西安交通大学1999年研究生入学考试离散数学试题

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西安交通大学硕士研究生1999年入学数学分析试题

西安交通大学硕士研究生1999年入学考试《数学分析》试题一. 下边给出一组函数,请按照每题要求,从中列举出一个,并简要说明你的列举是正确的.(8540''⨯=):(A)1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数,为无理数.(B)()y xD x =; (C)2()y x D x =; (D)1,,0,()0,p x p q q qqy R x x ⎧=>⎪==⎨⎪⎩,为互质整数,为无理数.(E)21,0,()0,0xe x yf x x -⎧⎪≠==⎨⎪=⎩.(F)11(,)()sin sinf x y x y xy=+;(G)(,)f x y xy =; (H)222222,0,(,)0,0.xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(I)222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩(J)22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=+=⎩问题:⑴在R 上处处有定义,但处处极限不存在的是 (A) .事实上:0x R ∀∈,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0li m n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而lim ()1n n D a →∞=,lim ()0n n D b →∞=,因此0lim ()x x D x →不存在.⑵在R 上有唯一连续点的是 (B) .事实上:因为()D x 在R 上有界,0lim 0x x →=,所以0lim ()lim ()0(0)x x x f x xD x f →→===,从而()y xD x =在00x =处连续.但0x R ∀∈且00x ≠,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而0lim ()lim n n n n n a D a a x →∞→∞==,lim ()lim 00n n n n b D b →∞→∞==,因此lim ()x x D x →不存在. 从而()y xD x =在00x ≠处不连续.⑶在R 上仅有唯一可导点的是 (C) . 事实上:因为200(0)(0)()()0(0)limlimlim ()0x x x f x f x D x f xD x xx∆→∆→∆→+∆-∆∆-'===∆∆=∆∆,所以2()y x D x =在00x =处可导且(0)0f '=.但0x R ∀∈且00x ≠,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=, 0l i m n n b x →∞=. 而2220lim ()lim n n n n n a D a a x →∞→∞==, 2l i m()l i m 00n n n n b D b →∞→∞==, 因此02lim ()x x x D x →不存在. 从而2()y x D x =在00x ≠处不连续,因此在00x ≠处不可导.⑷任意一点的任意邻域内均有间断点,且任一间断点的任意邻域内均有连续点的是 (D) . 1,,0,()0,p x p q q qqy R x x ⎧=>⎪==⎨⎪⎩,为互质整数,为无理数.事实上由于0x R ∀∈,有0lim ()0x x R x →=.所以()R x 在有理点处不连续,在无理点处不连续. ⑸在(0,0)处的两个累次极限均存在,但二重极限不存在的是 (H) . 事实上2222000lim limlimlim 000x y x x xy x x yx →→→→⋅===++,2222000lim limlimlim 000y x y y xy y x yy→→→→⋅===++.而2211lim (,)limlim22x x x x x f x x x x→→→⋅===+,220lim (,0)limlim 000x x x x f x x →→→⋅===+,所以00lim (,)x y f x y →→不存在.⑹在(0,0)处的两个累次极限均不存在,但二重极限存在的是 (F) . 事实上因为01li m s i ny y→不存在,01lim sin0y y y →=,所以01111li m s i n s i n s i ns i n y x x y x y →⎛⎫+ ⎪⎝⎭不存在,因此0000111111li m li m ()s i n s i n li m li m s i n s i n s i n s i n x y x y x y x x yxyxy →→→→⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭不存在. 同理0011lim lim ()sinsinx y x y xy→→+也不存在.因为11()sinsinx y x y xy+≤+,而00lim 0x y x y →→+=,所以00lim (,)0x y f x y →→=.⑺在(0,0)处的偏导x f '与y f '存在但不连续,而在(0,0)点可微的是 (I) .22222222221212sin cos ,0,(,)0,0.x x x x y x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪'+++=⎨⎪+=⎩由于因为222222111limcoslimcos2x x x x xx xxx→→=++不存在,所以2222)0,0(),(1cos2limyx yx x y x ++→不存在.又因2212sin 20x x x y≤→+,)0,0(),(→y x ,所以01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x ,故⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+→222222)0,0(),(1cos 21sin 2limy x y x x y x x y x 不存在,从而),(y x f x '在)0,0(不连续. 