二面角的平面角
3.2.4二面角及其度量
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
思02考:00 ?? ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
注： 二面角的平面角的特点：
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 02:00
(2)
10
二. 求找二面角的平面角的常用方法(1)
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
02:00
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
二面角 一、 二面角及二面角的平面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
垂足为P，则∠APB叫做二面
角 的平面角
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
作二面角的平面角的常用方法
而走险了,那个丫头,他势在必得. "咚咚咚." 门外突然响起敲门声,雪无痕有些恼怒,扭头看着旁边の凤姐,眼中有了一丝责怪.凤姐连忙躬身请罪,打开房门,随即门外传来一阵低声の交谈声. "吱呀！" 门再次被推开,凤姐有些面色凝重の走了进来,开口说道："看来这次任务只能提前行动 了,而且最好是今晚." "什么情况?"雪无痕眉头一挑,有了一丝不好の预感. "雪一他们死了,白重炙一人杀の,而且白重炙此时正赶回雾霭城,或许明早就能赶回,所以少主如果你坚持任务の话,那么就必须马上行动."凤姐忍住心中の惊骇,尽量让自己の诉说平静些. "哐当！" 手上の茶杯悄 然落地,四分五裂.雪无痕张大嘴巴,想说些什么,却什么也没有说.墨老和石老怔怔の望着洒在地面龙舌般の茶叶,默默消化着这信息深沉の含义. "将传递信息の人给我叫进来." 良久之后,雪无痕突然开口了,声音冷漠冰寒. 牛金和两名随从の情报人员被叫进来,看着正首位那名英俊无比 却面容十分平静の青年,连忙躬身行礼.随后一点不落の将自己所看、所听、所想,全部述说出来,没有一丝添油加醋,没有一丝遗漏.他知道一句话说错,有时就能代表一个生命消失,他知道那个青年有这个权利,也有这个能力. "行了,你们三人下去吧,凤姐安排一下他们,好好玩两天."雪无 痕自从牛金三人进来之后就已经恢复平静,心里虽然起了滔天巨浪,但他只能生生强压下来,在下人面前,他需要平静,也必须平静. "今晚行动." 思索良久,他毅然起身,说出四个字,然后快速推开门,匆匆离去. 白家堡,西院,醉心园. 夜轻狂身为白家の大少,此时却没有像那些普通の公子般, 流连在十三长街上挥霍着青春.也没有像别の雾霭城の纨绔子弟般,在某些场合诠释着世家和父辈の富有权势.而是静静
二面角的平面角
二面角的平面角摘要：求二面角的平面角的大小，关键是找出或作出二面角的平面角。
关键词：二面角；平面角；转化求二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容，也是一个难点。
解决有关二面角问题的关键是找出或作出二面角的平面角，通过找出或作出二面角的平面角，使空间问题转化为平面问题来解决。
学生往往不是不会计算，而是找不到二面角的平面角。
作二面角的平面角，常用方法一般有三种：（1）定义法；（2）三垂线定理法；（3）垂面法。
下面看几例具体的例子：一、根据二面角的平面角的定义直接找出或作出二面角的平面角例1.二面角α-l-β为60°，A点和B点分别在α、β内，且到棱l的距离分别是2和4，若线段AB=10，试求：（1）直线AB与棱所成的角；（2）直线AB与平面α所成的角。
分析：求解此题，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并将其构造到某一个三角形中，进而应用平面几何的知识求解。
由题意，在面α内作AD⊥l，在面β内作BE⊥l，作DC■EB，联结BC、AC，易知CD⊥l，则∠ADC 为二面角α-l-β的平面角，等于6°，如图1再进一步求解就比较容易了。
■定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，得到二面角的一个平面角。
如图2，以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。
二、三垂线定理法例2.过正方形ABCD的顶点A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD与底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。
解：如图3，过点B作BE⊥SC于E，联结ED。
■∵SA⊥底面ABCD，∴BA为SB在底面ABCD内的射影。
∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。
∴∠SBA为平面SBC与平面ABCD所成的角，即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。
设SA=a，则SB=SD=■a，则△SCB≌△SCD.∵BE⊥SC，则ED⊥SC，∴∠BED为二面角B-SC-D的平面角.∵SB=■a，BC=a，SC=■a∴BE=DE=■a由余弦定理得cos∠BED=-■∴∠BED=120°。
二面角的平面角的概念
二面角的平面角的概念
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线相交所成的角称为二面角的平面角。
二面角的大小可用平面角表示。
二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。
二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。
如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。
反之，相等二面角的平面角相等。
直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
互相垂直的平面：相交成直角的两个平面叫做互相垂直的平面。
二面角及二面角的平面角
A1B 平面A1B1CD
平面ABC1D1 平面A1B1CD
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究1：
D1 A1
C1 B1
D A
C B
探究2： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
2 3 4
3 2
∴ ∠ADO=60°
∴二面角 － l－ 的大小为60 °
17
例1、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4；求二面角 － l－
的大小。
解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
面
两半平面的交线得到
l
O
角
γA
B
的 3、三垂线定理法
作 法
借助三垂线定理或 其逆定理作出来
A
D
l
O
12
寻找平面角 S
D1
C1
B1 A1
N
M
A
D C
A
B
端点
B
DC
中点
寻找平面角
D1 B1
A1
M D
E
A
GF
B
C1 N
C
中点
小结：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义垂直于棱； （3）计算.
二面角
二面角
一、二面角的定义 二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
α
ι
β
二、二面角的平面角 二面角的平面角
1、定义 、
一个平面垂直于二面角 α −ι − β 的棱，并与两半平 面分别相交于射线 PA、 PB 、 垂足为P， 垂足为 ，则∠APB叫做二面 角α − ι − β 的平面角
γ
P A
ι
β
B
α
二面角
2、作二面角的平面角的常用方法 、
①、点P在棱上 —定义法 、 在棱上 定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 、 在一个半平面上 三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 、 在二面角内 垂面法
ι
p
B
α
β
A B
pβ
β
B
p
α
A
ι
ι
O A
α
用三垂线定理作二面角的平面角的方法与步骤
解：取AB 的中点为E，连PE，OE 连
∵O为 AC 中点 ∠ABC=90º 中点，
OE⊥AB ，因此 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
=
P
1 ∴OE∥BC且 OE = 2 BC
E
A
O
B
在Rt△POE中， OE 2 ∴ tan ∠PEO =
2
1 3 = ，PB=1，PE = 在Rt△PBE中，BE 2 2 1 2
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为 ，侧棱 如图，正三棱柱 的底面边长为a， 如图 2 若经过对角线AB 且与对角线BC 长为 a，若经过对角线 1且与对角线 1平行的平 2 面交上底面一边A 于点D. 面交上底面一边 1C1于点 (1)确定点 的位置，并证明 确定点D的位置 确定点 的位置， 你的结论； 你的结论； (2)求二面角 1-AB1-D的大小 求二面角A 的大小. 求二面角 的大小
二面角
二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面).二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
二面角的大小范围0≤θ≤π 既然是空间立体图形，那么可以将180°～360°的另一边看成0°～180°。
二面角的求法作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法2.垂面法3.射影定理4.三垂线定理5.向量法6..转化法二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。
运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得 也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。
这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α 二面角的通常求法：（1）由定义作出二面角的平面角；（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；（4）空间坐标求二面角的大小。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
求二面角大小的基本步骤（1）作出二面角的平面角：A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。
利用空间向量求二面角的平面角
利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。
D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。
如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。
cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。
（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。
cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成 二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角 解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角， 又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===， 所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决： 例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。