线性代数在数学建模中的一些应用
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
数学建模重要知识点总结
数学建模重要知识点总结一、微积分微积分是数学建模中最重要的数学工具之一，它包括微分和积分两大部分。
微分是求函数的导数，用于描述函数的变化率和曲线的切线。
而积分则是求函数的不定积分或定积分，用于描述函数的面积、体积等性质。
在数学建模中，微积分可以用于建立问题的数学模型，求解微分方程和积分方程，对函数进行优化等。
例如，在物理建模中，我们经常会用到微积分来描述物体的运动、速度和加速度等。
在经济学建模中，微积分可以用来描述供求关系、利润最大化等问题。
二、线性代数线性代数是研究向量空间、线性映射和矩阵等数学对象的学科。
在数学建模中，线性代数可以用于描述多维空间中的几何关系、解线性方程组、求解最小二乘问题等。
例如，在计算机图形学中，线性代数可以用来描述和变换三维物体的位置和姿态。
在统计学建模中，线性代数可以用来对数据进行降维、拟合线性模型等。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和统计规律的学科。
在数学建模中，概率论与数理统计可以用于描述随机现象的概率分布、推断总体参数、假设检验等。
例如，在风险管理建模中，我们经常会用到概率论与数理统计来描述风险的分布和进行风险评估。
在机器学习建模中，概率论与数理统计可以用来对数据进行建模和推断。
四、数学优化数学优化是研究如何在给定约束条件下，找到使目标函数取得极值的方法和理论。
在数学建模中，数学优化可以用来对问题进行建模和求解。
例如，在生产调度问题中，我们可以用数学优化来寻找最优的生产计划；在投资组合优化中，我们可以用数学优化来构建最优的资产配置。
五、微分方程微分方程是研究未知函数及其导数之间关系的方程。
在数学建模中，微分方程可以用来描述系统的动力学行为、生物种群的增长规律、热传导过程等。
我们可以通过对微分方程进行数值求解、解析求解或者定性分析，来获得系统的行为特征。
六、离散数学离散数学是研究离散结构及其性质的数学学科，包括集合论、图论、逻辑和代数等内容。
数学建模常用知识点总结
数学建模常用知识点总结1.1 矩阵及其运算矩阵是一个矩形的数组，由行和列组成。
可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2 矩阵的转置对矩阵进行转置就是把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
1.3 矩阵乘法矩阵A和矩阵B相乘得到矩阵C，要求A的列数等于B的行数，C的行数是A的行数，列数是B的列数。
1.4 矩阵的逆只有方阵才有逆矩阵，对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.5 行列式行列式是一个标量，是一个方阵所表示的几何体积的无向量。
1.6 特征值和特征向量对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。
1.7 线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的系数，使得它们的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。
1.8 空间与子空间空间是向量的集合，子空间是一个向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。
1.9 线性变换对于向量空间V和W，如果满足T(v+u)=T(v)+T(u)和T(kv)=kT(v)，那么T就是一个线性变换。
1.10 最小二乘法对于一个线性方程组，如果方程个数大于未知数个数，可以使用最小二乘法来求得最优解。
1.11 奇异值分解矩阵分解的方法之一，将一个任意的矩阵分解为三个矩阵的乘积。
1.12 特征分解对于一个对称矩阵，可以将其分解为特征向量和特征值的乘积。
1.13 线性代数在建模中的应用在数学建模中，线性代数是非常重要的基础知识，它可以用来表示和分析问题中的数据，解决矩阵方程组、优化问题、回归分析等。
二、微积分2.1 极限和连续性极限是指一个函数在某一点上的局部性质，连续性则是函数在某一点上的全局性质。
2.2 导数和微分对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f’(x)，其微分可以表示为dy=f’(x)dx。
2.3 泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，在建模中可以用来进行函数的近似计算。
高等代数在数学建模中的应用探讨
高等代数在数学建模中的应用探讨高等代数是数学中一个重要的分支，它研究的是数学中的线性空间、矩阵和向量等概念。
高等代数不仅仅为数学学科的发展做出了贡献，它在现代科学中也有着广泛的应用，尤其是在数学建模中。
1.线性回归模型线性回归模型是数学建模中最常使用的模型之一，它的核心是利用高等代数中的矩阵和向量计算，建立数学模型，预测未来的结果。