同理可得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+='.0,0,0,1cos 21sin 2),(2222222222y x y x yx y x y y x y y x f y),(y x f y '在)0,0(不连续.即函数(,)f x y 的两个偏导数在原点)0,0(都不连续.因为22221sin)()0,0()0,0()0,0()0,0(yx y x y f x f f y x f y x ∆+∆∆+∆=∆'-∆'--∆+∆+又因01sin222222→∆+∆≤∆+∆∆+∆yx yx y x ,0→ρ.所以01sinlim2222220=∆+∆∆+∆∆+∆→yx yx yx ρ, 即)(1sin)(2222ρο=∆+∆∆+∆yx y x ,从而函数f 在原点)0,0(可微,且=)0,0(dz0)0,0()0,0(=∆'+∆'y f x f y x .⑻在0x =处任意阶可导,但Taylor 级数不收敛于它本身的是 (E) . 事实上由于()(0)0n f=,0,1,2,n = ,所以在0x =处的Taylor 级数()0()T x f x ≡≠,x R ∈.二. (4728''⨯=)讨论下列各题:⑴设1sin ,0,()0,0.x x f x xx α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩试讨论α的取值范围,使得()f x 在0x =处ⅰ>连续;ⅱ>可导;ⅲ>导函数连续. 解:要使x α有意义,必须p qα=,其中p 为整数,q 为正奇数,且p 与q 互质.下面在此限制条件下进行讨论.ⅰ>当0α≤时,01lim sinx x xα→不存在.当0α>时,因为0li m 0x x α→=,1sin1(0)x x≤≠,所以01l i m s i n0x xxα→=.因此当0α>时,()f x 在0x =处连续.ⅱ>当1α>时,因为10001()s i n(0)(0)1(0)li m li m li m ()s i n 0x x x x f x f x f xx xxαα-∆→∆→∆→∆+∆-∆'===∆=∆∆∆,所以()f x 在0x =处可导.ⅲ>由于1211sin cos ,0,()0,0.xx x f x x xx ααα--⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩所以当2α>时,()f x 的导函数连续.⑵设1()[],[0,1]f x x x x =-∈,2(),[1,1]f x x x =∈-.试分别讨论Rolle 定理的条件与结论对它们是否成立.解:ⅰ>由于1,01,()0,1x x f x x ≤<⎧=⎨=⎩,所以①1()f x 在1x =处不连续,但在[0,1)上连续.②1()f x 在(0,1)内可导且1()1f x '≡.③11(0)(1)f f ≠.因此1()f x 在[0,1]上不满足Rolle 定理的条件,同时结论也不成立.ⅱ>由于2,01,(),10x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩,所以①2()f x 在[0,1]上连续.②2()f x 在(1,0)(0,1)- 内可导且21,01,()1,10x f x x <<⎧=⎨--<<⎩.2()f x 在0x =处不可导.③22(1)1(1)f f -==.因此1()f x 在[0,1]上不满足Rolle 定理的条件,同时结论也不成立. ⑶设sin ,,()0,.x x f x x π⎧=⎨⎩为有理点为无理点试讨论()f x 的连续性.解:()f x 仅在x n =处连续(0,1,2,n =±± ).事实上:ⅰ>当0x n =(0,1,2,n =±± )时, 由于1sin()(1)sin n n παα--=-,所以sin()sin n παα-=，从而()()sin sin()0()f x f n x n x x n x n ππππ-≤=-≤-→→.ⅱ>当0x n ≠(0,1,2,n =±± )时,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列{}n a 与无理数列{}n b ,使得0lim n n a x →∞=,0lim n n b x →∞=.而0lim ()lim sin sin 0n n n n f a a x ππ→∞→∞==≠, l i m ()l i m 0n n n f b →∞→∞==,因此0lim ()x x f x →不存在. 从而()f x 在0x n ≠处不连续.⑷设()n n S x x =,讨论其在(0,1)内的收敛性,一致收敛性及内闭一致收敛性. 解:ⅰ>当(0,1)x ∈时,lim ()lim 0nn n n S x x →∞→∞==,因此()n n S x x =在(0,1)内的收敛于0.ⅱ>因为(0,1)(0,1)sup ()0sup 110n n x x S x x ∈∈-==→≠(n →∞),所以()n n S x x =在(0,1)内不一致收敛于零.ⅲ>对任意的[,](0,1)a b ⊂,因为[,][,][,]sup ()0sup max 0n n nn x a b x a b x a b S x x x b ∈∈∈-===→(n →∞),所以()n n S x x =在[,]a b 上一致收敛于零,因此()n n S x x =在(0,1)上内闭一致收敛于0.三. (8)'设()f x 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数,应如何延拓()f x 到(,)ππ-才能使其在(,)ππ- 内的Fourier 级数具有形式1cos(21)n n a n x ∞=-∑.解：假设延拓后的函数为(),,2(),0,2()(),0,2(),.2g x x f x x F x f x x g x x ππππππ⎧--≤<-⎪⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪⎪<≤⎩其中()g x 都在相应的区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上可积.则()F x 在[,]ππ-上是偶函数,因此 1()sin 0n b F x nxdx πππ-==⎰,1,2,n = .2012()cos 2()cos 2n a F x nxdx F x nxdx πππππ-==⎰⎰222()cos 2()cos 2f x nxdx g x nxdx ππππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰对于积分2()cos 2g x nxdx ππ⎰,令x t π=-,则dx dt =-,当2x π=时2t π=,当x π=时0t =.