2.3.3 专题：直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
即：y 2 pmy p 0
2 2
p x my 2
y A F B x
y1 y2 p （定值）
2
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 2 px( p 0)于 A ，B两点，设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
解 由题意, 设直线 l的方程为 y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2
①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程 ① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
y
C H D E F A
B O
x
例4、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线 交于A、B，求AB中点的轨迹方程.
y
解： 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 y 1 2 x1 y1 y2 2 由 2 相减得： ( x1 x2 ) x1 x2 y1 y2 y2 2 x2
x
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF d A x1 1, BF d B x2 1,
B’
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切．
直线与抛物线的位置关系
得到一元一次方程，容易 解出交点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置 关系及求弦长？
x 计算结果：
相交,弦长为8。
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
变式练习：
倾斜角为1350 的
直线，经过抛物线
y2 = 8x的焦点，则
x 截得的弦长是多少？
(方法总结)
判断直线与抛物线的对称轴情况
平行
不平行
联立直线和抛物线
直线与抛物线相 交(一个交点)
利用弦长公式
课后作业：
习题8.6 2 题
yห้องสมุดไป่ตู้
O
x
； https:/// 炒股配资什么意思 ；
1、直线与圆
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者 两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计算结果：
之后他再找那丫头说说情,或许能打动她也不一定,如今是不可能了.面对众人の喝骂,卓文鼎态度冷淡.身后の
直线与抛物线的位置关系问题
教育信息化数码世界 P .198直线与抛物线的位置关系问题唐乐红 阳光学院人工智能学院摘要：随着科技与网络的发展，合作与隐私保护显得越来越重要，这使得保护私有信息的计算几何问题得到了更多的应用和发展。
抛物线作为常见圆锥曲线的一种，在许多领域都有着广泛的应用。
本文通过已有的点积及百万富翁协议，设计出直线与抛物线的位置关系协议，并对协议的正确性、安全性进行分析。
关键词：计算几何 抛物线 位置关系 直线引言如何在各参与方互相不信任的情况下，以及保护各参与方输入信息安全性的前提下，实现所有参与方协同完成某项计算几何问题，这就是保护私有信息的计算几何问题。
例如：A 开发商有计划要在某区域建设一条曲线公路，B 开发商也有计划要在某区域建设一条直线公路，如何在不告诉对方自己计划的情况下，求出A 开发商计划的公路与B 开发商计划的公路的位置关系。
此时，可以把曲线公路抽象成数学上的一条曲线，直线公路抽象成数学上的一条线段。
从而把问题转化为求一条曲线与一条线段的位置关系问题。
本文所设计的协议是建立在半诚实模型下的。
在此前提下，通过已有的点积协议以及百万富翁协议，本文提出了直线与抛物线的位置关系协议以及线段与抛物线的位置关系协议。
1 基础协议介绍1.1点积协议点积协议现已成为计算几何问题中的一个重要基础协议。
协议描述为：Alice 拥有向量X=(x 1,x 2,…,x n )，Bob 拥有向量Y=(y 1,y 2,…,y n )。
希望在保护各自私有向量的情况下，通过合作，使Alice 获得的值，其中v 是Bob 选的随机数。
1.2 高效百万富翁协议高效百万元富翁协议要求先构造出满足一定的性质函数F ，还要先将待比较的两个数写成二进制的形式。
若Alice 有实数a，Bob 有实数b。
在保护各自信息的前提下，通过执行高效百万富翁协议，Alice 得到a>b、a<b、a=b 的结果，并由Alice 将结果告知Bob。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。
难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。
学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。
四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。
2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。
3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。
注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。
直线与抛物线的位置关系
汇报人：
目录
交点个数
直线与抛物线 相交的个数取 决于直线的斜 率和抛物线的
开口方向
当直线斜率存 在且与x轴不垂 直时直线与抛 物线最多有两
个交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）时直线与 抛物线有一个
交点
当直线斜率不 存在（垂直于x 轴）且过抛物 线顶点时直线 与抛物线有无
数多个交点
交点坐标
当夹角达到90度时直线与抛物 线相切
夹角的变化还会影响交点的个 数以及与对称轴的关系
汇报人：
交点性质
交点个数：直线与抛物线可能有一个或两个交点 交点位置：交点位于抛物线的对称轴上或对称轴的一侧 交点坐标：通过联立方程求得交点的坐标 交点性质的应用：判断直线与抛物线的位置关系求解相关问题
直线与抛物线平行无交点
平行
直线与抛物线平行交点在无穷远处
直线与抛物线平行交点在抛物线上
直线与抛物线平行交点在直线两侧
交点坐标的求 法：联立直线 与抛物线的方 程解得交点的x 坐标和y坐标。
交点的性质： 交点是直线与 抛物线的公共 点满足两个方
程。
交点的几何意 义：交点是直 线与抛物线的 交点也是它们
相切的点。
交点与切线的 关系：在切点 处切线的斜率 等于该点的导
数值。
交点与参数关系
当参数为0时直线与抛物线交于原点 当参数不为0时直线与抛物线交于两点与参数的正负有关 参数的正负决定了交点的位置和数量 参数的变化会影响交点的位置和数量
抛物线开口大小变化对位置关系的影响
开口大小变化：影响抛物线的位置关系
开口向上：抛物线与x轴交点随开口增大而增多
开口向下：抛物线与x轴交点随开口减小而减少
开口大小变化对直线与抛物线位置关系的影响：开口增大时直线与抛物线交点增多；开口减小时直线与抛物线交 点减少
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系教案 1数学教案
直线与抛物线的位置关系【教学目标】1．知识与技能目标：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法2．过程与方法目标：（1）让学生学会联立方程组的解析法与坐标法（2）在推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神.（2）培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1.教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法．2.教学难点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法的应用．【教学过程】☆情境引入☆上节课我们学习了抛物线的几何性质，熟练掌握抛物线的几何性质是解答抛物线基本问题的法宝，这节课我们继续运用抛物线的几何性质研究抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系.☆探索新知☆新知导学1．直线与抛物线公共点的个数可以有_______________． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_______，若Δ>0，则直线与抛物线_______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_____个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问题． 