数学建模在线性代数中应用案例_黄炜
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
线性代数在数学建模中的应用
线性代数在数学建模中的应用作者：杨德山来源：《新教育时代·教师版》2016年第12期摘要：线性代数作为数学的一个重要分支，具有较强的逻辑性、抽象性和实用性。
数学建模是对实际问题进行分析，利用数学知识和方法建立数学模型，对模型求解并用于实际问题的处理。
数学建模是联系数学和实际问题的重要纽带。
本文主要是通过一个实例讨论一个线性代数在数学建模的的实际应用问题-交通流量问题。
关键词：线性代数；数学建模；应用一、问题提出下图给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）：二、问题解决（一）假设1.全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；2.全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量，试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量。
（二）建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：于是方程组的通解x=knη1+k2η2+x，其中k1，k2为任意常数，x的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解。
三、结论以上实例只是运用了线性代数中求解线性方程组的方法，可以想象，更多精深的数学方法应用在经济研究领域中将会对经济发展起到多么大的推动作用。
总之，如果问题所涉及的数据是以表格形式出现的或者问题可以转化为线性方程组进行求解的，这些提供的数据常常可以用上述简化的矩形式表来表示，应用代数知识解决实际问题的能力。
参考文献：[1]白梅花.交通流量分析中的线性代数[J].科技资讯，2014.26.[2]张莹华.线性代数机器在经济领域中的应用与作用[J].黑龙江科技信息，2011.30.[3]杨庆.线性代数在数学建模中的一些应用[J].科技资讯，2012.8.。
基于数学建模思想提高线性代数教学效果
线性代数是普通 高校理工科学生的一 门基础数学课 程 ，对很 多 后续课 程有 重要 的指 导意 义 。如高 等数 学 、电 路、化学、力学、信号与系统、运筹学、控制原理等众多课 程中都要用线性代数知识建立数学模型解决 问题［ １ １ 。要想 充分调动学 生的学习热情 ，就要把看不 见摸不着 的抽象 问题 和生动形象 的实 际问题结合起来 ，而连接 二者的纽带就是数 学建模思想。下面我们介绍一下如何基于数学建模思想，提 高线性代数教学效果 。 数学建模的发展情况 不论是用数学方法解决某类实际问题 ，还是与其他学 科相结合形成交叉学科 ，首要的和关键的一步是将研究对象 的内在规律用数学的语言和方法表述出来 ，即建立所谓的数 学模 型 ，还要将求解得 到的结果返 回到实 际问题 中去 ，这种 解决 问题 的全过程称为数学建模 。 我 国的几所 大学是在８ ｏ ｇ 代初 将数 学建模引入课堂。经 过２ ０ 多年的发展，现在绝大多数本科院校和许多专科学校都 开设 了各种形式 的数学建模课 程和讲座 ，为培养学生 利用数 学方法分析 、解决实际 问题的能力开辟 了一条有效 的途径 。 ２ Ｏ 世纪 ８ ０ 年代 ，数 学建 模 出现 在大 学课 堂 ，到 ８ ０ 年代 末形成 了课程的基本 内容 和案 例教 学的基本形式 ；９ ０ 年代 是 数学建模 发展迅速的十年 ，最少 三四百所学校设课或讲座 ， 出版 了三四十本教材 ；９ ０ 年代末 至今 ，一些学校在将数学 建 模融入 主干课 、开设数学实验课 和数学建模系列课等方 面做 了许多改革试验 ，正在推动数学建模教学的进一步发展 。 二 将数 学建模思想渗透到线 性代 数 。以提高教学效 果的有
４ ０ ０ ＋ ｘ １ ＝ ｘ ４ ＋ ３
例 如 ，矩阵概念 的引入 。 某 航空公 司在４ 座 城市之 间开辟 了若 干航线 ，航 班图 由 箭 头图给 出，箭头从始 发地指 向 目的地 。经 过观察 ，很容易 以 一ｌ ｏ ｏ 能得到一 个０ 一 ｌ 数表 （ ０ 表示没 有航班 ，ｌ 表 示有航班 ），该 － Ｘ ４ ＋ ６ ０ ０ 数 表很直 观 的反 映出４ 个城市 之 间的航班情况 ，而这样 的数 ｛ ＝ｘ ４ —３ ０ ０ 表就是矩 阵。 再 如 ，讲到 向量 的线性 相关 性和线 性无 关性 时 ，很 多 因此 ， 为 了唯一确定未知流量，只需要增添】 【 ４ 的统计值 。 学生 觉得很抽象理解不 了。那我们在讲课时 可以通过平面上 再如 ，营养学专业 中涉及 的配方 问题 ：一种佐料 由四 两个 向量 共线与不共线来解 释二维 向量线性相关 性和线性无 种原料Ａ、Ｂ 、ｃ、Ｄ 混合 而成 ． 这种佐料 现有 （ 下转第 ８ １ 页）