于是22()cos 2()cos(22)g x nxdx g t n nt dtπππππ=---⎰⎰220()cos 2()cos 2g t ntdt g x nxdx ππππ=-=-⎰⎰从而0222()cos 2()cos(22)f x nxdx g x n nx dx πππππ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰⎰[]2202()()cos 2n a f x g x nxdx πππ=+-⎰,0,1,2,n =因此0,2x π⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭,当()()0f x g x π+-≡时,有20n a =,0,1,2,n = 所以,2x ππ⎛⎤∀∈⎥⎝⎦,取()()g x f x π=--,则()F x 在(,)ππ- 内的Fourier 级数具有形式211cos(21)n n an x ∞-=-∑.四. (10')计算含参变量广义积分:22()cos 2a xI y e xydx +∞-=⎰(0a >)之值.(要求写出理论依据)解:记22(,)cos 2axf x y e xy -=,(,)[0,)x y D R ∈=+∞⨯.因为(,)x y D ∀∈,有2222(,)cos 2a xa xf x y e xy e--=≤.而无穷积分22a xedx +∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分22()cos 2a xI y exydx +∞-=⎰关于y 在R 上一致收敛.因为(,)x y D ∀∈,有2222(,)2sin 22a xa xy f x y xe xy xe--'=-≤.而无穷积分222a xxedx +∞-⎰收敛,所以含参变量广义积分222sin 2a xxexydx +∞--⎰关于y 在R 上一致收敛.因此可以在积分号下求导: ()2222()cos 22sin 2a xa xyI y exydx xexydx +∞+∞--''==-⎰⎰22lim2sin 2u a xu xexydx -→+∞=-⎰2222201lim sin 22cos 2u ua x a xu e xyy exydxa --→+∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22202cos 2a xy exydx a +∞-=-⎰22()y I y a=-,即22dI y dy Ia=-,积分得22ln ln y I c a=-+,去掉对数得22y aI ce-=.又2221(0)2a xtI edx edt aa+∞+∞--===⎰⎰所以2c a=.因此222y aI a-=.五. (8')试求矢径r穿过曲面1z =-([0,1]z ∈)的流量.解:设{}221:1(,)(,)1S z x y D x y x y =-∈=+≤.2:0,(,)S z x y D =∈.则:12S S 为封闭曲面.根据高斯公式有121(111)33S S Vxdydz ydzdx zdxdy dxdydz ππ++=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ . 而20S xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰.故所求流量为1S xdydz ydzdx zdxdy π++=⎰⎰.六. (16')设221(,)f x y x y =-,2(,)2f x y xy =,3(,)f x y x y =+.D 为不包含(0,0)而包含(1,1)与(1,1)--的有限平面区域⑴求出函数组123,,f f f 的Jacobi 矩阵;⑵证明在D 内任一点处1(,)f x y 与2(,)f x y 函数独立,而函数1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 函数相关;⑶证明不存在函数关系()311(,)(,),(,)f x y F f x y f x y =在D内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系F );⑷结论⑶与结论“1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 在D 内函数相关”是否矛盾，给出你的解释. 证明: ⑴函数组123,,f f f 的Jacobi 矩阵为11123223322(,,)22(,)11f f x yx y f f f f f y x x y xyf f xy ⎡⎤∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥-⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥==⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣⎦.⑵由于在D 内11221212222(,)4()022(,)f f x y x y f f J x y f f yxx y xy∂∂-∂∂∂====+≠∂∂∂∂∂,所以在D 内任一点处1(,)f x y 与2(,)f x y 函数独立.令2241231233(,,)2F f f f f f f f =+-,则2222224(,2,)()22()()F x y xy x y x y xy x y x y -+=-+⋅+-+2224()()22()()x y x y xy x y x y =-++⋅+-+222()[()4()]x y x y xy x y =+-+-+ 22222()[(2)4(2)]0x y x xy y xy x xy y =+-++-++≡,因此1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 函数相关.⑶证明不存在函数关系()311(,)(,),(,)f x y F f x y f x y =在D内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系F );⑷结论⑶与结论“1(,)f x y ,2(,)f x y ,3(,)f x y 在D 内函数相关”是否矛盾，给出你的解释.。

