运筹学课程05-运输问题
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运输问题是一种最小化总运输成本的线性规划问题。
它主要应用于物流和供应链管理领域，求解最经济的物流运输方案。
运输问题的基本形式是：有m个仓库，n个销售点，每个仓库的存货量为$s_i$，每个销售点的需求量为$d_j$，运输单位量的成本为$c_{ij}$。
现在需要制定一个运输计划，使得所有销售点的需求得到满足，并且总运输成本最小。
运输问题可以用线性规划求解。
设$x_{ij}$表示从第i个仓库向第j个销售点运输的数量，则运输问题的数学模型可以表示为：
$min
sumlimits_{i=1}^{m}sumlimits_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}$ 满足以下约束条件：
$sumlimits_{j=1}^{n}x_{ij}=s_i, i=1,2,...,m$
$sumlimits_{i=1}^{m}x_{ij}=d_j, j=1,2,...,n$
$x_{ij} geq 0, i=1,2,...,m, j=1,2,...,n$
其中第一个约束条件表示每个仓库的存货量要大于等于出库量，第二个约束条件表示每个销售点的需求量要等于入库量，第三个约束条件表示运输量必须为非负数。
运输问题的求解可以使用各种线性规划的算法，如单纯性法、内点法等。
此外，还有一些特殊情况下的优化算法，如网络流算法和分配算法等。
总之，运输问题是物流和供应链管理领域中非常重要的一类问题，
它的求解方法对于企业的物流成本控制和效率提升具有重要的意义。
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
运筹学运输问题完整可编辑版本精选ppt课件
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学之运输问题
§3.2 运输问题的数学模型
例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、 B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 产量 6 200 5 300 200 总产量=总销量
-------1 2 50 100
销点
2 ----150 0 3 ----0 200
-----
此运输问题的成本或收益为: 2500
§3.3运输问题的基本特点
◆一般运输问题的基本特点： （1）有多个产地和多个销地； （2）每个产地的产量不同，每个销地的销量也不同； （3）各产销两地之间的运价不同； （4）如何组织调运，在满足供应和需求的前提下使总运输费 用（或里程、时间等）最小。 ◆运输问题的数学模型的系数矩阵的基本特点： （1）共有m+n行，分别表示各产地和销地；m，n列，分别表 示各决策变量； （2）每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题的数学模型
Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
S . t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 最优解如下 x12 + x22 = 150 起 至 x13 + x23 = 200 发点 1 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
运输问题模型的应用
（1）产销平衡的运输问题； （2）产销不平衡的运输问题； （3）有条件的产销不平衡的运输问题； （4）生产与库存应用问题； （5）货物转运问题； （6）航运调度问题； „„
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
运筹学运输问题
运筹学运输问题是运筹学中的经典问题，它涉及把货物从一个地点运到另一个地点，
在最短的时间内节省最多的费用。
它是运筹学中比较复杂的问题，求解这种问题需要对技术、计算、经济等综合考虑。
首先，需要确定运输路线，这是运输问题的基础。
根据实际情况，需要考虑道路的长度、交通费用、安全等因素，找出最佳运输路线。
其次，还要确定运输方式。
根据货物的重量、大小、价值和性质，以及客户的要求，应选择最适合的运输方式，如汽车、火车、飞机等。
再次，还要考虑运输经济性。
在节省费用的同时，还要考虑运输时间，确保运输效率。
有时候，由于运输时间的限制，可能需要采用更昂贵的运输方式，但是运输效果会更好。
最后，还需要考虑货物的安全性。
运输过程中的运输安全问题应该特别重视，以保证货物的安全，并确保货物能够安全、及时、高效地到达目的地。
以上就是关于运筹学运输问题的讨论，运筹学运输问题是一个复杂的综合性问题，要
想最优解，就需要对路线、运输方式、运输经济性和货物安全性等因素进行全面考虑。
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NEUQ
最小元素法（ ） 最小元素法（5）
1 1 6 7 2 5 3 3 4 14 0
1
2 8 4 2 7
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12
6 19 13 0
18
0
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最小元素法（ ） 最小元素法（6）
1 1 6 7 2 5 3 3 4 14 0
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1
2 8 4 2 7
21
空格（非基变量）检验数计算 闭回路法 空格（非基变量）检验数计算—闭回路法
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2 8 4
5
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8
3 5 9
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6
6
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19
c12-c22+c21-c11=7-4+8-6=5
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闭回路法(2) 闭回路法
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闭回路法(5) 闭回路法
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9 10
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-11
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6
13 12 13
13
19
c31-c33 +c23 -c21 =5 - 10+2 - 8= - 11
26
NEUQ
闭回路法(6) 闭回路法
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NEUQ
0 ⋮ 0 1 线性规划问题变量 x j 的检验数为 0 −1 Pij = ⋮ σ j = cj − zj = cj −CBB Pj = cj −YP j 0 1 变量 xij 的检验数为 0 ⋮ σ ij = cij − zij = cij − YP ij 0 = cij − (u1,⋯, um , v1,⋯, vn )P ij
8
4
2
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15
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3 5 9 10 6 19 13
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13
12 0
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最小元素法（ ） 最小元素法（2）
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13
2 8 4 2 7 27 15
12
3 5 9 10 6 19 13 0
