2011高考数学基础知识训练(25)
2011年高考数学试卷(含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1) 复数212ii +-的共轭复数是 (A) 35i - (B) 35i (C) i - (D) i(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2(B)y=|x|+1(C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120(B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-(B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （C ） （B ） 2 （D ）3（8）51()(2a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40 （9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（A ）310 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减 （B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减（C ）()f x 在(0,)2π单调递增 （D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）
2011年新课标高考数学试题及答案（理科）Part IV Translation & WritingTranslationA. Translate the following sentences from Chinese intoEnglish.1) 约翰同时干许多事情。
我觉得他应当休息一下。
(work on, all at once, take a break)John works on many things all at once. I think he should takea break2) 杨教授说的话有着神奇的力量。
许多同学接受他的忠告，开始专注学业了。
(what, magical, advice, focus on)What Prof. Yang said has magical power. On his advice, many students began to focus on their schoolwork.3) 由于星期天晚上汤姆没有提示他将做何种选择，我无法弄清楚他会如何完成这项任务。
(clue, option, fgure out, accomplish) As Tom gave no clue Sunday night about which option he would choose, I can’t figure out how he will accomplish the task4) 我的父亲是极负责任的人。
虽然他总是很忙，但他设法每天都给家庭留出一些时间。
(responsibility, on the go, set aside) My father is a man of great responsibility. Though he is on the go all the time, he manages to set aside some time for the family every day.5) 这个项目的成功与否取决于我们如何确定轻重缓急。
2011年江西高考高中数学基础知识归纳
2011年江西高考高中数学基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .（3）A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ； ⑥利用均值不等式 2222ba b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
2011届高考数学基础知识复习题6
备考2011高考数学基础知识训练（6）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1.0sin 600=___________2. 已知1249a =(a>0) ，则23log a = . 3. 复数1__________2ii+=-4. 若0,x >则131311424222(23)(23)4()x x x x x -+⋅--⋅-＝ ．5. 函数2231()2x x y -+=的值域为 ．6. 函数f (x )=x 3+x +1(x ∈R )，若f (a )=2，则f (－a )的值为 ．7. 设Q P 和是两个集合，定义集合}{Q x P x x Q P ∉∈=-且,|，若{}4,3,2,1=P ， }R x x x Q ∈<⎩⎨⎧+=,221|，则=-Q P .8. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：加密 发送明文 密文 密文 明文已知加密为2-=x a y (x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”， 再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是 . 9. 方程223xx -+=的实数解的个数为 ．10. 已知数列{}n a ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}lg n a 为等差数列”的______条件 (填写：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)11．关于函数有下列四命题),0()(>-=a xax x f ： ①),0()0,()(+∞-∞ 的值域是x f ； ②)(x f 是奇函数； ③()(,0)f x -∞在及(0,)+∞上单调递增；④方程|()|(0)f x b b =≥总有四个不同的解； 其中正确的有 ．12. 若函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2；则m 的取值集合为 ．13. ()y f x =在(0,2)上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是 ．14. 已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t=________．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15．（14分）已知集合A ={2215x x x --≤0}，B={22(29)9x x m x m m --+-≥0，m R ∈}（1）若[]3,3A B ⋂=-，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围．16．（14分）已知函数()f x m n = 其中(sin cos )m x x x ωωω=+(cos sin ,2sin ),0,()n x x x f x ωωωω=-> 其中若相邻两对称轴间的距离不小于.2π（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中 ,最大时当ω ABC A f ∆=求,1)(的面积.17．