平局；iii>B击败Ａ； 在任何情况下与假设矛盾。 因此，根本不存在胜奕机。
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔的不完备性定理在给出图灵机概 念之后就有了如下几种等价说法： （1）没有定理证明机器（或机器程序） 能够证明所有的数学真理。 （2）数学是算法不可完全的。 （3）数学是机器程序不可穷尽的。 （4）停机问题不可解，因此本质上，计 算机的能力是有局限的。
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§２ 不可计算函数的存在性
考虑从N到N的全函数，即映射f：N→N。 引理 记 NN={f| f：N→N}，则NN与N之间不存 在一一对应的关系。 定理 NN中至少有一个函数不是可计算的。 引理 记 2N={A| A⊆N}，则2N与N之间不存在 一一对应的关系。 定理 2N中至少有一个集合不是r.e.集。
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§5 Gödel不完备性定理
2002年美国《时代周刊》 列出“20世纪震撼人类思 想界的四大伟人”: 爱因斯坦（Albert Einstein） 图灵（Alnes）
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§３ 停机问题的不可解性
证法2 假设有程序实现H(x,y)的计算，则存在如下程序： θ (x) { If H(x,x)==1 then while(1){x=x;};//死循环 } 由Church-Turing论题，存在一台图灵机Tz与程序θ功 能完全一样，则H(z,z)=1当且仅当θ(z)永不停机当且 仅当Tz(z)永不停机当且仅当H(z,z)=0，矛盾 因此假设是错的，即没有程序实现H(x,y)的计算。
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§5 Gödel不完备性定理
1930年获得博士学位之后，哥德尔开始沿着 希尔伯特方案的路线着手解决希尔伯特第 二问题。 哥德尔最初是想寻此方案首先建立算术理论 的一致性，然后再建立相对于算术而言更 复杂的实数理论的一致性，但出乎意外的 是，他得到了与希尔伯特预期完全相反的 结果。
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§5 Gödel不完备性定理
1997年曾任美国数学会主席的斯梅尔 （S.Smale）效仿数学家希尔伯特向全世界 数学家提出了21世纪需要解决的24个数学 问题，其中的第18个问题是，“人类智能 的极限和人工智能的极限是什么”？并且 指出，这个问题与哥德尔不完全性定理有 关。 哥德尔定理说出了对于形式系统的局限，但 是定理并没有给出人类理性的界限。 人脑是不是计算机？“人心”是不是计算机？ 图灵机的计算模型是否可以超越？
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔实际上证明了：任何丰富到足以展开初 等数论的形式系统，至少会遗漏一个数学真 理，数学形式系统不能囊括所有的数学真理。 那么，能不能添加更强的公理扩充原有的系统 以穷尽所有的数学真理呢？ 哥德尔定理的回答：不行！因为，新扩充的系 统也还是一台新的图灵机，还会有新的数学 真命题在其中不可证，…… 继续扩充，情形 依然如此。
Kurt Gödel, 1906－1978
华中科技大学计算机科学与技术学院 jrc@
§5 Gödel不完备性定理
1900年巴黎数学家会议上，希尔伯特遵从 “世界上没有不可知”，“人类理性提出 的问题人类理性一定能够回答”的哲学信 念，提出23个数学问题，其中的第二个问 题就是建立整个数学的一致性（即无矛盾 性或称协调性）。 1920年代希尔伯特本人曾提出了一个使用有 穷方法建立实数和分析的一致性的方案， 称为希尔伯特元数学方案。
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§5 Gödel不完备性定理
在一个形式系统中，各种陈述都表示成有穷长度的 符号串。 系统的形成规则指明什么样的符号串是合法的公式： 一些符号串被当作公理。系统中还包括一系列推理 规则。 一个证明就是从公理出发，对公式按推理规则进行 变形而形成的有穷长的公式序列。序列中的每一 个公式，要么是公理，要么是由在前的公式依照 推理规则形成的公式，而且系统中每一个定理都 是这样经过有穷步骤得到的结果。
jrc@
§5 Gödel不完备性定理
一阶逻辑（又称谓词逻辑）的所有公理和规则， 加上Peano给出的自然数系统的五条公理。这 就形成了皮亚诺算术系统(Peano’s Arithmetic system)。 该系统中用如下符号来表示自然数。 数： 0 1 2 3 …… 符号：0 S0 SS0 SSS0 …… 这里的S表示后继者。 “6是偶数”表示成“∃e(SS0·e) ＝SSSSSS0”
