第3章3-1时域分析法

5.一阶系统各种典型输入的响应总结

动态特性: 由时间常数T决定， T↑→响应速度↓ ，即响 应时间↑ ，反之亦然

等价关系: （仅适用于线性定常系统）
系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输 入信号响应的积分；

跟踪能力: 脉冲输入：无稳态误差，跟踪速度与T有关； 阶跃输入：无稳态误差，即能够跟踪阶跃 信号，
§3-1 控制系统的时域指标

时域分析法
在时间域内(t)研究控制系统性能的方法，直观
准确 通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到 系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应 曲线分析系统的动态性能和稳态性能。

针对系统在典型输入信号作用下的特性来 定义性能指标
1.典型输入信号
根据系统中常见的输入信号设计的理想输入函
5）正弦函数
x(t ) A sin t
2.时间响应过程
动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系
统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 又称过渡过程、瞬态过程。
稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当
时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。
C(t)
延迟时间td
t
3. 性能指标

动态性能指标
动态性能指标——峰值时间tp

时间响应超过稳态值c(∞)达到第一个峰值所需的 时间
C(t)
峰值时间tp
t
动态性能指标——调节时间ts

在稳态值c(∞)附近取一误差带，通常取 , 响应曲线开始进入并保 持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。
5%c ( )或 2%c ( )
5%c()或 2%c()
调节时间 ts
上升时间tr
动态性能指标：情形3
σ%= A 100% B
A
B
tr
tp
ts


1). 延迟时间td
2).上升时间tr


3).峰值时间tp
4).调节时间ts


5).超调量σ%
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，

σ %反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程 度
其中ts和σ %是最重要的两个动态性能的指标。
引入误差的概念： 当时间t趋于无穷时，系统响应的实际稳态值与 给定值之差。即：
ess cs c()
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差
ess = t – ( t – T ) = T
从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态 时具有和输入相同的斜率，只是在时间上滞后 T , 这就存在着 ess = T 的稳态误差。
§专业基础课§
自动控制原理
——第3章 时域分析法
邓晓刚 信息与控制工程学院自动化系
第3章 时域分析法

3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应


3-3 二阶系统分析
3-4 高阶系统分析
3-5 线性系统的稳定性分析
3-6 稳态误差的分析和计算 3-7 数学模型的实验测定方法
R(s) 100/s C(s)
kt
解：系统的闭环传递函数
1/ kt 100 / s 100 0.01 1 kt s 1 s kt 10 （1）当kt 0.1时, ( s) ， 0.1s 1 显然时间常数T 0.1秒.
(s)
因此调节时间为ts 3T 0.3秒，
t=?
0 T 2T 3T 4T
h(t ) 1 e
0 0.632 0.865 0.950 0.982 1
t / T
dh(t ) 1 t / T e dt T
T 0.368
1
T …….
……. …… 0

C(t)
0.95
一阶系统的单位阶跃响应曲线
1
1/T斜率
0.632
h(t ) 1 e t / T
跟踪速度取决于T；
斜坡输入：有位置误差，且稳态误差等于T； 加速度输入：稳态误差无穷大，无法跟踪。
某一阶系统闭环传递函数： C ( s) K （s） R( s) Ts 1
问题： 1. 单位阶跃输入时，t=T时，输出为多少？ 2. 单位阶跃输入时， t=0时的阶跃响应曲
线的斜率为？
3. 单位斜坡输入下的稳态误差是多少？
C ( s) 1 闭环传递函数：（s） R( s) Ts 1
1 k 1 开环传递函数：G ( s ) , k 为开环增益 Ts s T
R(s) E (s )
-
k s
C (s )

2.一阶系统单位阶跃响应
1 当r (t ) 1(t )时，R( s) , s
（s）
（2）如果要求ts 0.1秒, ts 3T 3 0.01 0.1, kt
故kt 0.3
关键：化闭环传递函数为标准形式
3.一阶系统的单位脉冲响应
r (t ) (t ), R( s ) 1 1 C ( s) ( s) R( s) Ts 1 （闭环传递函数与脉冲响应函数相同）
t 特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T；（如何根据上图求T？） 3）无超调；稳态误差ess=0 。 4）ts=3T（5%误差带），ts=4T, 2%误差带 T越小，系统快速性越好
0
T
2T
3T
【例1】一阶系统的结构图如图所示，(1)若 kt=0.1,试求系统的调节时间ts，(2)如果要求 ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？
C ( s) 1 R( s) Ts 1
1 1 1 T 则 C ( s ) ( s ) R ( s) Ts 1 s s Ts 1
拉氏反变换得到 h(t ) c(t ) 1 et /T
对 h(t )求导可得 dh(t ) 1 t /T e dt T
数
信号名称 单位阶跃信号 时域表达式 1(t),t≥0 复域表达式 1/s
单位斜坡信号
单位加速度信号
t, t≥0
t2/2, t≥0
1/s2
1/s3
单位脉冲信号
δ(t)
1
1）理想脉冲函数（或冲击函数）
0 x( t ) A ( t )
且
t0 t0
A



x( t )dt A
t / T
为暂态分量。
3T 2T
t
c(t ) (t T ) Te t / T c(0) 0, c(T ) 0.368T , c(2T ) 1.135T , c(3T ) 2.050T , c ( ) t T dc(t ) 0 dt t 0
T 0 -T 0 t-T T 2T 3T 4T
0
A 1
t0 t0
0
t
单位脉冲函数：
2）阶跃函数
0 x(t ) A 1(t ) A
单位阶跃函数：
A
t
A 1
3）斜坡函数（或速度阶跃函数）
0 x( t ) A t ( t ) At t0 t0
4）抛物线函数（或加速度阶跃函数）
0 1 x( t ) A t 2 ( t ) 1 2 2 2 At t0 t0


稳态性能指标——稳态误差
时间趋于无穷时，系统输出与输入变量之 间的差值 ess sv c()
R
+
+
i(t) C
c(t)
§3-2 一阶系统时域分析
1.一阶系统的数学模型
r(t)
（ a） 电 路 图
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统
dc(t ) 微分方程为：T c(t ) r (t ), T RC为时间常数。 dt
dk (t ) 1 t / T 2e dt T
1/T
1/2T
0
T
2T
3T
4T
dc(t ) 1 2, dt t 0 T
dc(t ) 0.368 dc(t ) , 0, 2 dt t T dt t T
4.一阶系统的单位斜坡响应
1 R(t ) t , R( s) 2 s 1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 Ts 1 s s s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡 响应为 Ct (t ) (t T ) Te t / T , (t 0) 其中t T为稳态分量， Te
拉氏反变换，单位脉冲响应为 1 t / T k (t ) c(t ) e , (t 0) T dk (t ) 1 t / T 2e dt T
1 t / T k (t ) c(t ) e , T
1 , T 0.368 c(T ) , T 0.135 c(2T ) , T 0.05 c(3T ) , T 0.018 c(4T ) T c(0)
调节时间ts
动态性能指标——超调量σ%

响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比
A
%
B
c(t p ) c() c()
100%
A 100% B

动态性能指标：情形1
A 超调量σ% = A 100% B
B
延迟时间td 上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts
动态性能指标：情形2
延迟时间、上升时间、峰值时间、调标
稳态误差
动态性能指标——延迟时间td

从输入信号开始施加时起，系统输出时间响应第一 次达到稳态值50%所需要的时间