切线的性质和判定习题课
●
O
B
已知△ 已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的 中 ， 为直径的 圆交BC于 ， ⊥ 圆交 于D，DE⊥AC (1)求证 求证:DE是⊙0的切线 求证 是 的切线
E
C D
A
●
O
B
如图： ， 是上 是上⊙ 的点 线段AB 的点， 已知 如图：B，C是上⊙O的点，线段 经过圆心O，连接AC， ，过点C作 经过圆心 ，连接 ，BC，过点 作 CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B ⊥ 于 ， ∠ 求证:AC是⊙0的切线 是 求证 的切线
A D C
B
O
做一做：如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT ,OP是 的半径,∠POT=60 ,∠POT=60° 做一做：如图,OP 交⊙O 于S 点。 (1)过点 (1)过点P作⊙O的切线. 过点P 的切线. (2)过点 的切线交OT Q,判断 是不是OQ的中点, (2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点, 过点P OT于 判断S OQ的中点 并说明理由. 并说明理由. S O Q P T
C
B
A 3
E 2 1 D
●
O C B
C D
A
O
B
M H
A
D
O
E
N
C H B A D O
N
M
例2： ：
如图： 、 是 的切线， 如图：PA、PB是⊙Ｏ的切线，切点分别为 A、B、C是⊙Ｏ上一点。若∠APB=40 °, 上一点。 ACB的度数 的度数。 求∠ACB的度数。
A
O P C
B
已知： 是 的中线， 已知：AO是△ABC的中线， ⊙O与AB边相 的中线 边相 切于点D 切于点 (1)要使⊙O与AC边也相切，应增加条件 要使⊙ 边也相切， 要使 边也相切 应增加条件—— （2）增加条件后，证明⊙O与AC相切 ）增加条件后，证明⊙ 相切
切线的性质和判定
1.如图：AB是⊙O的直径，点D在AB的延长 如图： 是 的直径， 如图 的直径 在 的延长 线上， 线上，BD=OB,点C在⊙O上，∠CAB=30° 点 在 上 ° 求证： 是的切线 求证：DC是的切线
C
A
●
O
B
D
线段AB的中点 是以BC为一边的正 例3：设c线段 的中点，四边形 ： 线段 的中点，四边形BCDE是以 为一边的正 是以 方形。作以B为圆心 为圆心， 长为半径的圆 连接AD。 长为半径的圆B,连接 方形。作以 为圆心，BD长为半径的圆 连接 。 求证AD是圆 是圆B的切线 求证 是圆 的切线 • 证明：连接BD. 证明：连接
Q
X
C
A
O
B
D
例2：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切 ：已知 是 的直径， 是 的切 的直径 切点为B， 平行于弦 平行于弦AD．求证： 线，切点为 ，OC平行于弦 ．求证：DC 的切线． 是⊙O的切线． 的切线
• • • • • • • • • • • 证明：连结 证明：连结OD． ． ∵OA＝OD，∴∠ ＝∠2， ＝ ，∴∠1＝ ， ∵AD∥OC，∴∠ ＝∠3，∠2＝∠4． ∥ ，∴∠1＝ ， ＝ ． ∴∠3＝ 4． ∴∠3＝∠4． ∵OD＝OB，OC＝OC， ＝ ， ＝ ， D ∴△ODC≌△OBC． ≌ ． 2 4 3 ∴∠ODC＝∠OBC． ∴∠ ＝ ． A1 O 的切线， ∵BC是⊙O的切线， 是 的切线 ∴∠OBC＝90°． ∴∠ ＝ ° ∴∠ODC＝90°． ∴∠ ＝ ° 的切线． ∴DC是⊙O的切线． 是 的切线
D E
Q 四 边 形 BCDE是 正 方 形 ， ∴ CD=CB. Q CA=CB, ∴ CD=CA=CB. ∠ ADB=900 ,即 A D ⊥ B D . ∴ AD是 0的 切 线 。
A
C
(2005青海 已知 是⊙O的直径 ⊙O过 青海)已知 的直径,⊙ 过 青海 已知AB是 的直径 BC的中点 且DE⊥AC 的中点D,且 ⊥ 的中点 (1)求证 求证:DE是⊙0的切线 求证 是 的切线 (2)若∠C=30°,CD=10cｍ求⊙O的半径 若 ° ｍ 的半径
y(km) 600
D
500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 30° °
A C P
B
X(km)
例2：如图,台风P(100,200)沿北偏东30°方向移动,受台 如图,台风P(100,200)沿北偏东30 方向移动, P(100,200)沿北偏东30° 风影响区域的半径为200km,那么下列城市(200,380), 风影响区域的半径为200km,那么下列城市(200,380), 200km,那么下列城市 B(600,480),C(550,300),D(370,540)中 B(600,480),C(550,300),D(370,540)中,哪些受到这次台 风的影响,哪些不受到台风的影响? 风的影响,哪些不受到台风的影响?