（14分）已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设 *)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{（1）求证：}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n ．18．（16分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2010年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（16分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，求函数()f x 最大值；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．20．（16分）已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数bx a bx x g 21)(2+-=， （1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根()2121,x x x x <，则①证明函数)(x f 在（－1，1）上是单调函数；②若方程0)(=x f 的两实根为()4343,x x x x <，求使4213x x x x <<<成立的a 的取值范围．参考答案： 1、2. 解：由1249a =得2442()()93a ==， ∴422332log log ()43a ==.答案：4. 3、 135i+4.解：131311424222(23)(23)4()x x x x x -+---=11322434423x x --+=-． 答案：－23．5. 解：设1()2uy =,2232u x x =-+≥,所以结合函数图象知,函数y 的值域为1(0,]4．答案：1(0,]4．6.解：3()1f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=，故()11f a --=-，即()0f a -=．答案：0．7.解：由定义}{Q x P x x Q P ∉∈=-且,|，求P Q -可检验{}4,3,2,1=P 中的元素在不在}R x x x Q ∈<⎩⎨⎧+=,221|中，所有在P 中不在Q 中的元素即为P Q -中的元素，故=-Q P {}4.答案：{}4.8. 解：由已知，当x=3时y=6，所以326a -=，解得2a =；∴22x y =-；当y=14时，有2214x-=，解得x=4. 答案：“4”．9.解：画出函数2xy -=与23y x=-的图象，它们有两个交点，故方程223x x -+=的实数解的个数为2个.答案：2.10、 必要不充分条件11．解：x =()0f x =，故①不正确；|()|0f x =只有2个解，故④不正确；∴正确的有②③. 答案：②③．12. 解：由223y x x =-+即2(1)2y x =-+,结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时, 能使得函数取到最大值3和最小值2. 答案：[1,2].13. 解：结合图象分析知：()y f x =的图象是由(2)y f x =+的图象向右平移两个单位而得到的；而(2)y f x =+是偶函数，即(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于x=2对称，画出图象可以得到75()(1)()22f f f <<. 答案：75()(1)()22f f f <<．14.解：二次函数22y x x t =--图像的对称轴为1,x =函数t x x y --=22的图像是将二次函数22y x x t =--图像在x 轴下方部分翻到x 轴上方（x 轴上方部分不变）得到的.由区间[0，3]上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15t =或；检验5t =时，(0)52f =>不符，而1t =时满足题意．答案：1．15. 解：(Ⅰ)∵[3,5]A =-，(][),9,B m m =-∞-⋃+∞ …………………… 4分[]3,3A B ⋂=-, ∴ 935m m -=⎧⎨≥⎩ ∴12m = …………………… 7分 (Ⅱ) {9}R C B x m x m =-<<…………………… 9分 ∵R A C B ⊆ ∴5,93m m >-<-或，…………………… 12分 ∴56m << ……………………14分16.解： （Ⅰ）x x x x x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22⋅+-=⋅=x x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ………………3分0>ω ,22)(ωπωπ==∴T x f 的周期函数……………4分 由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是即……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，)62sin(2)(π+=∴x x f 1)(=A f 21)62sin(=+∴πA ……………8分 而132666A πππ<+<ππ6562=+∴A 3π=∴A ………………10分 由余弦定理知bca cb A 2cos 222-+= 22b c bc 3,b c 3∴+-=+=又 (12)联立解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2112c b c b 或………11分23sin 21==∴∆A bc S ABC ……14分 注:或用配方法不求b ，c 值亦可17. 解：（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈=12log 3,2log 3141141=-=-=a b a b n n3log 3log 3log 3log 341141411411===-=-∴+++q a a a a b b nn n n n n ∴数列3,1}{1==d b b n 公差是首项的等差数列……………………7分 （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S 两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S.)41()23(211+⨯+-=n n *)()41(3812321N n n S n n ∈⨯+-=∴+……………………14分18. 解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，∴231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯元.∴2010年的利润)168(]1685.1[m x xxx y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m …8分（2）∵0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+.