线性代数在数学建模中的应用举例

1 线性代数在数学建模中的应用举例 1 基因间“距离”的表示 在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率 爱斯基摩人f1i 班图人f2i 英国人f3i 朝鲜人f4i A1 0.2914 0.1034 0.2090 0.2208

A2 0.0000 0.0866 0.0696 0.0000

B 0.0316 0.1200 0.0612 0.2069

O 0.6770 0.6900 0.6602 0.5723

合计 1.000 1.000 1.000 1.000

问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。 解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记kikifx.由于对这四种群

体的每一种有141ikif，所以我们得到4121ikix.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记

.44434241,34333231,24232221,141312114321xxxxaxxxxaxxxxaxxxxa 2

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1和a2之间的夹角记为θ，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得

21cosaa 而

.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021aa

故 9187.0cos21aa 得 2.23°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2. 表1.2基因间的“距离” 爱斯基摩人 班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人 16.8° 20.4° 19.6° 0°

由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.

2 Euler的四面体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.

解 建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为.,,,,,rqpnml由立体几何知

道，该四面体的体积V等于以向量OCOBOA,,组成右手系时，以它们为棱的平行 3

六面体的体积V6的16 .而 .3332221116cbacbacbaOCOBOAV

于是得 .6333222111cbacbacbaV 将上式平方，得

.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122cbaccbbaaccbbaaccbbaacbaccbbaaccbbaaccbbaacbacbacbacbacbacbacbaV

根据向量的数量积的坐标表示，有 .,,,,232323323232222222313131212121212121cbaOCOCccbbaaOCOBcbaOBOBccbbaaOCOAccbbaaOBOAcbaOAOA

于是 .362OCOCOCOBOCOAOCOBOBOBOBOAOCOAOBOAOAOAV （2.1）

由余弦定理，可行 .2cos222nqpqpOBOA 同理 .2,2222222lrqOCOBmrpOCOA 将以上各式代入（2.1）式，得 4

.222222362222222222222222222222rlrpmrplrppnqpmrpnqppV （2.2）

这就是Euler的四面体体积公式. 例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为

l=10m, m=15m, n=12m, p=14m, q=13m, r=11m. 则

.952222,462222,5.1102222lrpmrpnqp

代入（2.1）式，得 .75.13698291219546951695.110465.110196236V 于是 .)195(82639.38050223mV

即花岗岩巨石的体积约为195m3. 古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.

3 动物数量的按年龄段预测问题 问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物

各有多少头？ 问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(kix表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数 5

量（k=1，2，3；i=1，2，3）. 因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有 ).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2kxxxxkkkk 又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有 ).3,2,1(34)1(3)1(2)(1kxxxkkk 于是我们得到递推关系式：







.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1kkkkkkkxxxxxxx

用矩阵表示 ).3,2,1(04100021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1kxxxxxxkkkkkk

则 ).3,2,1()1()(kLxxkk 其中

.100010001000,04100021340)0(xL 则有 ),3,2,1()(3)(2)(1)(kxxxxkkkk 6

,250500700010001000100004100021340)0()1(Lxx ,12535002750250500700004100021340)1()2(Lxx .8751375143751253500275004100021340)2()3(Lxx 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%. 注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(xLLxxkkk中当趋于无穷大时的极限状况得到. 关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(kix是在时间周期k时第i个年龄组的（女性）人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化. 假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i个年龄组的成员将全部转移到i+1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述： ),1,,2,1()1()(1nixbxkiiki