鲁棒稳定性理论 棱边定理

区间矩阵和凸组合多项式的稳定性
区间矩阵：区间矩阵就是下面定义的矩阵集合：
（15）
（18）
（19）
这个定理揭示了凸组合多项式的赫尔维茨稳定性可以根据有顶点多 项式的赫尔维茨矩阵构成的某一矩阵是否存在非正的特征根来确定。 对于时间离散系统的舒尔稳定性，有并行的结果成立。
定理4.23：假设E是复数方阵，A为舒尔矩阵，则有
（49）
（50）
舒尔半径为
（51）
鲁棒稳定性分析的LMI方法
本节主要是基于李雅普诺夫稳定性定理，利用线性矩阵不等式 （LMI），对具有参数不确定性系统的鲁棒性分析和综合问题进行讨 论。 考虑如下具有时变结构不确定参数系统：
（52）
这里
（53）
（54）
（40a）
（40b）
（41）
考虑到矩阵特征根的连续性，A的赫尔维茨稳定性度量为
（42a） 或 （42b）
（43）
（44）
引理4.4：假定M是可逆方阵，E是复数方阵，则有
（45）
特别地，赫尔维茨半径可由下式给出。
（46）
（47）
对于时间离散系统，设A为舒尔矩阵，则舒尔稳定性度量定义为
（48）
（20）
构成下述矩阵
（21）
（22）
棱边定理
概述

棱边定理研究的多项式一般具有下述形式
（23）
其中
（24）
（25） （26）
（27）
在应用棱边定理时，仍存在着一些问题。例如，还没有寻找突出棱 边的有效手段，棱边多项式的个数随着多面体顶点个数的增加而大 量增加，一般不能用于参数空间中存在非线性关系的场合。尽管如 此棱边定理在鲁棒性分析方面仍是很好用。


卡里托诺夫定理
卡里托诺夫定理是原苏联数学家v.l.卡里托诺
夫1978年提出的，但是在鲁棒控制方面取得 优异成果则是在那年之后。这个定理给出了 区间多项式具有赫尔维茨稳定性的充分与必 要条件。
区间多项式：就是实数多项式 （1） 的集合，其中 （2） 用G表示这种多项式的全体，用H表示所有赫尔维茨多项式。即所有 有那些特征根均位于复数左开半平面的多项式。
（55）
（56）
（59）
对于i=1,…,l成立，则具有系统矩阵并可表示成（57）是鲁棒稳定的。
卡里托诺夫定理的复平面应用：设
（7）
其中
（8）
（9a） （9b）
（9c）
（9d）
（9e） （9f） （9g） （9h）
卡里托诺夫定理给出了系数不确定性连续时间系统特征多项式的赫 尔维茨稳定性条件。 舒尔稳定多项式：定义区间多项式为
（10a）
其中
（10b）
把（8）式变为
（11a）
（11b）
（3a） （3b） （3c） （3d）
这些多项式称为对（1）式的卡里托诺福多项式。
（4）
（5a） （5b） （5c） （5d）
通过上述着四个多项式地组合，可得（3）式的卡里托诺夫多项式
（6a） （6b） （6c） （6d） 卡里托诺夫解释了区间多项式的强弱两个稳定性条件。所谓卡里 托诺夫定理通常是指强的一个稳定性结果。
（12）
双线性变换：比较离散时间系统与连续时间系统的一种方法。 （13） 双线性变换使（1）式f(s)的赫尔维茨稳定性与 （14） 舒尔稳定性相对应。 因此，如果连续时间系统f(s)的系数参数空间上的超矩形体可以映射 到离散事件系统g(z)的系数参数空间上的超矩形体，那么定理4.11 和定理4.12均成立。
系数空间中的稳定区域
考虑使实系数多项式
（28）
（29a）
它对应着原点s=0；
（29b）
（30）
（31）
则（29b）式为
（32）
（33）
（32）式可以从
（34）
中得到。
鲁棒稳定性的度量
（35a）
（35b）
（36）
（37）
（38）
特别的，当系数本身是参数时，m=n，q=a，只要考虑
（39）
鲁棒稳定性理论
参数空间稳定性分析
概述

这一节讨论参数空间存在结构不确定型的稳定性分析方法，也就是针对已知 系统的结构和参数的大概值，但并不清楚参数的精确值这种情况，介绍几种 主要的稳定性分析方法。 参数空间的稳定性分析是一个古典的研究领域，但是研究的总体情况可以说 并不是很顺利的，特别是在鲁棒稳定性分析方面存在着相当大的困难。知道 20世纪80年代中期，随着卡里托诺夫定理在鲁棒控制方面的研究进展，提 出了鲁棒稳定性分析的多项式代数方法，开辟了参数空间鲁棒稳定性分析的 新领域。 下面主要叙述卡里托诺夫定理及其相关的鲁棒稳定性分析方法，并对其保守 性，介绍棱边定理和有关的结果。