答案：0个、1个或2个，相切，相交，没有公共点，一，根 考点一：直线与抛物线的位置关系已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0．(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4．由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点； k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点； 1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． [方法规律总结] 判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法，要特别注意，平行于抛物线轴的直线与抛物线有且仅有一个公共点． 考点二：弦长问题顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________ __________________．[方法规律总结] 直线与抛物线相交弦长问题，一般将直线与抛物线方程联立，消元化为一元二次方程，用根与系数的关系求解．若斜率为k 的直线与抛物线两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|． 考点三：对称问题已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧ k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1，y 1＋y 22＝k f(y 21＋y 222－1＋1.)得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k ，y 1y 2＝k 22＋1k －12. ∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0． 故实数k 的取值范围是－2<k <0．针对训练：1.已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝6x .得y 2＝0．因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝6x .由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0 ①当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2． 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k ．由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0． 因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2．2.已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝________． 3.已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，求A 、B 两点间的距离．[分析] 本题考查抛物线上的对称问题，可利用A 、B 两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解． ☆课堂小结☆ ☆课后作业☆练习5 A 组 6,7题 ☆课后作业☆练习 A 组 1-3题。
直线与抛物线的位置关系
第3课时 直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． 例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)． 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226， 化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0， 解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。
知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_基础
直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】 要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F （即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M 到定点F 的距离与定直线l 的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >抛物线抛物线的定义与标准方程 抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系 抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线只有一条对称轴。
顶点：坐标原点抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（0，0）。
离心率：1e =.抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
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2.3.3 专题：直线与抛物线的位置关系
一、【知识要点】
1.如何确定直线和抛物线的位置关系？
设直线:l y kx b =+，抛物线2
:2(0)C y px p =>，直线l 与抛物线C 交点的个数等价于方程组22y kx b y px
=+⎧⎨=⎩解的个数，即等价于方程2220ky py bp -+=解的个数. ①若0k ≠：
当0∆>时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当0∆=时，直线与抛物线相切，有且只有一个公共点；
当0∆<时，直线和抛物线相离，无公共点。
②若0k =，则直线y b =与抛物线2:2(0)C y px p =>相交，有一个公共点.此时，直线y b =与抛物线2
:2(0)C y px p =>的对称轴平行.
③特别地，当直线l 的斜率不存在时，设x m =，则
当0m >时， 直线l 与抛物线相交，有两个公共点；
当0m =时，直线l 与抛物线相切，有且只有一个公共点；
当0m <时，直线l 和抛物线相离，无公共点。
.
2.弦长公式：=AB ________________________
3.⇔⊥OB OA ________________________
二、【典型例题】
【例1】设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切、相交、相离？
【例2】过定点(0,2)P 作直线l ，使l 与抛物线24y x =有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有（ ）.
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【例3】过点)0,2(M 作斜率为1的直线l ，交抛物线x y 42=于B A ,两点，求||AB .
【例4】过抛物线x y 42
=焦点F 的直线l 与它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 _____________.
【例5】直线(1)y k x =+与抛物线2y x =-相交于B A ,两点，求证：⊥.
三、【巩固练习】
1． 垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于B A ,两点，且34||=AB ，求直线AB 的方程.
2．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程.
3．在抛物线x y 42
=上求一点P ，使得P 到直线3+=x y 的距离最短.
4．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.
5．已知直线b x y +=与抛物线px y 22
=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程.
（2013年高考广东卷（文,理））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线
:20l x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(1) 求抛物线C 的方程;
(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程;
(3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.。