小行星轨道问题
行星科学中的小行星探测：探索小行星的物理性质、轨道演化与潜在威胁
行星科学中的小行星探测：探索小行星的物理性质、轨道演化与潜在威胁摘要小行星作为太阳系形成和演化的残留物，蕴藏着丰富的太阳系早期信息，同时也是潜在的地球撞击威胁。
本文深入探讨了小行星探测的重要意义，详细阐述了小行星的物理性质、轨道演化以及对地球的潜在威胁。
通过分析小行星的分类、组成、结构、轨道特征以及撞击风险评估方法，本文旨在展示小行星探测在行星科学研究、资源开发和行星防御等方面的应用价值，并展望未来小行星探测的发展方向。
引言小行星（Asteroid）是太阳系内类似行星环绕太阳运动，但体积和质量比行星小得多的天体。
主要分布在火星和木星轨道之间的主小行星带，但也存在于其他区域，如近地小行星、特洛伊小行星等。
小行星是太阳系形成初期的遗留物，保存着太阳系早期物质组成和演化过程的重要信息，对于研究太阳系起源、行星形成和生命起源等具有重要科学意义。
同时，小行星撞击地球的潜在威胁也引起了广泛关注，小行星探测对于评估和减缓撞击风险具有重要意义。
小行星的物理性质小行星的物理性质包括大小、形状、自转、表面特征、内部结构和物质组成等。
小行星的大小差异巨大，从直径数百公里的大型小行星到直径仅几十米的小型小行星。
形状多样，有球形、不规则形、双小行星等。
大多数小行星的自转周期在几小时到几天之间。
小行星表面存在撞击坑、山脉、峡谷等地形特征。
内部结构复杂，可能存在金属核心、岩石地幔和表面风化层。
小行星的物质组成主要包括岩石、金属和冰等。
小行星的轨道演化小行星的轨道演化受到引力扰动、碰撞和热效应等多种因素的影响。
小行星之间的碰撞会导致轨道改变、碎片产生和表面重塑。
太阳辐射压力和热效应会导致小行星的自转加速或减速，甚至导致小行星解体。
引力扰动，特别是来自木星的引力扰动，会导致小行星轨道的不稳定性，使其偏离主小行星带，进入近地轨道，甚至与地球发生碰撞。
小行星对地球的潜在威胁小行星撞击地球是地球生命史上的重大事件之一。
6500万年前，一颗直径约10公里的小行星撞击地球，导致了恐龙的灭绝。
小行星轨道模型(论文)
出椭圆的重要参数。因此将资料锁定在线性代数方程组理论和椭圆的有关概念上。即 用 5 个点的坐标数据分别带入椭圆的一般方程的线性代数方程组������1������2 + 2������2������������ + ������3������2 + 2������4������ + 2������5������ + 1 = 0，该方程组的系数为 A，右端顶为 b，则：
a 椭圆周长的计算：
将托圆周长计算转化为数学模型，已知椭圆长半轴 a ,偏心率 e ，求其周长。
椭圆的方程为：
x asin，y bcos
其微分为
dx acosd，y bsind
弧元为
ds dx2 dy2 a2 cos2 b2 sin2 d a2 (1 sin2 ) b2 sin2 d
a3 a4
1 1
。
x22 2x5 y5 y52
2x5
2y5 a5 1
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
三、模型的建立与求解
根据上述建立的模型，对数据进行处理，利用 MATLAB 对数据进行处理编程得：
求解结果：
������������ = 4������������ − ������2
������2 = 2(������������������2 + ������������������2 + ������������������������������ − 1) ������ + ������ − √(������ − ������)2 + ������2
太阳系小天体的轨道演化模拟
太阳系小天体的轨道演化模拟太阳系是由太阳和围绕其运动的一系列天体组成的。
除了八大行星之外，太阳系中还存在着大量的小天体，如彗星、小行星、陨石等。
这些小天体的轨道演化对于了解太阳系的起源和演化历史具有重要意义。
本文将介绍太阳系小天体的轨道演化模拟方法以及其研究意义。
一、太阳系小天体的种类及特点太阳系小天体主要包括彗星、小行星和陨石等。
彗星是由冰冻物质和尘埃组成的天体，其轨道通常呈现长椭圆形，周期性返回太阳附近。
小行星是太阳系的岩石和金属天体，其轨道大多位于行星轨道之间，多数是围绕太阳转动的不规则形状天体。
陨石是从太阳系其他天体上脱落的岩石和金属块，其轨道多样，可能是彗星和小行星的残骸。
二、太阳系小天体的轨道演化模拟方法1.数值积分方法数值积分方法是模拟太阳系小天体轨道演化最常用的方法之一。
通过建立质心参考系，以太阳为静止参考点，通过数值计算求解天体的运动方程。
数值模拟可以考虑相互之间的引力相互作用，从而模拟太阳系小天体在不同引力场中的轨道演化。
2.三体问题对于太阳系中的小天体来说，引力作用主要来自于太阳和行星。
由于行星质量较小，因此可以将太阳系小天体与太阳和单个行星的相互作用看作是一个简化的三体问题。
通过求解三体问题，可以模拟小天体在太阳和行星引力下的轨道变化。
3.碰撞模拟太阳系小天体之间可能发生碰撞，导致轨道变化或者天体破裂。
碰撞模拟可以通过给小天体施加一定的初速度和方向来模拟小天体之间的碰撞过程，并观察碰撞对轨道的影响。
三、太阳系小天体轨道演化模拟的意义1.揭示太阳系起源和演化历史通过模拟太阳系小天体的轨道演化，可以了解太阳系的形成过程以及天体运动的变化规律。