∴82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =时，max 21y =.………………15分 答：该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.……16分注：导数法求解酌情给分19. 解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，--------- 1分2121()21x x f x x x x--'∴=-+=-------------------- 2分令()0f x '=，即2210x x x---=，解得12x =-或1x =．0x >Q ，12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．--- 6分（2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞，所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+==①当a=0时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意---------------------------------- 8分②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1x a>． 此时()f x 的单调递减区间为1(,)a+∞．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．------------------- 12分③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即12x a>· 此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，11,20.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤- 14分 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U ----------- 16分 法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q2221()a x ax f x x-++'∴=由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．----------------------------------8 ① 当0a =时，10≤不合题意---------------------------------- 1 0② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 ---------------------------------- 14注：发现必过定点（0，1）解题亦可1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞U----------------------------------1620. （Ⅰ）∵)(x f 为偶函数，∴()()f x f x -=，∴0bx =，∴0b =∴21()g x a x=-，∴函数()g x 为奇函数；……（4分） （Ⅱ）⑴由x bx a bx x g =+-=21)(2得方程(*)0122=++bx x a 有不等实根 ∴△0422>-=a b 及0≠a 得12>ab即1122b b a a -<-->或3eud 教育网 教学资源集散地。
2011年高考数学试题汇编-三角函数(含答案)
2011年高考数学试题汇编-三角函数一， 角的定义、诱导公式与三角恒等变换1.（辽宁7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A2.（福建3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D3.（全国新课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【答案】B4.（浙江6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ） A ．33 B ．33-C．539D ．69-【答案】C5.（重庆14）已知1s i n c o s 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则c o s 2s i n 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________【答案】142-6.（全国大纲理14）已知a ∈（2π，π），sinα=55，则tan2α=__________【答案】43-7.（江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________【答案】948.（上海理6）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是_______千米。
【答案】6二， 三角函数的性质1.（山东6）若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ） A ．3 B ．2 C ．3/2D ．2/3 【答案】C2.（湖北3）已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈【答案】B3.（全国新课标11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增【答案】A4.（安徽9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭（B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 5.（上海8）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为_______ 。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国新课标理
