【最新】浙教版九年级数学上册四清导航课件3.4.1圆心角定理
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角①课件新版浙教版
教学目标：
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程.
2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）.
3.体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法.
重难点：
●本节教学的重点是圆心角定理.
●根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学 的难点.
问题：度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
注意：弧既有度数又有长度!
如图，在⊙O 中，∠AOB＝135°.求 ，»A B 的度¼ A 数C B .
»A B =135° ¼ A C B =225°.
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一 个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数 相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
2.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2.求证： AC＝BD.
• 证明: • ∵ ∠1＝∠2， • ∴ ∠1+∠BOC=∠BOC+∠2， • 即 ∠AOC=∠BOD. • ∴ AC=BD • （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等).
（第2题）
B» C ¼A D
B» C 的度数为50° ¼A D 的度数为130°.
∵ OE⊥AB，
AEBE1AB（根据是什么 . ？）
2
同理 O ， F D， C 由 D 得 F C F 1C.D
图3-29
2
∴ AE=DF. 又∵ OA=OD,
∴ Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴ OE=OF.
1.已知：如图，∠1＝∠2. 求证： ¼A C＝ B» D.
•证明： ∵∠1＝∠2，
•度数相等，但不能说这两段弧相等，因为 这两段弧不能重合.
浙教版初中数学九年级上册 圆心角 课件 _优秀课件资料
重要提示:1.圆心角定理要注意同圆或等 圆中”这一前提2.证明圆的两条弦相等时,常考虑 证明两条弦所对的圆心角相等,或 所对的两条弧相等,两条弦所对的 弦心距相等
15、观察的领域中，机遇只有偏爱那种有准备的头脑。 2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 3.人生就像是坐着公车旅行，我们可以不必在乎车会停在哪儿，要在乎的是经过的景色和看这些景色时的心情。 13. 立志高远，脚踏实地；刻苦钻研，勤学苦思；稳定心态，不馁不弃；全力以赴，夺取胜利。 8、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 大学励志语录大全 1、如果寒暄只是打个招呼就了事的话，那与猴子的呼叫声有什么不同呢？事实上，正确的寒暄必须在短短一句话中明显地表露出你对他的关 怀。
七、失败和挫折是暂时的，只要你勇于微笑；误解和仇恨是暂时的，只要你达观待之；赞扬和激励是暂时的，只要你不耽于梦想；烦恼和忧愁 只是暂时的，只要你不被它左右。大海茫茫，谁可争流，不拒众流方为沧海。芸芸众生，人生无常，不被艰难困苦吓倒，方显英雄本色。
5.生命只有一次，不管你怎么绽放，总会有人质疑。所以做好自己，开心就好！ 1.做错了，不必后悔，不要埋怨，世上没有完美的人。跌倒了，爬起来重新来过。不经风雨怎能见彩虹，相信下次会走得更稳。 为梦想奋斗的励志语录 7. 高三高考高目标，苦学善学上好学。 五、梦想不是一个目标，而是一种气质。人与人之间最小的差别是智商，最大的差别是坚持，与其为流逝的时光惶恐，不如结结实实地抓住分 秒。改变，从今天的努力开始！ 30.毅力是永久的享受。 26、我们的事业就是学习再学习，努力积累更多的知识，因为有了知识，社会就会有长足的进步，人类的未来幸福就在于此。 3.人生就像是坐着公车旅行，我们可以不必在乎车会停在哪儿，要在乎的是经过的景色和看这些景色时的心情。 九、别喊穷，没人给你钱；别喊累，没人会帮你做；别想哭，大家不在乎；别认输，没人希你望你赢；别靠人，只有自己最可靠；别乞求，别 人等着看笑话；别落魄，一堆人等着落井下石；别低头，地上没有黄金只有石头！越努力，越幸运。 1、一切推理都必须从观察与实验中得来。
3.4 圆心角(课件)九年级数学上册(浙教版)
件
×，在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
当堂检测
2、若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的
度数是________°．
144
解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数为360°× =144°．
当堂检测
对的优弧和劣弧分别相等”。
讲授新课
要点归纳
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、
所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量
都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等Βιβλιοθήκη 弦心距相等讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，
得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、
弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
1
= 360 =120 .
3
O
B
C
讲授新课
【例3】如图，AB是⊙O 的直径，
BC =CD = DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的
度数．
E
D
解： ∵ BC =CD = DE，
C
BOC COD DOE =35 ，
75 .
不可以，如图.
3.4 圆心角 课件（1）2021-2022学年浙教版九年级数学上册
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、
CD的弦心距.