这有助于揭示太阳系的起源和演化历史，进一步认识宇宙的形成与演化。
2.预测小天体的轨道变化太阳系小天体的轨道演化模拟可以帮助科学家更好地预测彗星的轨道周期和出现时间，为天文观测和空间探测提供依据。
例如，通过模拟哈雷彗星的轨道，科学家可以预测其下一次接近地球的时间，为观测和研究提供机会。
行星运动和轨道问题
行星运动和轨道问题一、行星运动的基本概念1.行星：太阳系中的地球、水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星等天体。
2.公转：行星围绕太阳运动的过程，公转方向与自转方向相同，均为自西向东。
3.自转：行星自身绕轴旋转的过程。
4.轨道：行星运动的路径，呈椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。
5.周期：行星完成一次公转或自转所需的时间。
二、行星运动定律1.开普勒第一定律（轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律（面积定律）：行星在相同时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律（周期定律）：行星公转周期的平方与其半长轴的立方成正比。
三、万有引力定律1.提出者：牛顿2.内容：任何两个物体之间都存在相互吸引的力，该力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
3.公式：F = G * (m1 * m2) / r^2，其中F为万有引力，G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，r为它们之间的距离。
四、行星轨道的稳定性1.牛顿引力理论：行星轨道是稳定的，因为万有引力提供了向心力，使行星保持在轨道上运动。
2.开普勒定律：行星运动的规律性使得轨道稳定性得以维持。
3.量子力学：在微观层面，行星轨道的稳定性与量子力学的原理有关。
五、太阳系的形成与演化1.太阳系的形成：大约46亿年前，一颗恒星爆炸产生的物质 cloud在引力的作用下逐渐凝聚形成太阳，同时形成围绕太阳运动的行星和其他天体。
2.太阳系的演化：随着时间的推移，行星和其他天体不断演变，如地球上的生命起源、月球的形成等。
六、人类对行星运动的探索1.古代：天文学家通过观测行星运动，制定了太阳历和行星表。
2.近现代：开普勒、牛顿等科学家提出了行星运动的定律和万有引力定律，揭示了行星运动的奥秘。
3.现代：航天技术的发展，人类发射了各种探测器，对太阳系行星进行了详细的研究。
行星运动和轨道问题是天文学中的重要内容，涉及到行星运动定律、万有引力定律、太阳系的形成与演化以及人类对行星运动的探索等方面。
小行星轨道问题
题目：小行星轨道问题姓名：刘天华班级：车辆工程1106班学号：0121102910819任课老师：陈建业题目：小行星轨道问题摘要本文针对小行星轨道问题提出合理假设，利用开普勒定律和二次曲线理论对模型进行优化，将复杂的方程式用矩阵表示并使用Matlab软件进行求解的出小行星轨道的椭圆标准方程，有利于进一步分析小行星的轨道特征。
关键词：开普勒定律二次曲线理论矩阵 Matlab一、问题重述2013年2月16日，一颗直径大约50米的小行星与地球擦肩而过，小行星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。
已知：要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。
现在已经在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，表1给出了相应的观测数据。
表1：某小行星的5次观测数据（单位：天文单位）其中一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即11101.4959787 米。
要求确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等。
二、模型的基本假设1：小行星稳定绕太阳运行，不会因为撞击改变轨道。
2：小行星运行符合开普勒第一定律，即为一椭圆。
三、问题的分析及模型的建立由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程，椭圆的一般方程为：012225423221=+++++y a x a y a xy a x a现在已经由上述表格知道轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5） 分别对应坐标数据：（5.764，0.648），（6.286 ，1.202），（6.759，1.832），（7.168，2.526），（7.480，3.360）问题就变成了球方程的五个待定系数a1,a2,a3,a4,a5。
