2018年山西五地市大联考(文科数学)答案

N M G DCBA P山西省高三年级五地市联考文科数学参考答案及评分标准（Ⅰ卷）选择题答案 一、选择题1.C2.A3.C4.B5.B.6.D7.D8.C9.D 10.A 11.B 12.D. 非选择题答案 二、填空题 13.2 14. 5003p15.16.1 三、解答题 17. 解：（1）设公差为d ，由22=3n n S S n +，得21=31S S +，即111++=31a a d a +，从而11d =a +.…………①……………………………………2分 由125,,a a a 成等比数列，得2111()(4)a d a a d +=+，结合0d ≠，解得12d =a .…………②……………………………………4分 由①②，解得11,2a d ==，从而21n a n =-.………………………………………………………6分（2）因为1122331++++(23)6n n n a b a b a b a b n b +=-+L ，…………③ 所以2,n ≥11223311++++(25)6n n n a b a b a b a b n b --=-+L .…………④ 由③－④及21n a n =-，得1(21)(23)(25)n n n n b n b n b +-=---， 整理得12n nb b +=()2n ≥. ……………………………………………………10分 在③中，令1n =，126b b =-+，结合12b =，得24b =，适合12n nb b +=， 所以数列{}n b 是等比数列，故12(12)2212n n n T +-==--…………………………………12分 18. 解：（1）取CD 的中点G ，连接AG ，PG ，AC, 因为△PCD 为正三角形，所以PG ⊥CD .因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以△ACD 为正三角形，从而AG ⊥CD. 又因为AG ∩PG =G ，所以CD ⊥平面P AG .……………………………………3分 又PA PAG ⊂平面，所以PA CD ⊥. 又M 是P A 的中点，AD=PD,所以PA MD ⊥.又因为MD CD D =I ，所以PA MNCD ⊥平面.………………………………………6分 （3）因为MN 是△P AB 的中位线， 所以MN ∥AB ，且MN =12AB ； 又CD ∥AB ，且CD =AB ， 所以MN ∥CD ，且MN =12CD ， 所以四边形MNCD 是梯形. ………………………………………………………7分 连接MG,由（2）知CD ⊥平面P AG .又MG ⊂平面P AG,所以MG CD ⊥.……………………………………………………………………8分由AB =2，得MN =1，正△PCD 和正△ACD 的边长都为2，从而AG =PG…………9分 则()1111=3322P MNCD MNCD V S PM CD MN GM PA -⋅=⨯+⋅⋅ 1111133sin sin .322244PAG GM PA S PG AG AGP AGP ∆⎛⎫=⨯⨯⨯⋅==⨯⋅∠=∠ ⎪⎝⎭ 当∠AGP =90°，即PG ⊥AG 时，四棱锥P —MNCD 体积最大，且最大值为34. ………………………………………………………12分 注意：若按照以下方法求解，参照以上标准赋分. 设PM =x，则MG ==()111=332P MNCD MNCD V S PM CD MN GM PM -⋅=⨯+⋅⋅2211133.22224x x GM PM +-=⋅=≤⋅= 19. 解：（1）设“选取2组不相邻的数据”为事件A ，7组数据分别记为1,2,3,4,5,6,7.从7组数据中选取2组数据的可能性分别为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(4,5)、(4,6)、(4,7)、(5,6)、(5,7)、(6,7)，共21种.其中相邻的数据有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)共6种，……………2分 所以65()1217P A =-=.………………………………………………………4分（2）3567923345176,555xy ++++++++====.…………………………5分根据参考数值，得55211112,200i ii i i x yx ====∑∑，所以122211711256105ˆ0.52005620ni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑，…………………………………7分 17ˆ0.560.45ay bx =-=-⨯=$，……………………………………………8分 于是零件加工时间y 关于零件数x 的线性回归方程为$0.50.4y x =+. ……………………………………………………9分（3）要求选取的检验数据的误差不超过12分钟，即为12=0.260小时. 当x =10时，$0.5100.4=5.4y =⨯+，|5.4－5.2|=0.2=0.2；………………………………10分 当x =13时，$0.5130.4=6.9y =⨯+，|6.9－7|=0.1<0.2，…………………………………11分 所以用该研究所得的线性回归方程模拟“确定加工零件所花费的时间”是可靠的.………………………………………………………12分20. 