线性回归模型在金融、天气预测、医学等领域中都有着广泛的应用。
在线性回归模型中，矩阵和向量的应用至关重要。
在实际的建模过程中，我们需要将数据转换为矩阵和向量形式，以便于进行计算，从而得出对未来的预测结果。
2.特征值和特征向量在图像处理中的应用在图像处理中，我们通常需要对图像进行分析和处理。
高等代数中的特征值和特征向量可以很好地应用到图像处理中。
我们可以将图像视为一个矩阵，在对矩阵进行特征值和特征向量分解后，可以得到图像的一些特征信息，如边缘、斑点等信息，从而优化图像处理的效果。
3.矩阵在网络分析中的应用在现代社会中，网络已经成为了人们生活的重要组成部分。
矩阵在网络分析中也有着广泛的应用。
我们可以将网络视为一个图形，再利用高等代数中的矩阵计算方法，将网络分析成一个矩阵，从而更好地理解和分析网络的结构和特征。
4.线性代数在计算机图形学中的应用计算机图形学是指通过计算机对图形进行处理和生成的一门学科。
在计算机图形学中，我们需要对图形进行旋转、缩放、平移等操作。
这些操作都可以通过线性代数中的矩阵和向量计算来完成。
因此，线性代数在计算机图形学中扮演着重要的角色。
综上所述，高等代数在数学建模中有着广泛的应用。
它的应用范围从金融、医学到计算机图形学、网络分析等众多领域。
因此，对于专业的数学建模人员来说，学习和掌握高等代数知识是非常重要的。
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
线性代数在数学建模中的应用
线性代数在数学建模中的应用线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
在数学建模中，线性代数是一门重要的应用数学学科之一。
可以说，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
一、线性代数在矩阵计算中的应用在数学建模中矩阵计算是一个重要的应用领域。
矩阵计算中的线性代数运算尤为关键。
通过矩阵计算，我们可以进行线性变换。
例如，在机器学习中，我们可以对图像进行矩阵变换，从而实现对图像的分类和识别。
二、线性代数在图形学中的应用图形学是一门研究计算机图像和多媒体图像处理的学科。
在图形学中，矩阵和向量的运算是关键所在。
例如，在三维图像中，我们可以通过矩阵运算来表示三维空间中的向量，从而进行图形变换。
图形学在现代的娱乐产业、计算机游戏和虚拟现实等领域中得到了广泛的应用。
三、线性代数在金融学中的应用线性代数在金融学中的应用不可忽视。
在金融学中，线性代数可以用来建立金融模型。
例如，在经济学中，我们可以使用线性代数中的矩阵运算来对资产组合进行优化。
通过矩阵运算，我们可以通过协方差矩阵来计算风险和收益性。
这对于分析金融市场和制定投资策略非常重要。
四、线性代数在物理学中的应用在物理学中，线性代数也是一门非常重要的学科。
例如，在量子力学中，矩阵运算是非常核心的。
在计算机模拟中，我们可以使用线性代数的矩阵运算来模拟物理现象。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用物理引擎来模拟现实世界中的物理效应，并且可以使用矩阵运算来实现。
总之，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
矩阵运算、图形学、金融学和物理学等领域都可以使用到线性代数。
因此，对于想从事这些领域的人来说，学好线性代数是非常必要的。
线性代数在数学建模中的应用
模型求解 ：通过消元法求解得到
，
也 土血 模 型 建立 铲 ａｌ ａ２ 一 ａ ２ ａｌ ａ２ 一 ａ ｚ ａ； ｔ 对 于学生而 言 ，建立一 个合适 的数 学模型是 一件 困难 的 模型分析 ， ： 分母等 于方程组 系数交叉相乘之差 的式子 事情 。因为现实 的问题 相对 复杂 ，但 是学生 在解决现 实 问题 的 时候 也无法 做到全面 。所 以，在 教学过程 中，教师 需要 注 也 就 是 ：
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｋｕ ｎ ｍｉ ｎ ｇ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｃａ ｄ ｒ ｅ ｓ Ａｃ ａ ｄ ｅ ｍｙ
Ｎ ｏ ． ７ ． ２ Ｏ １ ６
线性代数在数 学建模 中的应用
王 珍 萍
长治学院沁县师范分院 ，山西省长治 ，０ ４ ６ ４ ０ ０ 【 摘要】 一直 以来，数 学建模都是讲 实际问题转化成 为数 学问题 的桥梁。 因此，首先分析线性代 数在 数学建 模之 中应 用， 然后对具体 的生活实例进行讲解，希望可 以通过这样 的方式帮助 学生增 强动手能力，并且可 以通过 建模 的手法， 来解决数 学问题。 【 关键词】数 学建模 ：线性代数 ：学生
Ｉ ｄ ｌ Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝ ｂ ｌ 【 ａ ２ Ｘ １ ＋ ａ ２ Ｘ ２ ｂ ２
ｌ ２一
２ ｛ ｌ ａｌ
｝
ａ２
