高中数学 2.4《抛物线》课件四 新人教A版选修2-1
反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程: 先定位， 后定量
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=
9 4
．
A
y
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
O
x
得p=
回顾求曲线方程一般步骤：
1、建系、设点 2、写出适合条件P的点M的集合 3、列方程
4、化简 5、答（证明）
二、标准方程
l N
M
· · F
如何建立直角 坐标系？
y y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c
o
x
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设动点M的坐标为（x，y）， l N
在二次函数中研究的抛物线，它 的对称轴平行于y轴，开口向上或向 下两种情形。
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l l 不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
M 的轨迹是抛物线。
2 3
2= ∴抛物线的标准方程为x
9 2
2 y或 y
= x
3
4
。
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x =
1 4
y2 =12x
；
y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
（3）焦点到准线的距离是2。 y2
①当a>0时,
p 2 1 a
x
Hale Waihona Puke 1 ∴2p= a=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
1 4a
∴焦点坐标是（ ②当a<0时,
p 2
，0），准线方程是： x=
1 4a
=
,抛物线的开口向左
∴焦点坐标是（
1 ，0），准线方程是： 4a
x=
1 4a
小 结
1.抛物线的定义及活用定义解题。 2.抛物线的标准方程。 顶 点 在 原 点 对称轴 为x轴 对称轴 为y轴 标准方程为 y2=+ 2px(p>0) 标准方程为 x2=+2py(p>0) 开口与x轴正向同向:y2=2px
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
怎样把抛物线位置特征 （标准位置）和方程的特 点（标准方程）统一起来？
顶 点 在 原 点
对称轴 为x轴
标准方程为 y2=+ 2px
开口与x轴同向: y2=+2px 开口与x轴反向: y2=-2px
(p>0)
对称轴 为y轴
标准方程为 x2=+ 2py
抛物线及其标准方程
复习：
椭圆、双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹，当0＜e ＜1时，是椭圆
当e＞1时，是双曲线 当e=1时，它又是什么曲线 ？
l l M M l
F ·
F
·
e＞1
·
M
· F
0＜e ＜1
e=1
请同学们思考两个问题
1、对抛物线已有了哪些认识？
2、二次函数中抛物线图像特征是什么？
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）x2=
1 2
y
（3）2y2 +5x =0
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（1） （5，0）
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（2）
（3）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
（4） （0，-2）
y=2
3、抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它 的焦点坐标和准线方程？ 抛物线标准方程为：y2=
X0 +
P67 3
————————————
— 2
p
y
（X0， y0) M
O F
．
x
X=-p/2
2 = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点在X轴的正 y
半轴上 p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式，
﹒ ﹒ ﹒
开口与y轴同向: x2=+2py 开口与y轴反向: x2=-2py
(p>0)
如何确定抛物线对称轴及开口方向
一次项变量对称轴（焦点位置）， 开口方向看正负
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程； （3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
开口与x轴正向反向:y2=-2px
开口与y轴正向同向:x2=2py 开口与y轴正向反向:x2=-2py
已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时， 3. 应先“定位”；后“定量”。
y
M
由定义可知，
p 2 p (x ) y2 x 2 2
K o
· · F
x
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
例1、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
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人教A版高中数学选修2—1《抛物线及其标准方程》课件
教材 分析
教学 方法
过程 设计
教学 反思
教 学 反 思
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方 式：一种是直接介绍而不讲具体的探寻过程， 这样的处理不利于我校学生数学思维能力的 培养；二是本课方式，通过强调对公式的探 索过程，提高学生利用代数方法处理几何问 题的能力；
教 学 反 思
2．在标准方程的推导过程中，本课重点介绍了寻 找轨迹方程的基本思想：建立直角坐标系——设 点——寻找等量关系．让学生在明了基本步骤的 前提下，再进行有效的推导；
目标 分析
教材 分析
教学 方法
过程 设计
教学 反思
教 材 分 析
1．教学内容及地位
《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准教科 书（选修2-1）人民教育出版社第二章的第四节“抛物 线”的第一节课，抛物线是继椭圆、双曲线之后的第三 种圆锥曲线，与前两者不同的是学生在初中已学过“二 次函数的图象是抛物线”，在物理上也研究过“抛物线 是抛体的轨迹”，这些足以说明抛物线在实际生活中应 用的广泛性，在这节内容里，我们将更深入的研究抛物 线的定义及其标准方程。为进一步理解圆锥曲线的性质 做好铺垫，在教学中有承上启下的作用。
2、抛物线的标准方程
（1）教师指出：定点F到定直线L的距离是常数，
可设为P（P﹥0），要求学生自己建立适当的坐标
系，求出抛物线的方程。 （2）课件投影三种建系法：
建 系 方 式
以L所在直线为 y轴，过F作L的 垂线为X轴建立 直角坐标系。
以F为原点， 过F与L垂直的 直线为X轴， 建立直角坐标 系。
目标 分析
教材 分析
Hale Waihona Puke 教学 方法过程 设计
教学 反思
目 标 分 析
人教A版高中数学选修2-1课件【20】抛物线方程及性质的应用
→ → ∴OA· OB＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4) ＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16 ＝(1＋k2)· (－16)＋4k· (4k)＋16 ＝0， → → ∴OA⊥OB.