C
●
A
D
O
B
(2006内蒙古）如图AB是⊙0的直径，BC切 内蒙古）如图 是 的直径， 切 内蒙古 的直径 ，，AC交 ⊙O于B，， 交⊙O于P,E是BC边上的中 于 ，， 于 是 边上的中 连接PE,PE与⊙O相切吗请说明理由 点，连接 与 相切吗请说明理由Leabharlann AP O●
C B E
Y
N P
H M O
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定和性质
7．(3 分)如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点， PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段 BP 的长为( A ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
8．(3 分)(湘西州中考)如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，AC，CD 是
⊙O 的两条弦，且 CD∥AB，若⊙O 的半径为 5，CD＝8，则弦 AC 的
∴CE＝BC＝6，∵12 CD·AE＝12 AC·CE，∴CD
＝61×08 ＝254
14．(14分)(盐城中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， ∠DCA＝∠B. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角 形．
证明：(1)连接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋ ∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线 (2)∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，
ห้องสมุดไป่ตู้
三、解答题(共42分) 13．(12分)(教材P102习题T12变式)(深圳中考)如图，AB为⊙O的直径， 点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长， 交AD的延长线于点E. (1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
解：(1)证明：连接 AC，OC，如图，∵CD 为切线，∴OC⊥CD，∵CD ⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴ ∠B＝∠E，∴AE＝AB (2)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝ 102－62 ＝8，∵AB＝AE ＝10，AC⊥BE，
《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
切线的判定和性质ppt
3。切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径
布置作业
习题24.2 P101-102 T4,12
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径， 再证半径垂直于该直线。（， 再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。
O
证明：连结OC(如图)。 A ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。 ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
24.2.2切 线的判定和性质
学习目标
1，切线的判定定理； 2，切线的性质定理。
学习重点
会用切线的判定定理证明圆的切线
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫直线和圆相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
O r
几何符号表达： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
A
l
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
2.5.3切线长定理
（4）垂直关系： OA⊥AP,OB⊥BP,AB⊥OP
课后作业： 课本P75-76习题2.5第5.6.11题
处事，如线段，有始有终； 求知，如射线，只有起点……
感谢倾听，再见！
AP
O. C
B
Q
1.切线长定义： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点
间的线段的长称为切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们
的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这 两条切线的夹角。
3.（1）线段的相等关系： OA=OB,PA=PB,AC=BC
（2）角的相等关系： ∠1=∠2 ∠AOP=∠BOP ∠OAP=∠OBP=90O
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
1、如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，则下列
说法正确的是（ C ）
A.∠BAC＝60°
B.OB＝AC，OC＝AB
C.AB＝AC，∠BAO＝∠CAO
2、如图，AB、AC切⊙O于B、C两点，连接AO，
若OC＝6，OA＝10，则切线长AB＝（ C ）
切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长。
A
比一比
O·
P
切线与切线长是一
B
回事吗？它们有什
么区别与联系呢？
切 线: 是直线，不可以度量； 切线长: 是线段，可以度量。
A
。
P
O
B
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
切线长定理 ：从圆外 一点可以引圆的两条 切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线 的夹角。
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
24.2.2 切线长定理课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
A D
P
C
O
课堂练习
2.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=12_0_°___.
A
（2）若∠A=80 °，则∠BIC =130 度.
I
（3）若∠BIC=100 °，则∠A =20 度.
B
C
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
课堂练习
（2）
【例1】如图,边长为4的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径,CF是⊙O的切线,E
是切点,点F在AD上,BE是⊙O的弦,求△CDF的面积.
D
C
解：设AF=x.
∵四边形ABCD是正方形. ∴∠DAB=90º,即DA⊥AB.
E
∵AB是⊙O的直径. ∴AD是⊙O的切线.
F
∵CF是⊙O的切线,E是切点. ∴EF=AF=x.