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§4 不可解性的直观理解
1。仿照图灵机编码方法，试给C语言程序编码，从 而证明C语言所写的程序集是r.e.集。 2。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否能最终 正常退出。 3。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否会格式 化系统盘。 4。试证明不可能用C语言写一个程序，用它来判断 任何一个C语言写的程序是否有死循环漏洞。或判 断是否会做任何恶意的事情。
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§5 Gödel不完备性定理
计算机科学研究受到的启发： 模拟人类智能，超越图灵机概念，探讨以自然 为基础的生物计算、量子计算等新的计算模 式，实施一种“算法+自然机制”的方法论策 略。 对于能够归为传统算法解决的问题，依然使用 算法手段解决，不能归为传统算法解决的问 题，借助自然的生物、化学、物理的机制解 决，并期望借助这种“半人工”手段制造出 堪与人脑匹敌的所谓“半人工智能”来。如: 拟物拟人算法、人工神经网络、遗传进化算法、 模拟淬火算法、蚁群算法
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§5 Gödel不完备性定理
皮亚诺（Peano,1858-1932）公理 关于自然数的 五条公理。用非形式化的方法叙述如下： ①0是自然数； ②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后 继数a ' ， a ' 也是自然数； ③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c； ④0不是任何自然数的后继数； ⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自 然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可 以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数 都真。 华中科技大学计算机科学与技术学院
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§３ 停机问题的不可解性
定义 停机函数H: N×N →{0,1}
1, 若ϕ x ( y ) ↓; H ( x, y ) = 否则 0, 定理 H(x,y)不是可计算函数。即停机问题不 可计算。 证法1 χK(x)=1 当且仅当x∈K当且仅当H(x,x)=1. 若H(x,y)可计算，则K的特征函数χK也可计算, 与K不是可计算集矛盾。
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§5 Gödel不完备性定理
定理(Gödel) 初等数论的真命题中至少有一个不可能 从皮亚诺算术系统中得到证明。 证：设命题为假，即初等数论中的任一真命题皆可 从皮亚诺算术系统中得到证明。对于任一给定的 自然数i， ϕi(i)↓与ϕi(i)↑这两个命题都是初等数论 中的命题，且恰有一个真，另一个为假。于是用 枚举出皮亚诺算术系统中的全部真命题的方法， 可以判定问题ϕi(i)↓?是否为真。 我们可以构造一台图灵机，模拟以上枚举算 法。如此则可用一台Turing机判定“ϕi(i)↓ ？”问 题。即K是可计算集，矛盾。
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§5 Gödel不完备性定理
• 每一个形式系统都可以写成一台图灵机。 • 形式系统不过是一种产生定理的机械程序 ，或者说数学家在一个形式系统中进行演 算的过程就是一台图灵机的运行过程。 • 有了图灵机概念以后人们开始期望造出能 证明所有数学定理的机器。 • 但是，既然形式系统就等价于图灵机，那 么图灵机的局限就是形式系统的局限。
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§３ 停机问题的不可解性
引理2 K是r.e.集，但不是可计算集。 证 可构造一台机器(图灵机)M接受集合K： M：对任意输入x∈N，（1）将x解码为 图灵机Tx；（2）模拟Tx以x为输入的 运行。 故K是r.e.集。 因为可计算集的补集一定是可计算集， 可计算集一定是r.e.集，但K的补集不 是r.e.集，故K不是可计算集。