12．给定抛物线 C：y2＝4x，F 是抛物线 C 的焦点，过 F 的 直线 l 与 C 相交于 A，B 两点． (1)设直线 l 的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程； (2)若|FA|＝2|BF|，求直线 l 的方程．
第二章
圆锥曲线与方程
2． 4
抛物线
课时作业(20)
抛物线方程及性质的应用
①明确直线与抛物线的位置关系， 作业 目标 掌握直线与抛物线的位置关系的 判定方法；②会用方程、数形结合 的思想解决直线与抛物线的位置 关系、弦长及弦中点等问题． 作业 设计 限时：40 分钟 满分：90 分
一、选择题：每小题 5 分，共 30 分． 1． 过抛物线 y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( A．不存在 B．有无穷多条 )
答案：(1,1)
8．过点 A(1，a)的直线中，只有一条与抛物线 y2＝3x 有唯一 公共点，则 a 的取值范围是__________．
解析：若点 A 在抛物线上，当 x＝1 时，y＝± 3，即抛物线 上两点是(1，± 3)，根据题意得点 A(1，a)在抛物线的内部，所 以 a∈(－ 3， 3)．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0，y0)，l：y＝x
y＝x－1， －1，联立 2 y ＝4x，
消去 y 得 x2－6x＋1＝0， x1＋x2 ∴x0＝ ＝3，y0＝x0－1＝2， 2 |AB| x1＋x2＋p 故圆心 M(3,2)，半径 2 ＝ ＝4， 2 从而以 AB 为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1
直线OA和 斜率用 统一表示，利用k表示 斜率用k统一表示 表示A、 直线 和OB斜率用 统一表示，利用 表示 、 B两点坐标． 两点坐标． 两点坐标
【证明】 设 OA 所在直线的方程为 y＝kx， 证明】 ＝ ， 1 则直线 OB 的方程为 y＝－kx， ＝－ ，
x＝ 22， ＝ y＝kx， x＝0， ＝ ， ＝ ， k 由 2 解得 或 2 2x， y＝0， y ＝2x， y＝0， ＝ y＝k， 1 y＝－ x， ＝－k ， 2 2 点的坐标为( 即 A 点的坐标为 2，k)．同样由 ． k 2 ， y ＝2x，
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．焦点为 ．
p ，0的抛物线标准方程是 y2＝2px F2 的抛物线标准方程是_______
p (p>0) ， _____，准线方程为 y＝－ 的抛物线标准方程是 ＝－ 2 x2＝2py(p>0) ． ____________． ＝ － 2．抛物线定义的实质是 |MF|＝dM－l ，其中点 F ．抛物线定义的实质是___________， 是抛物线的_____， 是抛物线上的__________ d 是抛物线的 焦点 ， M－l 是抛物线上的 点到准线的
已知抛物线的顶点在坐标原点， 变式训练 已知抛物线的顶点在坐标原点， 对称 B 轴为 x 轴， 且与圆 x2＋y2＝4 相交于 A、 两点， 、 两点， |AB|＝2 3，求抛物线方程． ＝ ，求抛物线方程．
解：由已知抛物线的焦点可能在x轴正半轴上， 由已知抛物线的焦点可能在 轴正半轴上， 轴正半轴上 也可能在负半轴上． 也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 故可设抛物线方程为 2＝ax(a≠0)． ≠ ． 设抛物线与圆x 的交点为A(x 设抛物线与圆 2＋y2＝4的交点为 1，y1)， 的交点为 ， B(x2，y2)． ． 与圆x 都关于x轴 ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆 2＋y2＝4都关于 轴 抛物线 ≠ 与圆 都关于 对称， 关于x轴对称 对称，∴点A与B关于 轴对称， 与 关于 轴对称，
2.4.2.1抛物线的修改几何性质 课件(人教A版选修2-1)
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段 AB 的长；
——多维探究系列—— 探究抛物线的焦点弦问题 【典例】 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)x1x2 是否为定值？y1y2 呢？ 1 1 (2) ＋ 是否为定值 |FA| |FB|
4a a
即直线PQ平行于x轴，则p=q. 如图所示，由于|PF|=|PM|, 所以 p
1 ，故 1 1 2 4a. 2a p q p
【补偿训练】已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线 y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(
A.2 B.3 11 C. 5 37 D. 16
一点为(x,4x2)，则其到直线的距离为
4x 4x 2 5 4 1
2 2
.