2011年全国新课标理一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数2+i1−2i的共轭复数是 A. −35i B. 35i C. −i D. i2. 下列函数中，既是偶函数，又在0,+∞单调递增的函数是 A. y=x3B. y=∣x∣+1C. y=−x2+1D. y=2−∣x∣3. 执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. 13B. 12C. 23D. 345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= A. −45B. −35C. 35D. 456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 A. B.C. D.7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，∣AB∣为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 38. x+ax 2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. −40B. −20C. 20D. 409. 由曲线y=x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为 A. 103B. 4 C. 163D. 610. 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈0,2π3p2:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈2π3,πp3:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈0,π3p4:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈π3,π其中的真命题是 A. p1,p4B. p1,p3C. p2,p3D. p2,p411. 设函数f x=sinωx+φ+cosωx+φ ω>0,∣φ∣<π2的最小正周期为π，且f−x=f x，则 A. f x在0,π2单调递减 B. f x在π4,3π4单调递减C. f x在0,π2单调递增 D. f x在π4,3π4单调递增12. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共4小题；共20分）13. 若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9，则z=x+2y的最小值为．14. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为22,过F1的直线l 交C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O−ABCD的体积为．16. 在△ABC中，B=60∘，AC=3，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 等比数列a n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列1b n的前n项和．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值．19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=−2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,−1，B点在直线y=−3上，M点满足MB∥OA,MA⋅AB=MB⋅BA，M点的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21. 已知函数f x=a ln xx+1+bx，曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为x+2y−3=0．（1）求a,b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f x>ln xx−1+kx，求k的取值范围．22. 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2−14x+mn=0的两个根．（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若∠A=90∘，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα,（α为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求∣AB∣．24. 设函数f x=∣x−a∣+3x，其中a>0．（1）当a=1时，求不等式f x≥3x+2的解集；（2）若不等式f x≤0的解集为x∣x≤−1，求a的值．答案第一部分 1. C 【解析】2+i 1−2i= 2+i 1+2i1−2i 1+2i=5i 5=i2. B3. B【解析】写出每一次循环后的k 和p 的值，第六次循环后k =6和p =720，此时不满足k <N ，退出循环．4. A 【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为"甲1 "，则基本事件为 " 甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3 "，共9个．记事件A 为 " 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组 "，其中事件A 有 "甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3 "，共3个．因此P A =39=13． 5. B6. D 【解析】此几何体为组合体，由半个圆锥和一个三棱锥组合而成．7. B8. D【解析】因为 x +ax 2x −1x 5的展开式中各项的系数和为2，所以令x =1，得a +1=2，从而a =1．2x −1x 5的展开式中的第r +1项为T r +1=C 5r 2x 5−r −1x r=C 5r 25−r −1 r x 5−2r ． 当r =2时，为含x 的项；r =3时，为含x −1的项，所以展开式中的常数项为C 52⋅23−C 53⋅22=40．9. C【解析】因为直线y =x −2与y = x 的交点坐标为 4,2 ，所以所求面积为x−x +2 d x 40= 23x 32−12x 2+2x ∣∣∣04=163．10. A【解析】用p 1举例，若∣a +b∣>1，则两边平方可得2cos θ+2>1，解得0≤θ<2π3，反之也能推得成立，所以充分性和必要性都成立，p 1是真命题；同理可以证明p 4正确． 11. A 【解析】f x = 2sin ωx +φ+π4 ，所以ω=2． 又因为f x 为偶函数，所以φ+π4=π2+kπ,k ∈Z ，又∣φ∣<π2，所以φ=π4， 所以f x = 2sin 2x +π2 = 2cos2x ． 12. D 【解析】如图，两个函数的图象有8个交点，且两个函数的图象都关于点 1,0 对称，故横坐标之和为8． 第二部分13. −614. x216+y28=115. 8316. 2【解析】由正弦定理AB sin C =ACsin B=BCsin A,得AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C+4sin120∘−C=4sin C+23cos C=27sin C+φ.所以AB+2BC的最大值为27．第三部分17. （1）设数列a n的公比为q，由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．由条件可知q>0，故q=13．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13．故数列a n的通项公式为a n=13n．（2）结合（1）可得b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n=−1+2+⋯+n=−n n+12.故1 n =−2=−21−1.