能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的 位置关系？
O
O
最大的圆与三角
形三边都相切
O
O
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
A
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D
3、以I为圆心、ID为半径作⊙I
I
⊙I就是所求的圆
N
M
B
D
C
知识要点
1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
圆的切线判定和性质(复习课)教学设计
圆的切线判定和性质（复习课）教学设计【教学目标】1. 掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。
2. 掌握圆的切线常用添加辅助线的方法【教学重点】对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．【教学难点】综合型例题分析和论证的思维过程．【教学方法】讲练结合，培养思维，提升能力【教学过程】一、复习提问:二、1、切线的判定方法有那些?（1）定义:一条直线和圆只有一个公共点,这条直线叫做 O 圆的切线.这个点叫做圆的切点. A L （2）设⊙O 的半径为r,圆心到直线的距离为d.当d=r 时，直线和圆相切.（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 几何语言表述：∵ OA 是半径， 直线l ⊥OA 于点A∴ 直线l 是⊙O 的切线2、切线的性质有那些?（1）圆的切线和圆有唯一的公共点.（2）设⊙O 的半径为r ，圆心到直线的距离为d.当直线和圆相切时，d=r.（3）切线的性质定理：圆的切线垂直与经过切点的半径.几何语言表述：∵ 直线l 是⊙O 的切线，A 为切点 0 ∴ OA 是半径，直线l ⊥OA A LoA r o A r练习：判断下列各句是否正确(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）二、知识运用1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，O并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
A C B2、已知：如图，O为∠BAC平分线上一点， D B OD⊥AB于D, 以O为圆心，OD为半径作⊙O。
A O求证：⊙O与AC相切。
C3、已知：如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2.求：⊙O的半径长是多少？4、已知：如图，AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点, DAD和过C点的切线互相垂直,垂足为D. C求证:AC平分∠DAB. O B 5、（能力提升）已知：如图，CD 是∆ABC 中的AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交 CA ，CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点. C 求证：GE 与⊙O 相切. E O O O 【课堂小结】 A E D B1、切线判定定理内容 辅助线作法（1）有交点，连半径，做垂直（2）无交点，作垂直，证半径2、切线性质定理内容【布置作业】练习题1、2、3、4【板书布置】圆的切线判定和性质（复习课）1、切线的判定定理内容 O 辅助线作法： A2、切线的性质定理内容OA G DB E Co A r。
课题：切线的性质与判定复习题2
九年级数学作业纸 课题：切线的判定与性质复习作业纸 （1）
设计：刘德强 时间 2017-11-6 班级 姓名 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（ ） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（ ） A．20° B．30° C．35° D．40°
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（ ） A．80° B．50°或130° C．100° D．40°
5．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（ ） A．8 B．16 C．16π D．8π 7．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（ ） A．50° B．60° C．70° D．75°
第6题图 第7题图 二．填空题（共6小题） 8．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为 ． 9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，∠P=50°，∠C= ．
10．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，如果PA=10，那么△PDE的周长是 ．若∠P=5O°，那么∠DOE= ． 11．如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则AD的长为 ． 三．解答题 19．．如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC，AD平分∠EAC。求证：BC是圆O的切线．
教学课件：第2课时切线的判定定理
在运动学中，切线定理可以用于描述物体的运动轨迹。例如，当物体沿着曲线运 动时，其速度方向与运动轨迹的切线方向一致。
力学
在力学中，切线定理可以用于描述力的方向和作用点。例如，当一个力作用在一 个物体上时，其方向与该物体运动轨迹的切线方向垂直。
05 练习与思考
基础练习题
总结词：巩固基础 练习题2：已知直线方程为x+y=1，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程。
切线定理在解析几何中的应用
直线方程
切线定理可以用于确定直线的方程。 通过切线的斜率和一点，我们可以确 定直线的方程，这在解决解析几何问 题时非常有用。
曲线方程
切线定理也可以用于确定曲线的方程 。通过切线的斜率和一点，我们可以 确定曲线的方程，这对于解决解析几 何问题非常有帮助。
切线定理在物理问题中的应用
教学课件：第2课时切线的判定定 理
目 录
• 引言 • 切线的定义与性质 • 切线的判定定理 • 切线定理的应用实例 • 练习与思考
01 引言
主题简介
切线的判定定理
切线的判定定理是几何学中的一个重 要定理，它用于确定一个点是否在给 定曲线上。
切线与曲线的位置关系
判定定理的应用
判定定理在几何、物理和工程等领域 有广泛的应用。
一条，请证明。
THANKS FOR WATCHIN外一点作圆的两条切线，则这点到圆 心的两条线段相等。
03 切线的判定定理
切线的判定定理
切线的判定定理
01
若一条直线与圆有交点，且连接交点和圆心的线段垂直于这条
直线，则这条直线为圆的切线。
判定定理的数学表达式
02
若直线$l$与圆$O$在点$P$相交，且$OP perp l$，则$l$为圆
《切线的性质和判定》PPT
，则AB的长是(
C)
A．4
B．2 3
C．8
D．4 3
知2－练
2 【中考·无锡】如图，菱形ABCD的边AB＝20， 面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD 都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于( C ) A．5 B．6 C．2 5 D．3 2
知2－练
3 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内， x轴与⊙P相切于点Q，y轴与⊙P相交于M(0，2)， N(0，8)两点，则点P的坐标是( D ) A．(5，3) B．(3，5) C．(5，4) D．(4，5)
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮 的什么方向飞出去的?
动手做一做
• 画一个⊙O及半径OA，画一条直线l经过 ⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条 半径OA，则圆心O到直线l的距离是多少？ 直线l和⊙O有什么位置关系？
●
O┐ A
l
知识归纳
切线的判定定理
经过半径的外端点且垂直于 这条半径的直线是圆的切线
知2－练
4 【中考·宜昌】如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在
一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点 C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的 14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是 ( C) A．圆形铁片的半径是4 cm B．四边形AOBC为正方形 C．弧AB的长度为4π cm D．扇形OAB的面积是4π cm2
总结
知1－讲
(1)半径处处相等可得等腰三角形，从而底角相等； (2)切线垂直于过切点的半径得直角三角形，从而
两锐角互余．
知1－练
1 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30°求⊙O的半径.