【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=2px(p＞0)，得焦点坐标为
p p ( ， 0)，设过焦点的弦AB所在直线方程为 x my . 2 2
y 2 2px, 2-2pmy-p2=0, 由 消去 x 得： y p x my , 2
【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点 且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物 线的方程. 【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解 方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.
【解析】若抛物线开口向右， 如图. 设抛物线的方程为y2=2px(p＞0), 则直线方程为 y x 1 p.
小结：过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》课件
①y= 1 x2.
4
②x=ay2(a≠0).
【解题探究】1.题(1)由圆与抛物线的准线相切,能得出什么结 论? 2.题(2)当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 【探究提示】1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径.
2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应
分类讨论,再求焦点和准线.
4
2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 __________.
【解析】1.因为焦点F为 ( 3 ， 所以抛物线方程可设为y2= 0)，
4
-2px(p＞0)，由 p 3 ，所以 p ,
2 4
3 2
故标准方程为y2=-3x. 答案：y2=-3x
2.根据抛物线的定义，点P到抛物线准线的距离为9， 设P(x0,y0)，则 x 0 p 9,
(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . .
(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为
【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),
准线方程为x=-1.
答案：(1,0)
x=-1
2a
(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以 y 2 1 x,
【微思考】
(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直
于l的直线,而不是抛物线.
(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.
【即时练】 1.以 F( 3 ， 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________.
的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物 线顶点)间的距离是 .
4
②x=ay2(a≠0).
【解题探究】1.题(1)由圆与抛物线的准线相切,能得出什么结 论? 2.题(2)当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 【探究提示】1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径.
2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应
分类讨论,再求焦点和准线.
4
2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为 __________.
【解析】1.因为焦点F为 ( 3 ， 所以抛物线方程可设为y2= 0)，
4
-2px(p＞0)，由 p 3 ，所以 p ,
2 4
3 2
故标准方程为y2=-3x. 答案：y2=-3x
2.根据抛物线的定义，点P到抛物线准线的距离为9， 设P(x0,y0)，则 x 0 p 9,
(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . .
(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为
【解析】(1)因为y2=4x，所以p=2，所以焦点坐标为(1，0),
准线方程为x=-1.
答案：(1,0)
x=-1
2a
(2)因为x=2ay2(a＞0)，所以 y 2 1 x,
【微思考】
(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直
于l的直线,而不是抛物线.
(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?
提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.
【即时练】 1.以 F( 3 ， 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________.
的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物 线顶点)间的距离是 .
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
距拱顶5米时，水面宽 米 一木船宽4米 距拱顶 米时，水面宽8米．一木船宽 米，高2 米时 米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米， 载货的木船露在水面上的部分为 米 当水面上涨到与拱顶相距多少时， 当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不 能通航？ 能通航？ 【思路点拨】 思路点拨】 先建立平面直角坐标系， 先建立平面直角坐标系，确定 抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与 轴 抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴 重合，问题转化为求出 ＝ 时的 时的y值 重合，问题转化为求出x＝2时的 值．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．二次函数的图象是_______． ．二次函数的图象是 抛物线 ． 2．y＝x2＋2的最小值是 2 ． ＝ 的最小值是__. 的最小值是 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 ．二次函数 ＝ ＋ ≠ 的对称轴是
b x＝－ ＝－ 2a _________.
互动探究1 互动探究
若本例第(2)题改为“ 若本例第 题改为“准线与坐标轴的 题改为
交点在直线x－ － ＝ 上 交点在直线 －2y－4＝0上”，求抛物线的标准方 程． 解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点是 轴的交点是(4,0)，与y轴 直线 － － ＝ 与 轴的交点是 ， 轴 的交点是(0，－ ， 的交点是 ，－2)， ，－ 则抛物线的准线方程为x＝ 或 ＝－ ＝－2. 则抛物线的准线方程为 ＝4或y＝－ 当准线方程为x＝ 时 可设方程为y ＝－2px(p>0), 当准线方程为 ＝4时，可设方程为 2＝－
x ＝2py(p>0)
2
x ＝－ ＝－2py(p>0)
2
p (0，－ ) ，－ 2
p y＝ ＝ 2 ____
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课件 新人教A版选修2-1
y 2 k x 3 , 由 消去x,整理得 2 y 4x,
ky2-4y+8+12k=0.
