两平面的夹角和二面角的区别
两个面法向量的夹角与二面角的关系
两个面法向量的夹角与二面角的关系示例文章篇一：作为一名小学生，这题目对我来说可太难啦！不过我还是想试着说一说。
啥是面法向量呀？这就好像我们在操场上跑步，有个规定的方向，这个方向就是法向量。
那二面角呢，就像是打开的两扇门之间的那个夹角。
咱们想想，如果两个面法向量的夹角是锐角，那二面角会不会也是锐角呢？哎呀，这可不一定哟！比如说，两个面就像两个小朋友在面对面吵架，他们的姿势（法向量）可能看着很凶（锐角），但真正他们之间的那个空间（二面角）可能是钝角呢！那要是两个面法向量的夹角是钝角，二面角是不是也一定是钝角呢？哈哈，也不一定呀！就好像两个小伙伴，一个看起来很生气背对着（钝角），但其实他们之间的距离和角度（二面角）可能很小，是锐角呢！那到底两个面法向量的夹角和二面角有啥关系呢？其实啊，它们有时候一样，有时候又不一样。
这就像我们猜谜语，得好好琢磨琢磨才能找到答案。
所以说，不能简单地认为两个面法向量的夹角就是二面角，得仔细分析，认真思考，才能搞清楚它们之间真正的关系。
你们说是不是呀？示例文章篇二：哎呀，这“两个面法向量的夹角与二面角的关系”可真是个让人头疼的问题呢！就好像是走在一条弯弯绕绕的小路上，一不小心就会迷路。
咱先来说说啥是面的法向量。
法向量就像是每个面的“小保镖”，直直地站在面的正上方，守护着这个面。
那两个面的法向量呢，它们之间就会有个夹角。
这时候就有人要问啦，那这个夹角和二面角又有啥关系呢？这就好比是两个小伙伴在玩躲猫猫，法向量的夹角像是我们看到的表面现象，而二面角才是真正藏起来的那个“神秘宝贝”。
有时候，两个面法向量的夹角就直接等于二面角，这多简单直接呀！可有时候呢，它们又像是两个闹别扭的小朋友，法向量的夹角和二面角还得加上或者减去180 度才行。
你想想看，如果我们不搞清楚它们的关系，那在解题的时候不就像没头的苍蝇到处乱撞吗？所以说，弄明白这两者的关系可太重要啦！在学习的过程中，我就常常被它们绕得晕头转向。
1.2.4 平面与平面的夹角------二面角
1.2.4 平面与平面的夹角------二面角【课时目标】 1．掌握二面角和二面角的平面角的概念．2．会求简单的二面角的大小．【知识疏理】1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．注: （1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定为（0,π）。
3．二面角的画法（1）平卧式 （2）直立式4．二面角的记法（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：___________________; （2）以直线AB 为棱，以为半平面的二面角记为：___________________ 。
5．二面角的平面角的作法：注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
【例题学习】例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 求①二面角A 1－AB －D 的大小；②二面角D 1－AB －D 的大小．归纳小结:求二面角大小的步骤。
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．l βα,βα,例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值．例3．如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6，OE // AD。
直线与平面的夹角、二面角
在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1 C1 B1
A1
D
O
C B
A
⊿ABC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
S E
A
D
C B
3
垂线法(三垂线 定理或逆定理)
l
cos
cos n1 , n2
cos
cos n1 , n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， 例.已知正方体 z O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
求证:cos= cos 1 ×cos 2
A
O
B
M
例： 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C 所成的角.
A1 B1 C1
z
D1
A B
x
D
C
y
例1： 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
以 AD AA 设正方体棱长为1， AB， ， 1为单 0，， 0，， 位正交基底，可得 A(0，0) B1 (1，1)
这个二面角的大小是________________.
3 或 4 4
练习
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角
如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
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重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用
平面与平面所成的角与二面角的区别
平面与平面所成的角与二面角的区别
1.平面与平面所成的角：平面与平面所成的角是指两个平面之间的夹角。
两个平面可以通过它们的法向量来确定夹角的大小。
当两个平面相交时，它们所成的角是两个平面的法向量之间的夹角。
平面与平面所成的角的度量范围是0°到180°之间。
2.二面角：二面角是指由四个不在同一平面上的点所确定的空间角。
四个点分别位于两个平面上，两个平面相交于一条直线。
二面角可以通过这条直线和两个平面的法向量来确定。
二面角的度量范围是0°到360°之间。
总结来说，平面与平面所成的角是在二维平面上的角度，而二面角是在三维空间中的角度。
平面与平面所成的角是由两个平面的法向量决定，而二面角是由四个点和两个平面的法向量决定。
此外，平面与平面所成的角度范围为0°到180°，而二面角的度量范围为0°到360°。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
(整理)二平面法向量的夹角一定等于二面角吗
二平面法向量的夹角一定等于二面角吗关键词：平面法向量二面角摘要：二平面法向量的夹角与二面角的关系用向量法求二面角的方法向量是数形结合的典范，具有几何与代数的二重性，是一个解决问题的重要的数学工具。
在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题，这样就把抽象的空间思维转化为较机械的代数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题提供了极大的方便．但是在运用向量法求角时，一定要注意所取向量的夹角与所求的犄角之间的关系，否则常会导致误解．下面我们先看一个误解的例子：在《未来导报·高考周刊》2005——2006学年度第32期(总第111期)中，利用空间向量求二面角一文中的例1：图1 在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD与面VDB所成二面角的大小。
解：建立如图1所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为1．依据题意，得AB=(o，1，o)是面VAD的法向量，设n=(1，y，z)是面VDB的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0VB n 0VD n ⇒ ⎩⎨⎧-=-=1y 33z ⇒ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=33,1,1721nAB n ,AB cos -=>=<∴ . 所以面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为：721arccos -π . 误解分析：如图2 ，在二面角βια--中，点P 为平面α、β外一点，点A 、B 分别在平面α、β内，且P ⊥α，PB ⊥β，AC 、BC 分别为平面PAB 与平面α、β的交线．显然有ACB ∠为二面角βια--的平面角；π=∠+∠ACB APB (圆的内接四边形的对角互补)。
则ACB PB ,PA BP ,AB ∠->=>=<<πACB APB BP ,PA PB ,AP ∠=∠->=>=<<π结论：1、当所取平面的法向量的方向，同时指向二面角内或二面角外时，平面法向量的夹角与二面角互补；2、当所取平面法向量的方向一个指向二面角内另一个指向二面角外时，法向量的夹角与二面角相等。
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两平面的夹角和二面角的区别
两个平面的夹角，指的是两个平面所组成的四个二面角中，锐角或直角的那一对。
所以两个平面的夹角的范围是0°到90°，但不等于0°。
二面角是指两个半平面的夹角，范围是0°到180°，但不等于180°。
关于二面角的性质为：
(1)同一二面角的任意两个平面角相等，较大二面角的平面角较大。
(2)两个二面角的和或差所对应的平面角，是原来两个二面角所对应的平面角的和或差。
(3)二面角可以平分，且平分面是唯一的。
(4)对棱二面角相等。
两个平面的夹角范围
两个平面夹角的范围是[0，π/2]。
平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
或者从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。