将 一阶行 列式概念 引入 ，同时也可 以进行三 阶行列式 的 推出 ，等到 １ ２ 阶的时候 ，就可以进一步的对 其规律进行分析 。 在建模思想 当中引入矩阵、 线 性相关、 特征值 以及特征 向量等 ， 从实 际 的问题 来引 出概念 ，进而 帮助学生 培养其应 用能 力以 及学 习积极性 。 （ 二）矩阵乘积 在一 个城 市 中有 Ａ，Ｂ ，Ｃ，Ｄ，现在 要进行 一次旅 游 ， 方 式 ：先乘 坐火车 ，然 后坐汽 车 ，从第一 个城市坐 火车 前往 第二个城市 ， 然后第二个城市乘坐汽车到第三个城市 ，那么 ， 在 哪两个城 市之 间才 可 以实现一 次使 用两种交 通工具城 市 的 旅行 四个城 市的火车 交通线路 图和 汽车 交通线路 图如下 图 １ 和２ 所示 ，而火车和汽车 的交通路线实际情况见图 ３ 所示 。
2）线性代数在数学建模中的应用例举
2）线性代数在数学建模中的应用例举第一篇：2)线性代数在数学建模中的应用例举8015985.docAct3 总复习【Arrangement】1）模拟题2）线性代数在数学建模中的应用例举3）线性代数在考研中的地位和重要性【Content】模拟题一、填空题（每题4分，共20分）：1、n阶方阵A的行列式，则行列式。
2、若向量组线性相关，则t=。
3、若可逆方阵A有特征值2，则必有一个特征值为。
4、若n阶方阵A满足，则＝。
5、行列式＝。
二、（12分）已知 ,解下列方程式8015985.doc三、(14分)设非齐次线性方程组，t取何值时，此方程组无解；t 取何值时，此方程组有解，并在有解时求出该方程组的全部解。
四、(14分)设求：（1）与与的值；（2）满足相似，的可逆阵。
五、（14分）求下列矩阵A的特征值和特征向量。
A=六、（14分）设二次型1．写出f的矩阵表达式；2．用配方法求一可逆线性变换，化f为标准形。
七、证明题（本题12分）设向量组相关性。
线性无关，讨论向量组线性线性代数在数学建模中的应用例举1、森林管理森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。
为使这片森林不被耗尽而且每年都有所收获，每当砍伐一棵时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木总量保持不变。
被出售的树木，其价值取决于树木的高度。
最初，森林中树木有着不同的高度。
我们希望找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济效益？2、遗传模型8015985.doc随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。
无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定了后代所表现的特征。
根据亲体基因遗传给后代的方式，建立矩阵模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体的基因型的分布。
线性代数在考研中的地位和重要性1、报考工学、经济学、管理学各学科、专业都要考线性代数；2、数学一考试科目试卷结构数学二考试科目数学三考试科目试卷结构数学四考试科目试卷结构高等数学、线性代数、概率论与数理统计1）题分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
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线性代数在数学建模中的一些应用
摘要:线性代数是许多高校开设的一门重要基础理论课,作为数学的一个重要的分支,它具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。
数学建模是对实际问题进行分析,利用数学知识和方法建立数学模型,对模型求解并用于实际问题的处理。
因此,数学建模是联系数学和实际问题的重要纽带。
本文通过一些实例讨论了线性代数在数学建模中的一些重要应用。
关键词:线性代数数学建模应用
随着社会的发展,数学在社会各领域中的应用越来越广泛,作用越来越大。
不但运用到自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。
不论是用数学方法解决哪类实际问题,还是与其他学科相结合形成交叉学科,首要的和关键的一步是将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来,即建立所谓的数学模型,还要将求解得到的结果返回到实际问题中去,这种解决问题的全过程称为数学建模[1]。
建立数学模型是一个比较复杂的过程,该过程可归纳为以下步棸[2]。
(1)对某个实际问题进行观察、分析。
(2)对实际问题进行必要的抽象、简化,作出合理的假设。
(3)确定要建立的模型中的变量和参数。
(4)根据某种规律,建立变量和参数间确定的数学关系,这是最关键的一步。
(5)解析或近似地求解该数学问题,这里要用到很多数学理论和方法。