为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.1222122212221222122255542535522514544243442241353423333223125242232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a由于直接求解需要大量的计算工作，我们可以利用矩阵这一数学工具来优化模型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[].02221=++C DY X λλ 所以,椭圆的长半轴:C D a 1λ=;椭圆的短半轴: CDb 2λ=;椭圆的半焦矩:22b ac -=.所以只要求出参数a1,a2,a3,a4,a5，并应用二次曲线理论，即可求出小行星轨道椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等数据。
多任务小行星探测太阳能电推进轨道设计
物 ，与 地球上 生命 的 形成 有 关 。近地 小 行 星 上 丰
富的矿 产也是 人类 可 以开发 利用 的重要 太空资 源 。 我 国 已经 顺利 实 施 月球 探 测 工 程 并正 在 进 行 自主探 测 火 星 、金 星 的研 究 ，随 着 国力 的增 强 ， 开 展进一 步走 向深 空 的航 天活 动 是 中 国航 天 发 展 的必然选 择 。近地 小 行 星将 是 我 国未来 深 空 探 测
２１ ０ １年 １ ２月
深空探测研究
ＤＥＥＰ Ｓ ＰＡＣＥ Ｅ ＬＯＲＡＴＩ ＸＰ ＯＮ
Ｄｅ ． ０１ ｃ２ １ Ｖｏ． Ｎｏ ４ １９ ．
第 ９卷
第 ４期
多任务小行星探测太 阳能 电推进轨道设计
陈杨 李俊峰 宝音 贺 西 于 洋
清华大学航 天航 空学院
摘
要 ：近几年 ，世界各航天大 国陆续实施 了小行星探测计划 。近地小行星也是 我 国下一 步深空探测 的重要 目标 。以
小 行星 是 ２ 世 纪深 空 探 测 活 动 的重 要 目标 。 １ 至 今 为止在 太 阳 系 内 已 发 现 了超 过 ７ ０万 颗 小 行 星 。小 行星按 照其 轨 道类 型可 以分 为 ：近 地 小 行
也正是 我 国在规 划 未来 的近 地 小 行 星探 测 任 务 时 需要 重点 考虑 和解 决 的问题 ，其 中与轨 道 设 计 相
此 为背景 ，研究 了多任务近地小行星探测 的电推进轨道设计问题 。首先基于双脉 冲假 设搜索节 省能量 的发 射窗 口。根据 脉 冲搜索结果设计 电推进方式 的小推力转移轨道 ，将中途多任务探 测作 为内点约束整体 优化轨道 ，并考 虑 了太 阳能电池阵功 率对发动机推力工况 的约束 。在小推力燃料最优控制问题的间接法求 解过程 中，使用 了平 滑技术和 开关 函数检测 等方法 以 克服 间接法 的缺 陷，能够快速 、高效地得到优化设 计结果。最后 给出了设计算例 。 关键词 ：小行星 ；太 阳能 电推进 ；多任务探测 ；燃料最优控制 ；间接法
第五章 小行星轨道方程计算问题
第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题 5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数,1,2,3,4,5;i a i =利用已知的数据，不妨设()1,2,3,4,5;i i x y i =欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。
NASA绘制危险小行星撞击轨道：地球已被包围
NASA绘制危险小行星撞击轨道：地球已被包围腾讯科学讯据国外媒体报道，美国宇航局科学家绘制的小行星轨道集合图显示地球正处于危险之中，这些潜在威胁地球安全的近地天体轨道布满了太阳系内侧，在火星轨道之内，危险近地天体的轨道密密麻麻地交织在一起，将火星、地球、金星彻底淹没。
根据JPL实验室科学家统计，图中绘制了大约1400颗小行星轨道，它们实在是太靠近地球了，在未来100年内或将威胁到地球文明的安全。
从图中可以看出，危险级近地小行星轨道已经将火星、地球、金星覆盖，它们直径较大，撞击地球将造成严重后果除了轨道非常靠近地球外，它们的体积也很庞大，至少在460英尺以上，大约为140米，有些轨道距离地球仅470万英里，即750万公里，大约是20倍地月距离左右。
本项计划是喷气推进实验室在2013年初进行的调查，针对潜在威胁地球的小行星群，美国宇航局表示地球确实面临小行星撞击的危险，是一个令人担忧的现象，未来100年内科学家将不断观测并跟踪这些近地天体，进一步测量它们的轨道参数，精确计算出它们未来接近地球的轨道位置以及是否对地球、月球构成影响。
美国宇航局和全球各地的天文学家都在观测危险近地小行星，寻找可能撞击地球的太空岩石，今年年初，袭击俄罗斯的陨石雨显得非常突然，分布在全球各地的小行星监测网并没有做出预警。
图中绘制出的小行星轨道集合显示，其中大约95%的小行星可威胁到地球，直径超过0.6英里，大约为1公里左右，撞击将造成巨大的破坏。
美国宇航局喷气推进实验室已经将小行星调查与其他机构分享，公众也可以参与对危险近地天体的观测，美国宇航局的近地天体计划不仅包括对危险近地小行星的调查，还对彗星等掠日天体的观测，评估它们可能对地球乃至太阳系其他天体构成何种影响。
騰訊科學訊據國外媒體報道，美國宇航局科學傢繪制的小行星軌道集合圖顯示地球正處於危險之中，這些潛在威脅地球安全的近地天體軌道佈滿瞭太陽系內側，在火星軌道之內，危險近地天體的軌道密密麻麻地交織在一起，將火星、地球、金星徹底淹沒。