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12 0
最小元素法（ ） 最小元素法（3）
1 1 6 7 2 5 3 3 4 14
NEUQ
运输问题 Transportation Problem
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者， 顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非 利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也， 利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江 君子生非异也，善假于物也。 荀子《劝学》 河。君子生非异也，善假于物也。 荀子《劝学》
( ∑ ai > ∑ b j )
7
NEUQ
当产小于销时，其模型是： 当产小于销时，其模型是：
min Z = ∑ ∑ cij x ij ∑ x ij = a i ∑ x ij ≤ b j ( ∑ a i < ∑ b j ) x ij ≥ 0 并假设： 并假设： a ij ≥ 0, b j ≥ 0, cij ≥ 0
13
27 0
2
3 5 9
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6 19 13 0
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0
19
22 0 13 0 12 0
NEUQ
求出各非基变量的检验数， ⑵.求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解 求出各非基变量的检验数 闭回路法： 闭回路法： 所谓闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从 所谓闭回路是在已给出的调运方案的运输表上从 闭回路 一个代表非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前 一个代表非基变量的空格出发， 非基变量的空格出发 只有遇到代表基变量 基变量的填入数字的格才能向左或 进，只有遇到代表基变量的填入数字的格才能向左或 右转90度 当然也可以不改变方向）继续前进， 右转90度（当然也可以不改变方向）继续前进，这样 90 继续下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封 继续下去，直至回到出发的那个空格，由此形成的封 闭回路。 闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。 折线叫做闭回路 一个空格存在唯一的闭回路。
( ∑ ai = ∑ b j )
5
NEUQ
x11, x12 ,⋯, x1n ; x21 , x22 ,⋯x2n ,⋯,⋯,⋯,⋯, xm1 , xm2 ,⋯xmn
m行 行
1 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 1 1 ⋱ 1 1 ⋱ 1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 1 ⋱ 1 ⋯ 1 1
NEUQ
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5
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6
6
6
22 13 12 13
13
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c13-c23+c21-c11=5-2+8-6=5
23
闭回路法(3) 闭回路法
1 1 6 7 2 5 3 3 4
NEUQ
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2 8 4
5
2
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7
14
27
8
3 5 9
13
10
6
6
6
22 13 12 13
n行 行
矩阵的元素均为1或 ； 矩阵的元素均为 或0； 每一列只有两个元素为1，其余元素均为0； 每一列只有两个元素为 ，其余元素均为 ；
6
当产大于销时，其模型是： 当产大于销时，其模型是：
NEUQ
min Z = ∑ ∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
∑ xij ≤ ai ∑ xij = b j x ≥0 ij
3
一、运输问题的一般数学模型
NEUQ
单位 运价 产地
销 地
B1
c 11 ⋮ cm1
⋯
⋯ ⋯
B
n
产 量
A1 ⋮ Am
销 量
c1n ⋮ c mn
a1 ⋮ am
4
b1
⋯
bn
NEUQ
当产销平衡时，其数学模型如下： 当产销平衡时，其数学模型如下：
min Z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1 n ∑ xij = ai (i=1,2,...,m) j =1 m ∑ xij = b j (j=1,2,...,n) i =1 xij ≥ 0 m n
= cij − (ui + v j )
20
NEUQ
所谓闭回路法， 所谓闭回路法，就是对于代表非基变量的空格 闭回路法 其调运量为零），把它的调运量调整为1 ），把它的调运量调整为 （其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于 产销平衡的要求, 产销平衡的要求,我们必须对这个空格的闭回路的 顶点的调运量加上或减少1 顶点的调运量加上或减少1。最后我们计算出由这 些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。 些变化给整个运输方案的总运输费带来的变化。 如果所有代表非基变量的空格的检验数 空格的检验数也即非基 如果所有代表非基变量的空格的检验数也即非基 都大于等于零，则已求得最优解， 变量的检验数 σ ij 都大于等于零，则已求得最优解， 否则继续迭代找出最优解。 否则继续迭代找出最优解。
10
NEUQ
1 1 6 7 2 5 3 3 4 14
x11
2 8 4
x12
2
x13
7
x14
27
x21
3 5 9
x22
10
x23
6
x24 x34
13
11
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x31
22 13
x32
12
x33
NEUQ
找出初始基本可行解（ ⑴.找出初始基本可行解（初始调运方案） 找出初始基本可行解 初始调运方案） 确定初始调运方案的方法主要有： 确定初始调运方案的方法主要有： 西北角方法（左上角方法）。此法是纯粹的人 西北角方法（左上角方法）。此法是纯粹的人 ）。 为的规定，没有理论依据和实际背景， 为的规定，没有理论依据和实际背景，但它易操 特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法见后。 方法见后。 最小元素法。基本思想是就近供应，即从运价 最小元素法。基本思想是就近供应，即从运价 最小的地方开始供应（调运），然后次小， ），然后次小 最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到 最后供完为止。具体方法见后。 最后供完为止。具体方法见后。 沃格尔（ 罚数（差额）最大处， 沃格尔（Vogel）法。对罚数（差额）最大处， ） 采用最小运费调运。罚数（即差额） 次小运价 次小运价采用最小运费调运。罚数（即差额）=次小运价 最小运价。 行罚数和列罚数。有关方法自学。 最小运价。分行罚数和列罚数。有关方法自学。
8
NEUQ
特征： 特征： 1、平衡运输问题必有可行解，也 平衡运输问题必有可行解， 必有最优解； 必有最优解； 2、平衡运输问题的基本可行解中 应包括 m+n－1 个基变量。 － 个基变量。
运输问题有m× 个决策变量 个决策变量， 个约束条件。 运输问题有 ×n个决策变量，m+n 个约束条件。 由于产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立， 个相互独立， 由于产销平衡条件，只有 个相互独立 因此，运输问题的基变量只有m+n–1 个 因此，运输问题的基变量只有