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§３ 停机问题的不可解性
因为A*与N是可以建立一一对应的，可以认为图 灵机的输入都是N中的非负整数。 定义 N的子集K={i|i∈wi}={i|ϕi(i)↓} θ= K = {i | i ∉ wi } = {i | ϕi (i ) ↑} 引理1 θ不是r.e.集。 证 用反证法。假设θ是r.e.集，则存在常数p使得 θ =wp，则p∈wp当且仅当p∈θ当且仅当 p ∉ wp ， 矛盾
第二章 不可计算性
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§１ 胜奕机之不存在性
假设存在一个计算机系统A，它下国际象棋能 击败任何对手。 于是存在一个被另一个人掌握的与A同样的计 算机系统B，它下国际象棋能击败任何对手。 现在让A与B下国际象棋。有如下三种可能： i>Ａ击败B；ii>下成平局；iii>B击败Ａ； 在任何情况下与假设矛盾。 因此，根本不存在胜奕机。
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔的不完备性定理在给出图灵机概 念之后就有了如下几种等价说法： （1）没有定理证明机器（或机器程序） 能够证明所有的数学真理。 （2）数学是算法不可完全的。 （3）数学是机器程序不可穷尽的。 （4）停机问题不可解，因此本质上，计 算机的能力是有局限的。
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§２ 不可计算函数的存在性
考虑从N到N的全函数，即映射f：N→N。 引理 记 NN={f| f：N→N}，则NN与N之间不存 在一一对应的关系。 定理 NN中至少有一个函数不是可计算的。 引理 记 2N={A| A⊆N}，则2N与N之间不存在 一一对应的关系。 定理 2N中至少有一个集合不是r.e.集。
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§5 Gödel不完备性定理
2002年美国《时代周刊》 列出“20世纪震撼人类思 想界的四大伟人”: 爱因斯坦（Albert Einstein） 图灵（Alnes）
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§３ 停机问题的不可解性
证法2 假设有程序实现H(x,y)的计算，则存在如下程序： θ (x) { If H(x,x)==1 then while(1){x=x;};//死循环 } 由Church-Turing论题，存在一台图灵机Tz与程序θ功 能完全一样，则H(z,z)=1当且仅当θ(z)永不停机当且 仅当Tz(z)永不停机当且仅当H(z,z)=0，矛盾 因此假设是错的，即没有程序实现H(x,y)的计算。
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§5 Gödel不完备性定理
1930年获得博士学位之后，哥德尔开始沿着 希尔伯特方案的路线着手解决希尔伯特第 二问题。 哥德尔最初是想寻此方案首先建立算术理论 的一致性，然后再建立相对于算术而言更 复杂的实数理论的一致性，但出乎意外的 是，他得到了与希尔伯特预期完全相反的 结果。
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§5 Gödel不完备性定理
1997年曾任美国数学会主席的斯梅尔 （S.Smale）效仿数学家希尔伯特向全世界 数学家提出了21世纪需要解决的24个数学 问题，其中的第18个问题是，“人类智能 的极限和人工智能的极限是什么”？并且 指出，这个问题与哥德尔不完全性定理有 关。 哥德尔定理说出了对于形式系统的局限，但 是定理并没有给出人类理性的界限。 人脑是不是计算机？“人心”是不是计算机？ 图灵机的计算模型是否可以超越？
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§5 Gödel不完备性定理
哥德尔实际上证明了：任何丰富到足以展开初 等数论的形式系统，至少会遗漏一个数学真 理，数学形式系统不能囊括所有的数学真理。 那么，能不能添加更强的公理扩充原有的系统 以穷尽所有的数学真理呢？ 哥德尔定理的回答：不行！因为，新扩充的系 统也还是一台新的图灵机，还会有新的数学 真命题在其中不可证，…… 继续扩充，情形 依然如此。
Kurt Gödel, 1906－1978
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§5 Gödel不完备性定理
1900年巴黎数学家会议上，希尔伯特遵从 “世界上没有不可知”，“人类理性提出 的问题人类理性一定能够回答”的哲学信 念，提出23个数学问题，其中的第二个问 题就是建立整个数学的一致性（即无矛盾 性或称协调性）。 1920年代希尔伯特本人曾提出了一个使用有 穷方法建立实数和分析的一致性的方案， 称为希尔伯特元数学方案。