所以1 1+12+⋯+1n=−21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=−2n n+1.所以数列1b n 的前n项和为−2nn+1．18. （1）因为∠DAB=60∘，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A1,0,0，B 0,0，C −1,0，P0,0,1，故AB= −1,3,0,PB=0,3,−1,BC=−1,0,0.设平面PAB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AB=0,n⋅PB=0.即−x+3y=0,3y−z=0.因此可取n=3,1,3.设平面PBC的法向量为m，则m⋅PB=0,m⋅BC=0.可取m=0,−1,− 3,所以cos m,n=−427=−27.故二面角A−PB−C的余弦值为−277．19. （1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94，94,102，102,110的频率分别为0.04、0.54、0.42，因此P X=−2=0.04,P X=2=0.54,P X=4=0.42,即X的分布列为X−224P0.040.540.42X的数学期望值EX=−2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.20. （1）设M x,y，由已知得B x,−3,A0,−1．所以MA=−x,−1−y,MB=0,−3−y,AB=x,−2.再由题意可知 MA+MB⋅AB=0，即−x,−4−2y⋅x,−2=0．所以曲线C的方程式为y=14x2−2．（2）设P x0,y0为曲线C:y=14x2−2上一点，因为yʹ=12x，所以l的斜率为12x0．因此直线l的方程为y−y0=12x0x−x0，即x0x−2y+2y0−x02=0．则O点到l的距离d=∣002∣x0+4．又y0=14x02−2，所以d=12x2+42=12x02+4+2≥2,当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21. （1）fʹx=a x+1x−ln xx+12−bx2,由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点1,1，故f1=1,fʹ1=−1 ,即b=1,a−b=−1 ,解得a=1,b=1.（2）由（1）知f x=ln x+1,所以f x−ln xx−1+kx=11−x22ln x+k−1x2−1x.考虑函数ℎx=2ln x+k−1x2−1xx>0,则ℎʹx=k−1x2+1+2xx2.（i）设k≤0，由ℎʹx=k x2+1−x−12x2知，当x≠1时，ℎʹx<0．而ℎ1=0，故当x∈0,1时，ℎx>0，可得12ℎx>0;当x∈1,+∞时，ℎx<0，可得11−x2ℎx>0．从而当x>0，且x≠1时，f x−ln x+k>0,即f x>ln xx−1+kx.（ii）设0<k<1．由于当x∈1,11−k时，k−1x2+1+2x>0,故ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,11−k 时，ℎx>0，可得11−xℎx<0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,+∞时，ℎx>0，可得11−x2ℎx<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为−∞,0．22. （1）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ,即AD =AE. 又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ,所以C ,B ,D ,E 四点共圆．（2）m =4，n =6时，方程x 2−14x +mn =0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD =2,AB =12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．因为C ,B ,D ,E 四点共圆，所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ． 由于∠A =90∘，故GH ∥AB ，HF ∥AC ．HF=AG =5,DF =112−2 =5,DH=5 2.故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 23. （1）设P x ,y ，则由条件知M x 2,y2 ． 由于M 点在C 1上，所以x2=2cos α,y2=2+2sin α, 即x =4cos α,y =4+4sin α,从而C 2的参数方程为x =4cos α,y =4+4sin α,α为参数 .（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1=4sin π, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2=8sin π. 所以∣AB∣=∣ρ2−ρ1∣=2 3.24. （1）当a =1时，f x ≥3x +2可化为∣x −1∣≥2．由此可得x ≥3 或 x ≤−1.故不等式f x ≥3x +2的解集为x ∣x ≥3 或 x ≤−1 .（2）由f x ≤0得∣x −a∣+3x ≤0，此不等式可化为不等式组x ≥a x −a +3x ≤0 或 x ≤a a −x +3x ≤0即x ≥a x ≤a 4 或 x ≤a x ≤−a 2因为a >0，所以不等式组的解集为x ∣x ≤−a . 由题设可得−a 2=−1，故a =2．。
高考数学基础知识专项练习(含答案)
高考数学基础知识专项练习(含答案)以下是高考数学基础知识专项练，共有20道题目，每题均有详细解答。
1.已知函数$f(x)=3x+5$，求$f(-2)$的值。
解：直接将$x=-2$代入原函数，得$f(-2)=3*(-2)+5=-1$。
答案：$-1$2.解不等式$x-8\leq12$。
解：将不等式两边加上8，得$x\leq20$。
答案：$x\leq20$3.化简$\dfrac{6x^3}{9x^4}$。
解：将分子和分母同时除以$3x$，得$\dfrac{2}{3x}$。
答案：$\dfrac{2}{3x}$4.若$3x^2-6x=a$，求$x$的值。
解：将方程移项，得$3x^2-6x-a=0$，再利用求根公式，得$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$。
答案：$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$5.已知等差数列的公差$d=3$，首项$a_1=2$，求第10项的值。
解：利用等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_{10}=2+9*3=29$。
答案：$29$6.已知直角三角形两直角边分别为3和4，求斜边长。
解：使用勾股定理，得斜边长$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答案：$5$7.若$f(x)=x^2-2x+5$，求$f(3)$的值。
解：直接将$x=3$代入原函数，得$f(3)=3^2-2*3+5=7$。