离散数学考试试题(A卷及答案)

离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？1)((P→Q)∧Q)↔((Q∨R)∧Q) 2)⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R)3)((⌝P∨Q)→R)→((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。

二、（8分）个体域为{1，2}，求∀x∃y（x+y=4）的真值。

解：∀x∃y（x+y=4）⇔∀x（（x+1=4）∨（x+2=4））⇔（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））⇔（0∨0）∧（0∨1）⇔1∧1⇔0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。

因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。

四、（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。

离散数学考试试题（A、B卷及答案）

离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。

P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。

证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。

二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。

主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。

主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。

证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。

真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。

离散数学09(AB)

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或者
七(12%) 带权图(网络拓扑图)如下图所示。 6 (1) ( %)请用Dijkstra算法求从结点v 1 到结点v4 的所有最短路； 6 (2) ( %)给出此图所有最优树（最小成生成树）。（４棵）
v1 50 v6 25 10 v5 25 25 55 v4 25 v3 10 15 25 v2 10
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v8(5) (a)
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七(12%) 带权图(网络拓扑图)如下图所示。 (1) 请用Dijkstra算法求从结点v 1 到结点v4 的所有最短路； (2) 给出此图所有最优树（最小成生成树）。
v1 50 v6 25 10 v5 25 25 55 v4 25 v3 10 15 25 v2 10
v6(4)
v7(6)
v8(5) (a)
v9(5)
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(b)
[解]. (１) (４%)图(a)是平面图，对图(a) 采用拉边法可得下图：
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v8(5) (b)
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v10(4)
(２) (４%) 给彼得森图(a)至少增加五条边，才能使它成为一个欧拉图。
一(30%)、请判断下述诸命题的正确性，并将判断结果真（T）或假（F）直接填在（本页上）各对应题号前的括号中。题号结论题号结论 1 F 9 T 2 T 10 T 3 T 11 F 4 T 12 F 5 F 13 F 6 T 14 F 7 F 15 T 8 F
二(11%)设集合A是非空集合，R 1 和R 2 是A上的二元关系，R 1 是自反的和传递的，并且R 2 满足：(x,y) ∈ R 2 ⇔ (x,y) ∈ R 1 ∧ (y,x) ∈ R 1 1）证明：R 2 是A上的等价关系。 2） R 1 ∪R 2 是A上的半序关系吗？请说明理由。 (1) [证]. (8%) 证法一： (a) R 2 是自反的(2%) 对于任何a∈ A，由R 1 及R 2 的自反性，可得(a, a)∈ R 1 且(b, b)∈ R 2 ，因此由R 2 的定义，可知(a, b) ∈ R 2 。 (b) R 2 是反对称的(3%) 对任何(a, b)∈ R 2 ，由R 2 的定义，可知(a, b)∈ R 1 且(b, a)∈ R 1 ，可得(b, a)∈ R 1 且(a, b)∈ R 1 ，由R 2 的定义，可得(b, a)∈ R 2 。 (c) R 2 是传递的(3%) 对任何(a,b)∈ R 2 及(b,c)∈ R 2 ，由R 2 的定义，可知(a,b)∈ R 1 且(b, a)∈ R 1 及(b,c)∈ R 1 且(c,b)∈ R 1 。利用R 12 的传递性，可得(a,c)∈ R 1 及(c,a)∈ R 1 。再次利用R 2 的定义，可得(a,c)∈ R 2 。综上所述，可知R ２是A上的等价关系。 (2)[解].(3%)。R 1 ∪R 2 不是A上的半序关系。R 1 、R 2 都是Ａ上的自反关系，R 1 ∪R 2 也是Ａ上的自反关系，R 1 ∪R 2 的反对称性无法判定，R 1 ∪R 2 不是Ａ上的传递关系。