解：(1)设直线AB 的方程为1x ty =+，代入24y x =，并整理得2440y ty --=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y t y y +==-.……………………………………2分 设00(,)M x y ，则212002,1212y y y t x ty t +===+=+，即2(21,2)M t t +.…………4分 由MN ∥x 轴，得(1,2)N t -，则MN 的中点为2(,2)P t t ，恰好适合方程24y x =， 故点P 在抛物线E 上.………………………………………………………6分 (2)假设存在实数λ适合题意. 因为11122211122424y t y t k y x t y t t --===-+-，同理2242k y t =+，……………………………8分所以121212224114424444y t y t y y t t t t k k ++++++=+===.…………………………10分 由1kt =，得1t k=，从而12112k k k +=，故存在实数2λ=.…………………………12分21. 解：(1)当1a =时，21()ln 2f x x x x =-，则()ln 1f x x x '=--，…………………………1分 令()ln 1(0)g x x x x =-->，则11()1x g x x x-'=-=.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上是减函数，()g x 在(1,)+∞上是增函数.……………………3分 从而()g x 即()f x '的极小值是(1)(1)0f g '==. …………………………………4分(2)函数()f x 在区间1(e ,e)-上仅有两个极值点等价于：()(ln 1)f x x a x '=-+在1(e ,e)-上有两个零点.…………………………………………………6分 设()(ln 1)g x x a x =-+1(e e)x -<<，则()1a x ag x x x-'=-=. ①当1e a -≤时，()0g x '>，则()g x 在1(e ,e)-上是增函数，从而1(e )()(e)g g x g -<<. 又因为11(e )e 0g --=>，所以()g x 在1(e ,e)-上不存在零点.……………………7分②当e a ≥时，()0g x '<，则()g x 在1(e ,e)-上是减函数，从而1(e )()(e)g g x g ->>，所以()g x 在1(e ,e)-上最多有一个零点.………………………………………8分③当1e e a -<<时，由()0g x '=，解得x a =. 当0x a <<时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)a 上是减函数，()g x 在(,)a +∞上是增函数，所以x a =是()g x 的极小值点.………………………………………10分若()g x 在1(e ,e)-上有两个零点，则须1(e )0,()0,(e)0,g g a g -⎧>⎪<⎨⎪>⎩即1e 0,(ln 1)0,e 20,a a a a -⎧>⎪-+<⎨⎪->⎩解得e 12a <<.结合1e e a -<<，得e12a <<. ………………………………………………………12分 22.解：（1）由22cos ,2sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩消去参数t ，得22(2)4x y -+=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并整理得4cos ρθ=.所以圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.…………………………3分由4cos ,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos sin θθ=.设4πθ=，则4|4cos 4d πθπρ====.……………5分 （2）射线12πθ=与圆1C 的交点为A 的极径为4cos12A πρ=；………………………6分 射线12πθ=与圆2C 的交点为B 的极径为4sin12B πρ=，…………………………7分所以||||4(cos sin )cos sin sin )12124124123A B AB πππππππρρ=-=-=-==……………………………………………………………………………………………10分 23. 解：（1）当2a =时，原不等式化为|2||1|x x -≥-，两边平方，得22(2)(1)x x -≥-，……………………………………………3分 解得32x ≤， 故原不等式的解集为3{|}2x x ≤………………………………………………………5分（2）()|||1||1||1|f x x a x a x a x a a a =---+≤-+-+=-+， 所以()2f x ≥的解集是非空集合等价于|1|2a a -+≥，………………①…………………………………………………………………………………………………7分 当1a ≤时，①化为12a a -+≥，此时无解； 当1a >时，①化为12a a -+≥，解得32a ≥. 综上，实数a 的取值范围是3[,)2+∞.………………………………………………………10分。