答案：$7$8.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，求$f(2)$的值。
解：直接将$x=2$代入原函数，得$f(2)=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$。
答案：$\dfrac{1}{3}$9.化简$2y-4y^2-3y+1$。
解：将同类项相加，得$-4y^2-y+1$。
答案：$-4y^2-y+1$10.已知函数$f(x)=\sqrt{x+3}$，求$f(1)$的值。
解：直接将$x=1$代入原函数，得$f(1)=\sqrt{1+3}=2$。
2011高考数学基础知识训练(16)
2011高考数学基础知识训练（16）一、填空题：1． 复数z ＝（m －1）i ＋ m 2－1是纯虚数，则实数m 的值是 ．2． 化简：AB DF CD BC +++＝ ．3． 设211()1x x f x x x-<⎧⎪=⎨⎪⎩≥1，，，，则f （f （2））的值是 ．4． 若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，推测出()f n ＝ ．5． 函数y ＝cos x 的图象在点（π3，12）处的切线方程是 ． 6． 已知α，β均为锐角，且21sin sin -=-βα，1cos cos 3αβ-=，则c o s ()αβ-= ．7． 估测函数f(x)=x e x1-的零点所在区间是_________(要求区间长度41≤，e ≈ 2.71) 8． 某海域上有A ，B ，C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8 n mile ，A ，C 之间相距5 n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距 n mile ． 9．函数)23(log )(221x x x f --=的单调递增区间是 ．10．若经过点P （－1，0）的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 ．11．集合A ＝{}2<x x ，B ＝{}0652<--x x x ，则A ∩B ＝ ．12．当1>x 时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 13．下列各函数：①1y x x =+ ②1sin sin y x x =+，π0 2x ∈（，）③2232x y x +=+ ④42x x y e e =+- 其中最小值为2的函数有 ．（写出符合的所有函数的序号）14．已知y x ,满足约束条件22,022011y x y x y x x +⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥则的最小值是 ．二、解答题：15．已知函数x x x f 2)(2+=，函数()x g 与()x f 的图象关于原点对称. （1）求函数()x g 的解析式；（2）解不等式()()1--≥x x f x g .16．已知向量a =（3sin α，cos α），b =(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，），且a ⊥b ．（1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．17．已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆224936x y +=有相同的焦点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．18．已知各项均为正数的等差数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n ＝a n 2＋5a n ＋6；等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 15；数列{c n }满足c n ＝a n b n ．（1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和T n ．19．国际上常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100⨯=消费支出总额食品消费支出总额n ，各种类型家庭的n 如下表所示：家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕 nn>60%50%<n ≤60%40%<n ≤50%30%<n ≤40%n ≤30%根据某市城区家庭抽样调查统计，2003年初至2007年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加720元，其中食品消费支出总额每年平均增加120元；（1）若2002年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额9600元，问2007年底能否达到富裕？请说明理由；（2）若2007年比2002年的消费支出总额增加36%，其中食品消费支出总额增加12%，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由．20．已知函数()3225f x x ax x =+-+． （1）若函数f x （）在（23，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a 的值； （2）是否存在正整数a ，使得f x （）在（13，12）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a 的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题： 1．－12．AF3．0 4．21n n ++ 5．313π226y x +--＝0 6．5972 7．（0.5，0.75）不唯一 8．7 9．)1,1[- 10．1 11．（－1，2） 12．3≤a ； 13．④ 14．5二、解答题：15．解：（1）设)(x g 任一点),(00y x P ，其关于原点对称点),(00y x P --'在)(x f 图象上，则 )(2)(0200x x y -+-=-，即02002x x y +-= ……………..4分 x x x g 2)(2+-=∴ ……………..7分 （2） ()()1--≥x x f x g1||2222--+≥+-∴x x x x x ， ……………..9分化简得01||||22≤--x x ，即0)1|)(|1||2(≤-+x x …………11分即不等式的解集为}11|{≤≤-x x ………………14分16． 解：（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0．………………………………2分由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－43，或tan α＝12．………………………………………6分∵α∈（3π2π2，），tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43．………7分 （2）∵α∈（3π2π2，），∴3ππ24α∈（，）． 