西安交通大学离散数学期末考试高分题库全集含答案

3052--西安交通大学离散数学期末备考题库3052奥鹏期末考试题库合集单选题：（1）每个非平凡的无向树至少有（）片树叶。

A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案：B（2） A.A B.B C.C D.D 正确答案：C （3）下列公式中，（）是可满足式。

A.AB.BC.CD.D 正确答案：D（4） A.A B.B C.C D.D 正确答案：D （5）设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。

A.下界B.上界C.最小上界D.其他答案都不对正确答案：B （6）设集合 A = {1,2,3,4}, A上的关系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。

A.自反性 B.传递性 C.对称性 D.其他答案都不对正确答案：B （7）设G是一个12阶循环群，则该群一定有（）个不变子群。

A.2 B.4 C.6 D.8 正确答案：C （8）下列图中，（）是平面图。

A.AB.BC.CD.D 正确答案：C （9）如果命题公式G=P∧Q，则下列之一哪一个成立（）。

A.AB.BC.CD.D 正确答案：B （10）在任意n阶连通图中，其边数（）。

A.至多n-1条 B.至少n-1条 C.至多n条 D.至少n条正确答案：B（11） A.A B.B C.C D.D 正确答案：B （12）函数的复合运算“ο”满足（） A.交换律 B.结合律 C.幂等律 D.消去律正确答案：B （13）设<G, *>是6阶群，H≤G，则<H, *>的阶数不可能是（）A.1 B.3 C.2 D.4 正确答案：D （14）如下哈斯图所对应的偏序集中，哪个不是格？（）A.AB.BC.CD.D 正确答案：C （15）设G是一个12阶循环群，则该群一定有（）个不变子群。

A.2B.4C.6D.8 正确答案：C （16）A.Klein—4群B.循环群C.置换群D.半群，不是群正确答案：B （17）设X、Y是两个集合|X|＝n，|Y|＝m，则从X到Y可产生（）个二元关系。

离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学题库及答案

数理逻辑部分选择、填空及判断✓下列语句不是命题的（ A ）。

(A) 你打算考硕士研究生吗？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。

(D) 雪是黑色的。

✓命题公式P→(P∨⌝P)的类型是（ A ）(A) 永真式(B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式✓A是重言式，那么A的否定式是( A )A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足式D.不能确定✓以下命题公式中，为永假式的是( C )A. p→(p∨q∨r)B. (p→┐p)→┐pC. ┐(q→q)∧pD. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)✓命题公式P→Q的成假赋值是( D )A. 00,11B. 00,01,11C.10,11D. 10✓谓词公式)xxP∧∀中，变元x是 ( B )R,(x)(yA. 自由变元B. 既是自由变元也是约束变元C. 约束变元D. 既不是自由变元也不是约束变元✓命题公式P→(Q∨⌝Q)的类型是( A )。

(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式✓设B不含变元x，)xx→∃等值于( A )A)((BA. B( D. BxxA→x∃)((∃ C. Bx∧A∃)( B. )∀)xA→x)(Ax(Bx∨✓下列语句中是真命题的是( D )。

