计算物理方法(Sec3)

三、Metropolis 随机抽样方法
在随机游动的Monte Carlo方法中，有一种最常用方法称为 Metropolis方法，它是重要抽样法的一个特殊情况；采用此 方法可以产生任意分布的随机数，包拈无法归一化的分布密 度函数。Metropolis方法是通过某种方式的”随机游动”来 实现的。只要这个随机游动过程拉照一定规则来进行，那么 在进行大量的游动，并达到平衡之后所产生的点的分布就满 f (x 足所要求的分布 ) 。Metropolis方法所采用的游动规则 是选择一个从x 点游动到x’ 点的“过渡几率” w( x x' ) ， x0 , x1, x2 ...... 的分布收敛到 使得它在游动中所走过的点 系统达到平衡时的分布 f (x ) 。要达到这样的重要抽样的 目的，就需要对过渡几率 w( x x' ) 的选择加上适当的限制：
* DF ( x, t; x0 , t0 0) n ( x)n ( x0 )e En / n
当 足够大时，特别是在 /( E1 E0 ) 时( E0 是基态能 E1 为第一激发态的能量)，上式的右边主要是来 量， 自能量最小的基态能量 E0 的贡献。如果我们取 x0 x并 忽略其他的贡献项，则有
有：
x eipx p
p
i p 2 i p 2 ip ' xn ipxn1 xn exp e p xn 1 p ' exp e p, p ' 2m 2m i p 2 ip ( xn xn1 ) exp e p 2m
在某个时刻 t ，某空间位置 x 的波函数应当是来自 所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。即
( x, t )

D

F
( x, t; x0 , t0 ) ( x0 , t0 )dx0
上式中的 DF ( x, t; x0 , t0 ) 称为“传播子”。它表示在初 t0 姑时刻 ，空间位置 x0 点的波函数值对下一时刻 t ， 在x点上的波函数值的贡献强度。该传播子可以表示为
这种方法在求解一维基态波函数时优越性并不明显。但是 在更复杂的量子力学计算中，采用路径职分方法就显示出极大 的优越性。这半要是由于在传统的场论计算中，势函数的作用 是用在真空上的微扰方法来处理的；而在路径积分中，是将势 函数插入到作用量积分中去求数值解，事实上是在做精确计算 的尝试。前一种方法对电弱作用的计算很有效，但对于有强相 互作用的问题，其使用价值不大。在强相互作用中，矩阵元不 能够以强耦合常数展开为收敛的级数。另一个优点是该方法将 时空离散化为格点，这将带来数值计算上的方便。此外，采用 Metropolis游走方法来选择具有代表性的态是非常有用的。该 方法不仅可以以简洁的数组方式给出场的描述，还能够对积分 加上截断，以保证在将格点上的离散时空延拓到连续时空时微 扰理论的重整化。
为求解区域D的边界，s为边界 上的点。这 里我们采用等步长h的正方形格点划分的差分法。 在区域D内的任意正则内点o(其相邻的节点都在 区域D内)的函数值可以用周围四个邻近点1，2， 3，4上的函数值来表示。这个表达式有如下差 分方程表示
前面所述类型的随机游动或链具有如下特征；它在游走 中任一阶段的行为都不被先前游动过程的历史所限制，即 区域内的点可以被多次访问，这种随机游动过程叫做马尔 科夫过程。又因为游动最终会终止在边界上，故而上述的 这类游动也称为马尔科夫链。马尔科夫涟正是这样生成相 继各状态的，它使得后一个状态在前一个状态的邻近。由 此可以知道相继各状态之间的确存在着关联。马尔科夫链 是分子动力学中由运动方程生成的轨道在概率方面的对应 物。对统计力学系统进行蒙特卡洛模拟计算将在本章第4 节中介绍。另外还有一种非马尔科夫过程。自规避随机游 动过程就是属于这一类。在这个过程中任何一步的游动概 率都要考虑前面游动的历史，因而游动将有可能在碰到边 界前就被强行终止掉。随机游动对一些更抽象的问题也是 非常有用的。
取连续极限得到
mh 其中常数 A ， S 为沿路径的经典作用量。 i
1 dx 2 S Ldt m V ( x(t )) dt 2 dt t0 t0
t t
上式表示传播子是由连接初态 ( xt0 , t0 ) 和末态 ( xt , t ) 的 exp[iS / ] 所做的贡献。其中 L 是系 所有路径，通过相因子 统的拉氏量。上式中 S[ x0 , x] 是所有各种可能的分 段直线段构成的路径 ( xt0 xt0 ... xt xt0 N ) 之和的总作用量。同样，如果我们假定将 t 延拓到虚数范 围时，上述等式仍然成立。令 t i ，则上式中的作用量 S[ xk , xk 1 ] 可以推出为
( x x0 )
函数在被积函数中，则上式可等价写为
上面的公式显示出量子力学中的费曼路径积分在欧氏时空的 表示，揭示出量子理论与统计力学之间的深刻联系。这时的 路径积分与配分函数两者在数学上是相同的，因而我们可以 用计算经典统计力学配分函数的做法来计算路径积分问题。
二、路径积分量子蒙特卡洛方法 下面我们就用路径积分蒙特卡洛方法求解薛定锷方 程的基态能量和基态波函数的数值。从上面两个公式 可以使我们联想到玻尔兹曼分布。变量 {xi } 的位 形分布密度函数正好是将玻尔兹曼分布中的 kBT 换 / 。 0 ( x) |2 可以被视为函数 ( x x0 ) 在位形 | 成 {x0 , x1,...,xN } (每个位形对应一条路径) 在此分布下的 平均位。其分布的数学表示为
i ˆ DF ( x, t; x0 , t0 ) x | exp H (t t0 ) | x0 如果 n ( x) 为与时间无关的哈密顿算符的本征态波 函数，它满足的薛定锷方程为
ˆ Hn ( x) Enn ( x)
于是：
( x, t ) cnn ( x)eiE t /
步的坐标和几率都确定下来。
从上面的分析可以看出：查点法只有在总步数较小时才可 以应用，N比较大时用起来就比较困难了。对比查点法， 蒙特卡洛方法就可以克服在游动中的这个困难，具有可操 作性。蒙特卡洛方法可以对许多步的游动过程进行抽样。
我们以随机游动的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程 中的应用作为例子。若该泊松方程及其边界条件为
n
n
其中：