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
线性代数在数学建模中的应用
线性代数在数学建模中的应用线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
在数学建模中，线性代数是一门重要的应用数学学科之一。
可以说，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
一、线性代数在矩阵计算中的应用在数学建模中矩阵计算是一个重要的应用领域。
矩阵计算中的线性代数运算尤为关键。
通过矩阵计算，我们可以进行线性变换。
例如，在机器学习中，我们可以对图像进行矩阵变换，从而实现对图像的分类和识别。
二、线性代数在图形学中的应用图形学是一门研究计算机图像和多媒体图像处理的学科。
在图形学中，矩阵和向量的运算是关键所在。
例如，在三维图像中，我们可以通过矩阵运算来表示三维空间中的向量，从而进行图形变换。
图形学在现代的娱乐产业、计算机游戏和虚拟现实等领域中得到了广泛的应用。
三、线性代数在金融学中的应用线性代数在金融学中的应用不可忽视。
在金融学中，线性代数可以用来建立金融模型。
例如，在经济学中，我们可以使用线性代数中的矩阵运算来对资产组合进行优化。
通过矩阵运算，我们可以通过协方差矩阵来计算风险和收益性。
这对于分析金融市场和制定投资策略非常重要。
四、线性代数在物理学中的应用在物理学中，线性代数也是一门非常重要的学科。
例如，在量子力学中，矩阵运算是非常核心的。
在计算机模拟中，我们可以使用线性代数的矩阵运算来模拟物理现象。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用物理引擎来模拟现实世界中的物理效应，并且可以使用矩阵运算来实现。
总之，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
矩阵运算、图形学、金融学和物理学等领域都可以使用到线性代数。
因此，对于想从事这些领域的人来说，学好线性代数是非常必要的。
【精品】线性代数的应用案例
【精品】线性代数的应用案例
线性代数是数学中研究线性方程和线性变换的一个分支，它的发展极其广泛，应用场
景也非常多，各行各业的许多领域都应用了线性代数的方法。
在工业自动控制领域，线性代数可以用于研究影响工厂设备运行效率的各种参数，比
如温度、湿度等。
通过对矩阵的处理，可以发现某些参数对效率的影响，从而更好地进行
设备的智能优化。
在智能机器人领域，线性代数也可以用于智能机器人的机器人运动控制。
机器人运动
是机器人系统最基本的要素之一，需要依赖多维刚体线性变换理论来实现。
利用矩阵的运算，可以根据机器人的实时情况来计算转换后的坐标，实现机器人的姿态控制和运动控制。
在控制论领域，线性代数也可以用于研究和分析系统性能及稳定性。
可以利用矩阵等
数学工具来分析复杂的系统性能，并得出正确的结论。
此外，线性代数也可以用于数据
挖掘。
利用数学知识和矩阵运算，可以快速筛选大量数据，挖掘出具有学习价值的模型，
从而在机器学习等方面发挥重要作用。
此外，线性代数也应用于市场营销领域。
商家或企业可以利用矩阵运算，根据业绩和
消费者的口碑，筛选出最有竞争力的产品，决定最合理的营销策略，从而将营销成功率提
升到最高水平。
以上就是线性代数的应用案例，可见它的使用范围不仅仅是数学和计算机领域，已经
渗透到多方经济文化活动中，为各行各业提供了应用方法，现代社会发展得到了极大促进。
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0
0 200
1
0
x3
-1
0 600
x4 =k1 -1 +k2 1 + 0 。
x5
0
1 -200
x6
1
0
3.3 问题解答
由于 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 为非负整数 , 所以
k1 , k2 要满足 0≤k1 ≤600, k2 ≥200。 基础解系 (1 0 -1 -1 0 1 1)T表示沿折线 DC,
600
0 0 0 1 0 1 -1
0