A．你是杰克吗？ B．凡石头都可练成金。

C．如果2+2=4，那么雪是黑的。

D．如果1+2=4，那么雪是黑的。

✓从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )A. 永真式、矛盾式B. 永真式、可满足式、矛盾式C. 可满足式、矛盾式D. 永真式、可满足式✓命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。

A. ﹁p∨qB. ﹁(p∨q)C. ﹁p∧qD. p→﹁q✓一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。

(A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式✓下列含有命题p，q，r的公式中，是主析取范式的是( D )。

(完整word版)离散数学试卷及答案(9).doc

离散数学试卷（九）一、填空30% （每空 3 分）1、选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A=。

2、集合 A={,{}} 的幂集P(A) =。

3、设 A={1 ，2，3，4} ，A 上二元关系R={<1 ，2>，<2 ，1>，<2，3> ，<3，4>} 画出 R 的关系图。

4、设 A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则A B=。

A B=。

5、设|A|=3 ，则 A 上有个二元关系。

6、 A={1 ， 2， 3} 上关系 R=时，R既是对称的又是反对称的。

7、偏序集A, R 的哈斯图为，则 R = 。

8、设|X|=n ， |Y|=m 则（ 1）从 X 到 Y 有个不同的函数。

（ 2）当 n , m 满足时，存在双射有个不同的双射。

9、 2 是有理数的真值为。

10、Q：我将去上海， R：我有时间，公式(QR) (R Q)的自然语言为。

11、公式 (Q P) (P Q)的主合取范式是。

则它应满足。

二、选择20% （每小题 2 分）1、设全集为I，下列相等的集合是（）。

A 、A{ x | x是偶数或奇数} ；B 、C、C{ x | y( y I x 2y 1)} ； D 、B { x | y( y I x 2y)} ；D { x | 0,1, 1,2, 2,3, 3,4, 4, } 。

2、设 S={N ， Q， R} ，下列命题正确的是（）。

A、2 N,N S 则 2 S ；B、N Q,Q S则N S ；C、N Q,Q R 则 N R ； D 、N , S 则N S 。

3、设 C={{a},{b},{a,b}} ，则S与S 分别为（）。

S C S CA 、C 和 {a,b} ；B 、 {a,b} 与；C、 {a,b} 与 {a,b} ； D、C 与 C4、下列语句不是命题的有（）。

离散数学试卷及答案

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数）则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。

10．下图所示的偏序集中，是格的为。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（） A ．若R ，S 是自反的，则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的，则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的，则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的，则S R 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<A∧>)(||||}s({t,,|A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

离散数学试卷及问题详解

实用文档离散数学试题（A卷答案）PQPQR))的主析取范式( ∨)?(?∧10一、（分）求(??PQPQR PQPQR)) ∧?∨∧))(∨∧?(∨?())??(?解：((?)?PQPQR))∧∨?)∨(?(∧PQPPQQPQR) ∨)∧∨()∧(∨∨∨??(∨PQPQR)∨)∧(?(∨∨PQRRPQR) ∧(∨∨(∨∧?∨?())PQRPQRPQR) ∨∨∨??()∨∧∨∧)((∨?∧MM01?∨∨∨∨∨mmmmmm736542二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断：甲说：王教授不是苏州人，是上海人。

乙说：王教授不是上海人，是苏州人。

丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。

试判断王教授是哪里人？PQR：王教授是杭州人。

：王教授是苏州人；设设解：王教授是上海人；则根据题意应有：PQ∧甲：?QP?乙：∧QR∧?丙：?王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。

所以，丙至少说Q?对了一半。

因此，可得甲或乙必有一人全错了。

又因为，若甲全错了，则有P，因此，乙全对。

同理，乙全错则甲全对。

所以丙必是一对一错。

故王教∧授的话符号化为：实用文档PQQRQRQPQR))(??∧∧)∨(?)∧∧)))((?∨∧(()∧((∧?PQQRPQQRQPQR) ??∧∧∧∧?∧∧?(?)∧∨∧∧?()∨(?PQRPQR) ?)∨?(?(∧∧∧?∧PQR???∧∧?T因此，王教授是上海人。

tsrRR的且具有自反性、对称性和传递性的最是包含10分）证明)(三、（小关系。

RAtsrR)(4.19上的二元关系，则由定理知，证明设是包是非空集合R的且具有自反性、对称性和传递性的关系。

含R的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的若是包含'R rRsrRs()＝)?。

由定理4.15和由定理4.16得定义知，进而有(()?'''RRR tsrRt()＝?。

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西安交通大学1999年研究生入学考试离散数学试题
1 (30分)
请判断下列各题的正确性。