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§5 Gödel不完备性定理
在一个形式系统中，各种陈述都表示成有穷长度的 符号串。 系统的形成规则指明什么样的符号串是合法的公式： 一些符号串被当作公理。系统中还包括一系列推理 规则。 一个证明就是从公理出发，对公式按推理规则进行 变形而形成的有穷长的公式序列。序列中的每一 个公式，要么是公理，要么是由在前的公式依照 推理规则形成的公式，而且系统中每一个定理都 是这样经过有穷步骤得到的结果。
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§5 Gödel不完备性定理
一阶逻辑（又称谓词逻辑）的所有公理和规则， 加上Peano给出的自然数系统的五条公理。这 就形成了皮亚诺算术系统(Peano’s Arithmetic system)。 该系统中用如下符号来表示自然数。 数： 0 1 2 3 …… 符号：0 S0 SS0 SSS0 …… 这里的S表示后继者。 “6是偶数”表示成“∃e(SS0·e) ＝SSSSSS0”
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§4 不可解性的直观理解
1。仿照图灵机编码方法，试给C语言程序编码，从 而证明C语言所写的程序集是r.e.集。 2。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否能最终 正常退出。 3。试证明不可能用C语言写一个程序A，它能判断任 意一个C语言写的程序X，当输入为Y时是否会格式 化系统盘。 4。试证明不可能用C语言写一个程序，用它来判断 任何一个C语言写的程序是否有死循环漏洞。或判 断是否会做任何恶意的事情。
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计算机科学研究受到的启发： 模拟人类智能，超越图灵机概念，探讨以自然 为基础的生物计算、量子计算等新的计算模 式，实施一种“算法+自然机制”的方法论策 略。 对于能够归为传统算法解决的问题，依然使用 算法手段解决，不能归为传统算法解决的问 题，借助自然的生物、化学、物理的机制解 决，并期望借助这种“半人工”手段制造出 堪与人脑匹敌的所谓“半人工智能”来。如: 拟物拟人算法、人工神经网络、遗传进化算法、 模拟淬火算法、蚁群算法
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§5 Gödel不完备性定理
皮亚诺（Peano,1858-1932）公理 关于自然数的 五条公理。用非形式化的方法叙述如下： ①0是自然数； ②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后 继数a ' ， a ' 也是自然数； ③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c； ④0不是任何自然数的后继数； ⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自 然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可 以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数 都真。 华中科技大学计算机科学与技术学院
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§３ 停机问题的不可解性
定义 停机函数H: N×N →{0,1}
1, 若ϕ x ( y ) ↓; H ( x, y ) = 否则 0, 定理 H(x,y)不是可计算函数。即停机问题不 可计算。 证法1 χK(x)=1 当且仅当x∈K当且仅当H(x,x)=1. 若H(x,y)可计算，则K的特征函数χK也可计算, 与K不是可计算集矛盾。
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§5 Gödel不完备性定理
定理(Gödel) 初等数论的真命题中至少有一个不可能 从皮亚诺算术系统中得到证明。 证：设命题为假，即初等数论中的任一真命题皆可 从皮亚诺算术系统中得到证明。对于任一给定的 自然数i， ϕi(i)↓与ϕi(i)↑这两个命题都是初等数论 中的命题，且恰有一个真，另一个为假。于是用 枚举出皮亚诺算术系统中的全部真命题的方法， 可以判定问题ϕi(i)↓?是否为真。 我们可以构造一台图灵机，模拟以上枚举算 法。如此则可用一台Turing机判定“ϕi(i)↓ ？”问 题。即K是可计算集，矛盾。