0 0 0 0 1 0 -1 -200 X=[ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ] T。
显然 , 在这一方程组中 , 未知数个数多于方程
的个数 , 是欠定方程组 。所以 , 当方程组的系数矩
阵 A的秩与增广矩阵 [ Ab]的秩相等时 , 该问题有
广矩阵化为最简行阶梯形矩阵 , 得数据
1 0 0 -1 -150
ans=0 1 0 00 1
-1 -1
0 150
000 0 0 由此可确定对应的齐次方程组的基础解系以
及非齐次 方程组的通解 。 由于增广矩阵 的秩为
3, 而方程组含有 4个未知数 x1 , x2 , x3 , x4 , 有一个
自由未知数 x4, 故方程组的通解
摘要 :本文给出了线性方程组的分类以及在交通流量 、人口预测等方面的应用 , 促进工 程数学与实际问题的融 合 , 并用 MATLAB给出了解法 , 印证了数学的广泛应用性 。 关键词 :数学建模 ;线性方程 ;案例分析 ;MATLAB求 解 中图分类号 :G642 文献标识码 :A
MathematicsModellinginLinearAlgebraApplicationCase
第 27卷 第 2期 2009年 4月
江 西 科 学
JIANGXI SCIENCE
Vol.27 No.2 Apr.2009
文章编号 :1001 -3679(2009)02 -0188-05
数学建模在线性代数中应用案例
黄 炜
(宝鸡职业技术学院基础部 , 陕西 宝鸡 721013)
取 k1 =0, k2 =200, 得 [ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ] =[ 200 200 600 200 0 0 200] , 将对应数据填写 ,
得图 3。
显然 , 这一问题的解是不唯一的 。
第 2期
黄 炜 :数学建模在线性代数中应用案例
案例 1:设 1个 “井 ”字性公路环网 , 均为单向 行驶 , 8个街道路口的车流量有数据记录 , 已知在 8个街道路 口的车辆数目 如图 1所示 , 试问 x1, x2 , x3 , x4 路段上的车辆数目是多少 ?
图 1
2.1 问题分析与数学模型 在图 1中的任何一个路口 (十字路口或丁字
路口 )处 , 都有车辆流进和流出 。当一天结束后 ,
然后用命令 r1 =rank(A), r2 =rank([ Ab] )计算 系数矩阵的秩 r1 和增广矩阵 [ Ab] 的秩 r2 , 得 r1 =5, r2 =5。 这说明系数矩阵和 增广矩阵的秩相 等 。最后用命令 rref([ Ab] )将增广矩阵化为最 简行阶梯形矩阵 , 得数据
1 0 0 0 0 -1 0 200
驱动 , 思索 , 研讨 , 做结论 [ 3] 。
1 线性方程组的分类
根据实际情况可将线性方程组分为三类 :适 定方程组 、欠定方程组和超定方程组 。
当方程组中实 际的方程数等 于未知数 个数 时 , 这一类方程组称为适定方程组 。如果其系数 矩阵可逆 , 适定方程组有唯一的解 。求解适定方 程组的方法有克莱姆方法 、消元法 、矩阵分解法 、 迭代法等 。
无穷多组解 。由于图 1 中街道都是单行道 , 每一
街道上的车流量只能是正数或者是零 。故应在方
程组的解集合中寻找非负解 , 如果方程组没有解
或者没有非负解 , 则说明问题所给的数据有误。
求解问题分 3步 :第 1步 , 判断方程组是否有解 ;
第 2步 , 如果有解则求出方程组的通解 ;第 3 步 ,
0 前言
在现代经济社会 , 信息高速发展 , 数学与应用 数学的应用取得巨大成功 , 数学已直接应用于工 程技术 、生产活动 、医药卫生人口 、经济 、交通 、环 境等 等领域 [ 1] , 几 乎渗 透到了 每一个 领域和 学 科 , 发挥了实质性的作用 , 要求每个公民都能具备 一定的数学应用意识和能力 。 本文给出线性方程 组的分类及其在交通管理 、中国人口预测方面几 个案例应用 , 主要如下这几个方面 :(1)问题分析 与数学模型 , 结合实际 、生活中问题与例子 , 启发 人们用数学的的眼光看问题, 数学的思考问题; (2)程序和计算结果 , 利用 MATLAB计算平台 , 使 繁难的计算变得 “可视化 ”、简单化 、清晰化 , 计算 结果变得生动鲜活[ 2] ;(3)问题解答 , 依据数学理 论 , 对结果给出分析 , 得到规律 , 指导实际 。 问题
矩阵 A和方程组右端向量 b A=[ 1 -1 0 0;0 1 -1 0;0 0 1 -1;-1 0 0 1;] ,
b=[ -150;-150;150;150] 。