由tan α＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2α＝2（舍去）． ∴525sin cos2525αα==-，，………………………………………………12分cos(π23α+)＝ππcos cos sin sin 2323αα- ＝251535252-⨯-⨯ ＝251510+-． …………………………14分17． 解：（1）由题意，椭圆224936x y +=的焦点为（5,0±），…………………2分即c ＝5，∴设所求双曲线的方程为222215x y a a-=-．…………………… 4分 ∵双曲线过点（3，－2），∴229415a a -=-．∴23a =，或215a =（舍去）． ……………………………………………7分∴所求双曲线的方程为22132x y -=．…………………………………………8分（2）由（1），可知双曲线的右准线为 35x =．设所求抛物线的标准方程为220y px p =->（），则65p =． ………………12分 ∴所求抛物线的标准方程为21255y x =-． …………………………………14分 18． 解（1）∵10S n ＝a n 2＋5a n ＋6， ① ∴10a 1＝a 12＋5a 1＋6．解之，得a 1＝2，或a 1＝3．………………………………………………………2分又10S n －1＝a n －12＋5a n －1＋6（n ≥2）， ②由①－②，得 10a n ＝（a n 2－a n －12）＋6（a n －a n －1），即（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－5）＝0．∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝5（n ≥2）．…………………………………………5分 当a 1＝3时，a 3＝13，a 15＝73．a 1， a 3，a 15不成等比数列，∴a 1≠3．当a 1＝2时，a 3＝12，a 15＝72，有 a 32＝a 1a 15．……………………………………7分∴数列{b n }是以6为公比，2为首项的等比数列，b n ＝2×6n －1． ……………9分（2）由（1）知，a n ＝5n －3 ，c n ＝2（5n －3）6n －1．∴T n ＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋（5n －3）6n －1]， ………………………11分6 T n ＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n －3）6n]，∴－5 T n ＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n －1] ＋4－2（5n －3）6n………………13分＝1106(16)16n -⨯--＋4－2（5n －3）6n ＝（8－10n ）6n －8．T n ＝8(810)655nn --．……………………………………………………………16分19．解：（1）因为2002年底刚达到小康，所以n=50% …………2分 且2002年每户家庭消费支出总额为9600元，故食品消费支出总额为9600×50%=4800元 …………4分 则%40%4113200540072059600120548002007>≈=⨯+⨯+=n ，即2007年底能达到富裕…………8分（2）设2002年的消费支出总额为a 元，则%),361(7205+=⨯+a a 从而求得10000=a 元， …………10分又设其中食品消费支出总额为%),121(1205,+=⨯+b b b 则元 从而求得5000=b 元 …………12分 当恩格尔系数为%40720100001205000%30,%40%30≤++<≤<xxn 有时，解得.8.2095.5<≤x …………14分则6年后即2008年底起达到富裕 …………16分20． 解 （1）∵()3225f x x ax x =+-+在（23，1）上递减，在（1，＋∞）上递增， ∴f′（x ）＝3x 2＋2ax －2， ……………………………………………2分f′（1）＝0，∴a ＝－12． ……………………………………………6分（2）令f′（x ）＝3x 2＋2ax －2＝0．∵△＝4a 2＋24＞0，∴方程有两个实根，……………………………………8分分别记为x 1 x 2．由于x 1·x 2＝－23，说明x 1，x 2一正一负，即在（23，1）内方程f′（x ）＝0不可能有两个解．……………………10分故要使得f x （）在（13，12）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f′（13）·f′（12）＜0，即（13＋23a －2）（34＋a －2）＜0．…………… 13分解得5542a <<． …………………………………………………………………15分∵a 是正整数，∴a ＝2． (16)。
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2011高考数学基础知识训练（25）一、填空题1 ．如图，程序执行后输出的结果为_____．2 ．函数2yx -=的单调递增区间是3 ．夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是_____________．4 ．计算：2(1)i i +=______5 ．有数学、物理、化学、英语四个课外活动供学生选择，每人任选其中一个，则甲乙两人选择同一课外活动的概率为______________6 ．为了了解某市参加高考体检的学生的体能状况，经抽样调查1000名男生的肺活量（ml ），得到频率分布直方图（如图），根据图形，可得这1000名学生中肺活量在[3000,3600)的学生人数是 .7 ．函数21)32sin(+-=πx A y （0>A ）的最大值是27，最小值是25-，则=A _． 8 ．已知两条相交直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点点，五条直线最多有10个交点．由此可归纳n 条直线最多交点个数为 ．9 ．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= ________________．10．给出下列三个命题(1)设()f x 是定义在R 上的可导函数，()/f x 为函数()f x 的导函数；()/00f x =是0x 为()f x 极值点的必要不充分条件。
(2)双曲线22221124x y m m-=+-的焦距与m 有关 （3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。