（数学建模）小行星的轨迹问题
（数学建模）⼩⾏星的轨迹问题问题15 ⼩⾏星的轨迹问题⼀、问题⼀天⽂学家要确定⼀颗⼩⾏星绕太阳运⾏的轨道，他在轨道平⾯内建⽴以太阳为远点的直⾓坐标系，在两坐标轴上取天⽂测量单位（⼀天⽂单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787*10^11m ），在5个不同的时间对⼩⾏星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表2.15.1. 表2.15.1由开普勒第⼀定律知，⼩⾏星轨道为⼀椭圆，现需要建⽴椭圆的⽅程以供研究。
（注：椭圆的⼀般⽅程可表⽰为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a ）。
⼆、实验⽬的利⽤5个点确定⼆次曲线的⼀般⽅程，并求出椭圆的重要参数。
三、预备知识线性代数⽅程组理论，椭圆的有关概念及性质。
四、实验内容与要求1.⽤表中5个点的坐标数据分别代⼊椭圆的⼀般⽅程可建⽴5个⽅程的线性代数⽅程组，该⽅程组的系数矩阵为A ，右端项为b ，这⾥，21x 112y x 21y 12x 12y -122x222y x 22y 22x22y -1A= 23x 332y x23y32x 32y b= -124x 442y x24y 42x 42y -1 25x 552y x 25y 52x52y -1试依据题⽬所给的5个点的坐标，⽤计算机计算出矩阵的A 的5*5个数据。
2.利⽤Matalb 指令A\b 求解5元线性代数⽅程组，写出椭圆⽅程012225423221=+++++y a x a y a xy a x a 中的5个待定系数54321,,,,a a a a a 及⼩⾏星多所对应的曲线⽅程。
3.写出曲线表达式中系数所对应的⼆阶矩阵和三阶矩阵：1a2a 1a 2a 3aC= D= 2a 3a 5a2a 3a 4a 5a 1并利⽤Matlab 指令eig （C ）求出矩阵C 的特征值，记录数据=1λ（），=2λ（）利⽤Matlab 指令det （D ）计算⼆阶导数和三阶⾏列式的值；=C （）， =D （）4.利⽤公式计算椭圆的下列参数：长半轴：a=CD1λ=（），短半轴：b=CD2λ=（），办焦距：c=22b a -=（），写出椭圆标准⽅程（），5：利⽤上⾯的椭圆有关数据求出⼩⾏星轨道的参数：⼩⾏星的近⽇点距离：h=a-c=（），⼩⾏星的远⽇点距离：H=2c+h=（），椭圆轨道周长近似值：L ≈π-+ab b a )(23=（）6．*试在Matlab 环境下利⽤参数⽅程： x=acos(t) (t ∈[0, 2π]) y=bsin(t)绘制出以椭圆中⼼为原点的椭圆图形（图2.15.1）图2.15.1五．思考问题你能否利⽤定积分求弧长公式推导出椭圆的周长公式？如果你所得到的是⼀个定积分表达式，利⽤这⼀表达式计算⼩⾏星轨道的椭圆周长。
太阳系外小行星的轨道与动力学
太阳系外小行星的轨道与动力学在我们的宇宙中，太阳系外小行星是一类非常有趣的天体。
它们被定义为太阳系以外的行星状天体，这些天体不属于任何行星或恒星系统，它们围绕着恒星运行，而不是围绕太阳。
太阳系外小行星的研究不仅有助于了解太阳系的形成和演化，还有助于我们对类地行星和行星多样性的研究。
在本文中，我们将讨论太阳系外小行星的轨道和动力学，深入了解它们在宇宙中的演化过程。
一、太阳系外小行星的发现太阳系外小行星最早是通过观测行星系统的辐射来发现的。
随着科学技术的发展，我们能够利用先进的望远镜和探测器来探测和观察这些天体。
例如，凯克天文台和哈勃太空望远镜等设备为研究太阳系外小行星提供了重要的观测数据。
通过观测它们的光谱特征和移动轨迹，科学家们能够确定它们的性质和轨道参数。
二、太阳系外小行星的轨道参数太阳系外小行星的轨道参数包括半长轴、离心率和轨道倾角等。
半长轴是指太阳系外小行星轨道的长轴长度，它决定了小行星的运行范围。
离心率描述了轨道的偏心程度，当离心率为0时，轨道是圆形的；当离心率接近1时，轨道是高度椭圆形的。
轨道倾角是指太阳系外小行星轨道平面与参考平面（通常取为太阳系平面）的夹角，它决定了轨道相对于太阳系的方向。
三、太阳系外小行星的运动机制太阳系外小行星的运动主要受到万有引力的作用。
根据开普勒定律，太阳系外小行星围绕星体运动的轨道是椭圆形的，太阳是小行星轨道的一个焦点。
小行星在轨道上运动时，会受到太阳的引力束缚，同时也受到其他天体的引力干扰。
因此，小行星的轨道会发生变化，这种运动被称为扰动。
四、太阳系外小行星的动力学研究太阳系外小行星的动力学研究主要包括轨道演化、共振和稳定性等方面。
科学家们使用数学模型和计算机模拟来研究小行星的运动轨迹和演化过程。
通过对太阳系外小行星的数值模拟，我们可以了解它们的长期演化和稳定性，揭示它们在宇宙中的行为规律。
五、太阳系外小行星的重要性与前景展望太阳系外小行星的研究对于认识太阳系的形成和演化具有重要意义。
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四. 小行星的轨道问题（交纸质文档）
一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万哩）。
他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759，1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。
由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹图。
解：设行星的椭圆轨道方程为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0;
（1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨道方程，得到一个关于a,b,c,d,e,f 的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5，那么在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f，就得到椭圆的方程式。
（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f; 将上述九个点的坐标分别代入g(x,y),得到9组等式，然后再将这9组等式平方后相加，记为s;
根据最小二乘法原理，：
令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。
得到一个由五个五元一次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能够保证误差的平方和最小。
小行星的轨道模型
问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳
为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.
表6.1 坐标数据
由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为
012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .
问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：
（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.
由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224
135342
3333223125242
232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，
y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡111112222222222222225432155
25
5
525
44244424
33233323222
22222
112
11121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x
求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:
12
2
22=+b Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .
根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:
[]
.02221=+
+C D
Y X λλ 所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=
;椭圆短半轴: C
D
b 2λ=;椭圆半焦矩:22b a
c -=. 计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504
.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841
.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A
使用计算机可求得
).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(54321---=a a a a a
从而
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221
a a a a C C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080
.021==λλ .12165.06351.12165.06942.03440.06351.13440.06143.015
4
532
321
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a D .8203.1-=D
于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h
最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.。