然后用命令 r1 =rank(A), r2 =rank([ Ab] ), 计算系数矩阵的秩 r1 和增广矩阵 [ Ab] 的秩 r2 , 得 r1 =3, r2 =3。这说明系数矩 阵和增广矩阵的 秩相等但小于 4。最后 , 用命令 rref([ Ab] )将增
0 1 0 0 0 0 -1 0
ans=0 0 1 0 0 1 00010 1
0 600 -1 0
0 0 0 0 1 0 -1 -200
00000 0 0 0
由此可确定对应的齐次方程组的基础解系以
及非齐次 方程组的通解 。 由于增广矩阵 的秩为
5, 而方程组含有 7个未知数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7, 故方程组的通解中含有 2个自由未知数 。 最
表 1 1999年 ～ 2008年我国人口数的统计数据
年 人口
19 99
20 00
20 01
2 002
2 003
2 00 4
200 5
200 6
20 07
12.403 8 12.424 9 12.513 6 12.629 1 12.991 6 12.999 4 13.075 6 13.123 9 13.212 9
当方程组中实 际的方程数少 于未知数 个数 时 , 这一类方程组称为欠定方程组 。当系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩时 , 不定方程组有无穷多 组解 。 根据线性代数的理论和方法 , 可求得方程 组的通解 。 当方程组中实际的方程数多于实际的 未知数个数时 , 这一类方程组称为超定方程组。
收稿日期 :2008 -12 -10;修订日期 :2009 -02 -26 作者简介 :黄 炜 (1961 -), 男 , 陕西岐山人 , 副教授 , 研究方向 :代数 。
第 2期
黄 炜 :数学建模在线性代数中应用案例
· 189·
超定方程组没有准确解 , 但可以求广义解 , 例如超 定方程组的最小二乘解 。
时下 , 在很多大城市不时听到人们的抱怨交 通拥挤 , 高峰期塞车, 这也是不少城市的头痛问 题 , 下面给出交通拥挤的数学解释
2 交通流量问题
设下面交通网络图 , 均为单向行驶 , 且不能停 车 , 通行方向用箭头表明 , 图中所示的数字为高峰 期每小时进出网络的车辆数 , 进入网络的车辆等 于离开网络的车辆 , 另进入每个节点的的车辆等 于离开节点的车辆 。
HUANGWei
(DepartmentofontheBasis, BaojiVocationalandTechnicalCollege, ShanxiBaoji721013 PRC)
Abstract:Inthispaper, linearequations, aswellastheclassificationofthetrafficflow, population projectionsandsoontheapplicationofmathematicsandworkstopromotethepracticalproblemsof integrationandunderstandingofthelawgivenbyMATLAB, confirmsthewidespreadapplicationof mathematics. Keywords:Mathematicalmodeling, Linearequations, Casestudies, MATLABsolution
BE与沿折线 DE, EF的车流量相等 ;(0 1 0 1 1 0 1)T表示沿折线闭合回路 ABEFA的每
段上的车流量相等 。 上述不等式可知 , 若每小时
通过 DC段的车辆超过 600 辆 , 或者每小时通过
FA段的车辆不到 200 辆 , 则方程组无整数解 , 会
导致交通拥挤 , 出现塞车现象 。
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图 3
4 中国人口预测问题
研究人口数学模型 , 可以用来预测将来人口 , 也可以控制人口数量改善人口年龄结构 。 1999年 ～ 2008年我国人口数的统计数据如表 1所示 (单 位 :亿 ), 试根据以上数据 , 建立我国人口 增长的 近似曲线 , 并预测 2015年 2020年的人口数量 。
在通解中找非负特解 。
3.2 程序和计算结果
在 MATLAB环境中 , 首先输入方程组的系数
矩阵 A和方程组右端向量 b A=[ 1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1