①
(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以
k 0, 0,
x1 x 2 y y2 2.可设直线的点斜式方程 2, 1 2. y-1=k(x-2),k≠0. 2 2
【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=kx，与y=x联立方程组， 消去y,得x2-kx=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=k. 又因为P(2,2)为AB的中点， 所以 x1 x 2 2，
2 y 4x,
ky2-4y+4-4k=0,
Δ=16-4k(4-4k)>0恒成立,
又由根与系数的关系得 y1 y 2 根据M为AB中点，所以
4 2, k
4 , k
所以所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
【方法技巧】“中点弦”问题解题策略两法
位置关系.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
y k x 1 , (2)由方程组 消去y得 2 y 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的 中点的轨迹方程. 【解题指南】可采用“点差法”，即用点差法表示出直线斜率 与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解. 【解析】设弦的中点为M(x,y)，弦的端点坐标分别为(x1,y1)， (x2,y2)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.
ky2-4y+8+12k=0.
①
(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以
k 0, 0,
x1 x 2 y y2 2.可设直线的点斜式方程 2, 1 2. y-1=k(x-2),k≠0. 2 2
【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=kx，与y=x联立方程组， 消去y,得x2-kx=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=k. 又因为P(2,2)为AB的中点， 所以 x1 x 2 2，
2 y 4x,
ky2-4y+4-4k=0,
Δ=16-4k(4-4k)>0恒成立,
又由根与系数的关系得 y1 y 2 根据M为AB中点，所以
4 2, k
4 , k
所以所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
【方法技巧】“中点弦”问题解题策略两法
位置关系.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
y k x 1 , (2)由方程组 消去y得 2 y 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的 中点的轨迹方程. 【解题指南】可采用“点差法”，即用点差法表示出直线斜率 与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解. 【解析】设弦的中点为M(x,y)，弦的端点坐标分别为(x1,y1)， (x2,y2)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选修21
①若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一 个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
〔跟踪练习1〕 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l的方程．
个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方 程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论 之．
[规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得，ky2＋2y＋2k－2 ＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与抛物线 C 只有一个 公共点(－12，1)．
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面 的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面， 这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出 的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛 物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．
直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数0个可、以1个有或2个
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
2014年人教A版选修2-1课件 2.4 抛物线
抛物线的标准方程
y2=2px
(p>0)
p
y l d
M 问题3. 抛物线的标准方程中, · p 的几何意义是什么? 抛物线的顶 o F x 点在什么位置? 焦点的坐标是多少? 准线的方程是怎样的? 在 y2=8x 中, 焦点的坐标是多少? 焦点到准线的 距离是多少? y2=8x 中: p p: 焦点到准线的距离. 2p=8, = 2. 2 顶点: 原点 (0, 0). 焦点到准线的距离 p=4. 焦点: ( p , 0). 焦点坐标: (2, 0). 2 p 准线方程: x= 2. 准线: x = . 2
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质(第一课时)
2.4.2 抛物线的简单几何性质(第二课时) 复习与提高
2.4.1 抛物线及其标准方程
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1. 抛物线是什么样的点的轨迹?
焦点坐标
p ( , 0) 2 p ( , 0) 2 p ( 0, ) 2 p ( 0, ) 2
准线方程
x=
p x= 2 p y= 2
o F y l F o y F l l o y o F
p 2
x
x
x
p y= 2
例1. (1) 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它 的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, 2), 求它的标准 方程. 解: (1) 由方程知抛物线的焦点在 x 正半轴, p 3 2p=6, = , 2 2 3 ∴ 抛物线的焦点是 ( , 0 ), 2 准线方程是 x = 3 . 2
1人教A版选修2-12.4.2抛物线的简单几何性质 说课稿
抛物线的简单几何性质说课稿第一课时尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教A版选修2-1第二章第四节《抛物线的简单几何性质》。
下面我将从课标要求、教材分析、学情分析、学生学习目标、学生学习重难点、教学过程预设等方面进行说明。
一．课标要求《课程标准》要求，了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用。
掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质。
二、教材分析教材的地位和作用：《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
三．学情分析学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的运算求解和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
四．学生学习目标1.根据抛物线的方程、图形研究抛物线的简单几何性质，培养直观想象与逻辑推理的核心素养。
2.通过对抛物线简单几何性质的学习，能根据条件选择恰当的方程形式求抛物线的标准方程。
提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。
五.重点、难点重点：从知识上来讲是抛物线的简单几何性质与根据性质求抛物线的标准方程；从学生的体验来说，需要关注学生在探究抛物线性质的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。
难点：根据条件准确选择恰当的方程形式求抛物线的标准方程。
六、教学过程：（一）类比椭圆、双曲线的性质导入课题。
（二）回顾上节课所学抛物线的定义及其标准方程。
设计意图是用表格的形式进行复习直观形象,有助于对所学知识的系统掌握。
（三）合作探究探究新知：抛物线的几何性质。
设计意图：以开口向右的抛物线为例，以学生为主体，教师精讲点拨探究抛物线的简单几何性质。
学生再通过类比的方法自主探究其余三类抛物线的简单几何性质，突出重点知识。