（4）命题“c d若->0,且bc-ad<0,则ab>0a b” 其中正确结论的序号是11．过抛物线22(0)ypx p =>的焦点F 的直线l ,交抛物线于,A B 两点,交其准线于C 点,若3CB BF =,则直线l 的斜率为___________.12．在正四面体ABCD 中，其棱长为a ，若正四面体ABCD 有一个内切球，则这个球的表面积为13．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时，其容积最大.14．设)2,0(πα∈,函数)(x f 的定义域为[0,1],且1)1(,0)0(==f f ,当y x ≥时,有)()sin 1(sin )()2(y f x f y x f αα-+=+,则=α_________,)21(f =_________.二、解答题：15．如下的三个图，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的正视图和侧视图（单位：cm ）（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．46422E D A BC F G B 'C 'D '216．已知点M (2,0)-，⊙22:1O x y +=（如图）；若过点M 的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程．17．数列{a n }是首项a 1=4的等比数列，且S 3，S 2，S 4成等差数列.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 2|a n |,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和，求T n .18．已知函数21sin 2()1cos ()2x f x x π-=--（1）求)(x f 的定义域；（2）已知)(,2tan ααf 求-=的值.19．已知函数ln ()x f x x=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0,a >求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值．20．已知一动圆P 与定圆1)1(22=+-y x 和y 轴都相切，（1）求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；（2）过定点)2,1(A ，作△ABC ，使090=∠BAC ，且动点C B ,在P 的轨迹M 上移动（C B ,不在坐标轴上），问直线BC 是否过某定点？证明你的结论。
Q OMP yxl 1参考答案填空题 1 ．64． 2 ．(,0)-∞ 3 ．平行或相交； 4 ．2- 5 ．41 6 ．450 7 ．3 8 ．2)1(-n n ． 9 ．1 10．（1）（3） 11．22k=±;12．62πa ；13．2/3 14．6π 12解答题15．解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中， 连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥，4642 224622（俯视图）（正视图）（侧视图）ABCDE FGA 'B 'C 'D '从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．16．解： PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠=O ∴点到直线1l 的距离为2.2设1l 的方程为22|2|21(2),,.271k y k x k k =+∴=∴=+ 1l ∴的方程为7(2).7y x =±+17．解 （1）当q=1时，S 3=12，S 2=8，S 4=16，不成等差数列.q ≠1时，q q a --1)1(22=q q a --1)1(31+qq a --1)1(41 得2q 2=q 3+q 4,∴q 2+q-2=0, ∴q=-2.∴a n =4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)b n =log 2|a n |=log 2|(-2)n+1|=n+1.11+n n b b =)2)(1(1++n n =11+n -21+n ∴T n =⎪⎭⎫ ⎝⎛-3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4131+…+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+2111n n=21-21+n =)2(2+n n.18．解：（1）xxx x 22cos 2sin 1)2(cos 12sin 1-=---π由0cos ≠x 得)(2Z k k x ∈+≠ππ故],2|[)(Z k k x x x f ∈+≠ππ的定义域为（2）因为,2tan -=α 故ααα2cos 2sin 1)(-=fααααα222cos cos sin 2cos sin -+= .91tan 2tan 2=+-=αα19．解：（1）定义域为(0,)+∞，21ln ()x f x x -'=，令21ln ()0xf x x-'==，则e x =， 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： ∴()f x 的单调增区间为(0,)e ；单调减区间为(,)e +∞.（2）由（1）知()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以， 当4a e ≤时，即4ea ≤时，()f x 在[]2,4a a 上单调递增，∴min ()(2);f x f a = 当2a e ≥时， ()f x 在[]2,4a a 上单调递减，∴min ()(4)f x f a = 当24a e a <<时，即42e ea <<时，()f x 在[]2,a e 上单调递增， ()f x 在[],4e a 上单调递减，∴{}min ()min (2),(4).f x f a f a = 下面比较(2),(4)f a f a 的大小， ∵ln (2)(4),4af a f a a-= ∴若14e a <≤，则()(2)0,f a f a -≤此时min ln 2()(2);2a f x f a a== 若12e a <<，则()(2)0,f a f a ->此时min ln 4()(4);4af x f a a==综上得： 当01a <≤时，min ln 2()(2)2af x f a a==；当1a >时，min ln 4()(4)4af x f a a==．20．解：（1）设动点P 的坐标为()x y ，，由题设知：22'(1)1||3x y x -+-=………………………………………………化简得：0x >时，2'44y x =…………………………………………x(0,e)e(e,)+∞'()f x+ 0-()f x↗1e↘0x <时，'05y =……………………………………………P 点的轨迹方程为24(0)y x x =>和'0(0)6y x =<……………………（2）设B C 、的坐标为1122()()x y x y ，、，，又(12)A ，1122BAC=90(12)(12)0AB AC x y x y ∠∴⋅=--⋅--= ，，，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=…………………①而BC 的直线方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--……②'8……B C 、在抛物线24y x =上，22121244y y x x ∴==，代入①式化简得'12122()2010y y y y -+-=………③…………………………………… 把22121244y y x x ==，代入②式化简得BC 的方程为 '1212()412y y y y y x +-=……④………………………………………对比③④可知，直线BC 过点(52)-，，∴直线BC 恒过一定点(52)-，。