cn
于是：

* dx0 n ( x0 ) ( x0 ,0)
DF ( x, t; x0 , t0 0) x | n e iEnt / n | x0
n * n ( x ) n ( x0 )e iEnt / n
假定该等式在延拓到t为虚值时仍成立，令t i ，则有
• 醉汉的一维行走问题
• 初始： 电杆位置 x=0，步长 l ，每一步的取向是 随机的，右行几率为 p，左行几率为q=1-p。
• 问题：醉汉在行走N步以后，离电杆的距离为x的概 率 PN (x) 。有了 PN (x) 后，可以计算：
• 可用概率理论解析地分析
虽然这里用了很简单的解析方法得到上式，但是一般情 况下，能精确求解游动问题的技术却不是这样简单。有两种 重要的方法可以用于游动问题，它们是查点法和蒙特卡洛 方法。 查点法：对给定的行走总步数N及总位移x，要求把游动时可能的每一
这里存在的一个关键问题是：上面公式中给出的 具体形式计算起来并不方便。在计算归一化常数 时，包含了一个积分。这个计算实际上是一个高维的 多重积分的计算。费曼路径积分量子化的欧氏积分表 示中的积分计算也仍然主要是个蒙特卡洛计算问题， 对它们的积分计算可以离散化为对路径的求和。但是 采用一般随机抽取位形点的办法，效率是很低的。尤 其是在此高级空间中做均匀抽样时，由于 e E / 指数项的缘故，大量的点会落到对求和贡献非常小的 区域。 此时如果我们采用马尔科夫随机游动的重要抽 样方法——Metropolis方法，将是十分有效的。利用 Metropolis方法，按照类似玻尔兹曼分布的分布函数来 抽取若干位形 {x0 , x1,....,xN } ，便可以计算出基态波函数 | 0 ( x) |2的估计值，然后对该估计值求平均便得到 | 0 ( x) |2 的值。
两个重要的概念
• 随机行走的概念 ----行走方向的几率 ----按该几率实现行走 • 路径平均、路径求和、路径积分的概念 ----某一路径给出所求物理量的一个值 ----不同路径给出不同值 -----对所有路径给出的值求平均
第三节 量子Monte Carlo 方法
• 量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量、我们 有分布密度函数的关系式
DF ( x, i ; x, t0 0) | 0 ( x) |2 e E0 /
于是：
| 0 ( x) |2 eE0 / DF ( x, i ; x, t0 0)
利用归一化的要求，基态波函数绝对值的平方可 用传播子表示为
我们现在必须计算传播子。将 t t0 时间间 隔分为N 1 t t 个等时间间隔 的小区间，则此 0 间隔为 ，并且 tk t0 k ， N 1 ( k 0,1,...,N 1 ) 。根据完备座标表象的关 系式
于是：
类似前面的推导，上式中指数中有一个路径积分，它 的积分是沿路径 xt xt ... xt xt N ，即我 们把路径积分的空间起终点 x0 和 xN 1 分别放在 x 上， 则该积分为
0 0 0
因而对于每一条路径，就有一个能量。上式于是有 如下形式；
由于 x x0 ，并对 x0 进行积分，此时须加进一个
第三部分
Monte Carlo 方法
第一节 用Monte Carlo 方法模拟 凝聚态物理系统的基本思想
凝聚态系统的随机特性： 1. 粒子系统量子态的量子随机性 2. 大量粒子的热统计随机性