(6)数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象,或用某种方法来验证结果是否正确。
(7)如果(6)的结果是肯定的,则可用于指导实践;如果是否定的,则要回到前面六步重新进行分析,并重复上述建模过程。
作为数学科学的重要分支,线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象,其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。
线性代数虽然是一门理论性很强的学科,但是它与实际问题也有着十分密切联系。
线性代数中的基本定义都是从实际问题中抽象和概括得到的,因此通过实际问题的求解来理解线性代数中的定义会更有趣更深刻。
例如:在理解行列式的定义时,可以模拟法国数学家Cauchy 求解空间多面体模型体积的过程,从平行四边形面积和空间六面体体积出发,得到2阶和3阶行列式的基本公式;再者,在理解矩阵概念时,可以先了解诺贝尔经济学奖获得者美国数学家和经济学家Leontief的
投入产出模型。
因此,线性代数的研究脱离不开实际问题。
事实上,线性代数的知识方法和研究结果也可广泛应用于实际问题的解决。
1 线性代数在数学建模中的应用实例
下面通过一些实例来说明线性代数在数学建模中的重要应用。
模型一:基于可逆矩阵的保密通信模型[3]。
保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题,无数的科技工作者为此做了大量的工作,先后提出了许多较为有效的保密通信模型。
其中,基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本且最具活力的一种。
1.1 加密保密通信模型
基于加密技术的保密通信模型如图1所示。
发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方,接收方则可采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。
1.2 可逆矩阵的应用
一种加密技术是否有效,关键在于密文能否还原成明文。
设有矩阵方程,其中为未知矩阵。
我们知道,若为可逆矩阵,则方程有唯一解,其中是的逆矩阵。
下面设为可逆矩阵,为明文矩阵,为密文矩阵,则有下面的加密算法和解密算法。
(1)加密算法。
加密时,采用矩阵乘法或。
(2)解密算法。
解密时,采用矩阵乘法或,其中是的逆矩阵。
因此,可逆矩阵可以有效地应用于加密技术。
模型二:基于线性方程组求解的交通流模型[4]。
利用线性代数中向量和矩阵的运算以及线性方程组的求解等知识,可以建立交通流模型。
应用举例:设一个“井”字型公路环网,均为单向行驶,8个街道路口的车流量有数据记录,已知在8个街道路口的车辆数目如图2所示,试问路段上的车辆数目是多少？
(1)模型假设:设图2的交通网络图,均为单向行驶,且不能停车,通行方向用箭头表明,图2中所示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数,进入网络的车辆等于离开网络的车辆,另进入每个节点的车辆等于离开节点的车辆。
(2)问题分析与数学模型的建立。
在图2中的任何一个路口处,都有车辆流进和流出。
一天结束后,流进的车辆数和流出的车辆数应该相等以达到平衡。
在每个路口处课根据进出的车流量相等,可以建立一个线性代数方程。
图2中有4个路口,可建立含4个方程的线性方程组。
那么问题的答案就在下面的线性方程组中:
整理得
在这一方程组中,未知数个数等于方程的个数。
所以,当方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,该问题有解。
(3)模型求解结果。
通过解上述方程组,可得该方程组的通解为：
(4)结果分析。
由上述结果可知闭合回路ABCD的每段上的车流量相等。
交通流模型是网络流模型在交通规划方面的应用。
大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。
由此可见,线性代数对于研究某种网络中的流量问题具有重要作用。
2 结语
除了我们前面所介绍的两类模型,线性代数在很多其他数学模型中都有重要的应用,比如由美国经济学家和数学家Leontief提出的投入产出模型,它是利用线性代数的理论和方法建立起来的模型,它在经济分析和预测方面有重要的应用。
总之,随着社会的进步,科技的飞跃发展,不论是线性代数,还是其它数学分支,都在不断吸收其它领域的新成果,同时它们在各个领域中的应用也是越来越广。
参考文献
[1] 岳晓鹏,孟晓然.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].高师理科学刊,2011,31(4):77～79.
[2] 范振成.数学建模思想方法应用[J].闽江学院学报,2010,31(5):19～21.
[3] 熊小兵.可逆矩阵在保密通信中的应用[J].大学数学,2007,23(3):108～112.
[4] 黄炜.数学建模在线性代数中应用案例[J].江西科学,2009,27(2):188～191,199.。