⑴ 2A∩2B=2A∩B。

⑵ A\B=A当且仅当B=Æ。

⑶ (A´C)\(B´D)=(A\B)´(C\D)。

⑷ 设|A|=5，则A上恰有31个不同的等价关系。

⑸ 设R非空集合A上的关系，R是A上可传递的，当且仅当R○RÍR。

⑹ 若R1，R2均为非空集合A上的等价关系，那么R1○R2也为A上的等价关系。

⑺ 设<P,≤>为半序集，Æ¹SÍP，若S有上界，则S必有上确界。

⑻ 设N为自然数集合，I为整数集合，´是算术乘法，则<N,´>与<I,´>同构。

⑼ 设<G,*>是群，则G中至少有一个二阶元素。

⑽ 设<R,Å,Ä>为整环，|R|=n，则<R,Å,Ä>是域。

⑾ 设<R,Å,Ä>为域，<R,Å,Ä>为<F,Å,Ä>的子环，则<R,Å,Ä>为整环。

⑿ 设<L,≤>为格，|L|=n，则<L,≤>为有界格。

⒀ 存在7个结点的自补图。

⒁ 下图为平面图。

图1 题1(14)
⒂ 下图为哈密尔顿图。

图2 题1(15)图
2 (8分)
设(G,*)为循环群，生成元为a，设(A,*)和(B,*)均为(G,*)的子群，而a i和a j分别为(A,*)和(B,*)的生成元。

① 证明(A∩B,*)是(G,*)的子群。

② 请问：(A∩B)是否为循环群。

如果是，请给出其生成元。

3 (10分)
设(A,Å,Ä)是环，A A={f |f是A到A的函数}。

定义A A上的运算à和*如下，设f,gÎA A, 对于任意的xÎA。

(fàg)(x)=f(x)Åg(x)；
(f*g)(x)=f(x)Äg(x)；
证明：(A A,à,*)是环。

4 (6分)
设A=<L1,≤1,*1,Å1>和B=<L2,≤2,*2,Å2>是两个格，f是A到B的同态函数。

证明A的同态象是B的子格。

(注：A的同态象即：f(L1)={f(x)|xÎL1})。

5 (8分)
设G=（V,E）是简单的无向平面图，证明G中至少有一个结点的度数小于等于5。

6 (10分)
设G是连通的无向图，且有2k>0个奇结点，
证明：G中存在各边不重复的k条简单路P1，P2，…，P k，使得
E(G)=E(P1)∪E(P2)∪…∪E(P k)。

7 (8分)
设个体域为整数集合，将下述语句分别表示成仅含有N(e)、P(e)、Q(e)、E(e1,e2)、L(e1,e2)、D(e1,e2)所组成的谓词公式：其中各谓词定义如下：
N(e)： e是自然数，
P(e)： e是素数，
Q(e)： e是偶数，
E(e1,e2)：e1=e2，
L(e1,e2)：e1<e2，
D(e1,e2)：e1|e2 (即e1整除e2)，
① 没有最大的素数；
② 并非所有的素数都不是偶数。

8 (8分)
判断下列逻辑关系是否成立。

若成立，请用指派分析法给出证明。

否则，请给出相应的指派。

① $x(ØA(x)→B(x))→"xC(x)Þ"x(B(x)→C(x))；
② $x(A(x)→"yB(x,y))ÞØ"y$xB(x,y)→"xA(x)。

9 (12分)
构造形式推理过程：
① ØR(ØPÚS), Q→ØS╞ P→(Q→R)；
② $x(A(x)→"yB(y))，"x(B(x)→$yC(y))╞ "xA(x)→$yC(y)。