（1）∵ A⌒B=C⌒D
∴ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=.OF
(2) ∵ OE＝OF ∴ ∠AOB=∠COD AB=CD
A⌒B=C⌒.D
(3) ∵ AB＝CD ∴ ∠AOB=∠COD
⌒⌒ OE=OF AB=.CD
A
C
E
所对的 弦相等
所对的弦心距 相等
2.证明两条弦，弧，两个圆心角相等的常用方法
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？
AC
E •O
F D
B
A B
o C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
M
N
则有
⌒⌒
BD=CE
？
联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证
⌒ BD=
⌒ CE
，
只需证OM=ON
4. 如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点，求证：
AB=AC
N
作OM AB , ON AC, M
垂足为M，N
5.如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点 A点在圆内，EB=CD 吗？
Ａ
为_1_2_0__0 ,_1_2_0_0_,1200
(2)若⊙O的半径为r,则等边△
ABC三角形的边长为____3_r__
Ｏ
Ｂ
P
Ｃ
当 r=2 时,则等边△ ABC的边长为 2 3 .
数学(浙教版)九年级上册第3章 3.4 圆心角(解析版)
知识提要1．圆心角的定义：顶点是圆心的角； 2．圆心角定理：在同圆或等圆．．．．．中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．3．弧与圆心角的度数关系：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n °的圆心角所对的弧就是n °的弧．4．在圆中证弧相等，可以用垂径定理，也可以用圆心角定理．5．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．6．圆心角定理应注意：①“在同圆或等圆中”是前提；②弦所对的弧有两条；③互相重合的弧是等弧，等弧隐含着同圆或等圆．例1：如图，AC ，BD 是⊙O 的两条直径． (1)图中有哪些弧(劣弧)相等？(2)当点A 在圆周上运动时，是否存在一点A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA.解：(1)AB ︵＝CD ︵，AD ︵＝BC ︵； (2)存在，当AC ⊥BD 时即可，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOA ＝90°.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA. 例2：如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任取一点作弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结P A ，PB .求证：P A ＝PB.【解】 连结OP .∵CO ＝OP ，∴∠OCP ＝∠OPC .∵CP 是∠DCO 的平分线， ∴∠DCP ＝∠OCP .∴∠DCP ＝∠OPC ，∴OP ∥CD . ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴P A ︵＝PB ︵，∴P A ＝PB .典型例题圆心角一、选择题1.下列命题，正确的是( D )A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的两条弧相等D ．能够互相重合的弧是等弧2. 如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( B)A ．0B ．1 C．2 D ．3 3. 如图,在半径为2cm 的⊙O 内有长为23cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为( C)A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 4. 观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( B )A ．如图1，∵∠AOB ＝∠A′OB′，∴AB ︵＝A′B′︵ B ．如图2，∵AD ︵＝BC ︵，∴AB ＝CD C ．如图3，∵AB ︵＝40°，∴∠AOB ＝80° D ．如图4，∵MN 垂直平分AD ，∴AM ︵＝ME ︵5. (舟山中考)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( C )A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°6. 如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，则弦AB 所对弧的度数为( D )同步练习A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．120°或240°7. 如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的垂直平分线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，EF 垂直平分AD ，GH 垂直平分BD.下列结论中，不正确的是( C )A.AC ︵＝CB ︵B.EC ︵＝CG ︵C.AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( D )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 3【解】D 连结CD ∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝DB ＝12AB .又∵CD ＝CB ，∴BC ＝12AB ＝5.∴AC ＝5 3.9. 如图，已知AB ︵，CD ︵是同圆中的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与CD 的关系是( B )A ．AB ＝2CDB ．AB <2CDC ．AB >2CDD ．不能确定【解】B 取AB ︵的中点P ，连结AP ，BP ，则AP ︵＝BP ︵＝CD ︵＝12AB ︵，∴AP ＝BP ＝CD .∵AB <AP ＋BP ，∴AB <2CD .二、填空题1．(菏泽中考)如图，在△ABC 中∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为_50°_______．2．如图，AB ，CD ，EF 都是直径，若AC ︵∶CE ︵∶BE ︵＝2∶3∶4，则∠4＝40°，∠6＝80°．3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，则∠AOC ＝___54°_____．4. 如图，AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD ︵上任意一点．若AC＝5，则四边形AC BP 周长的最大值是【解】 ∵点P 在AD ︵上，B 是圆心，∴PB 的长是定值．又∵AC ，BC 的长也固定，∴只要AP 的长为最大值，四边形ACBP 的周长就最大． 当点P 运动到点D 时，AP 最长．∵AD ︵是以等边△ABC 的一边AB 为半径的四分之一圆周，∴∠DBA ＝90°. 由勾股定理，得AD ＝AB 2＋BD 2＝5 2，∴周长为5×3＋5 2＝15＋5 2.5. 已知AB ，CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，∠COE ＝40°，则BE ︵的度数是70°或110°． 【解】 当点E 在劣弧BC ︵之间时，如解图①所示．∵∠COE ＝40°，OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∵弦CE ∥AB ，∴∠BOE ＝∠OEC ＝70°. 当点C 在劣弧BE ︵之间时，如解图②所示．同理可得∠BOE ＝110°.6. 如图，有下列条件：①∠COA ＝∠AOD ＝60°；②AC ＝AD ＝OA ；③E 为AO ，CD 的中点；④OA ⊥CD ，且∠ACO ＝60°.其中能推出四边形OCAD 是菱形的条件有4个．【解】 ①∵OA ＝OC ，∠COA ＝60°，∴△AOC 为正三角形，∴OA ＝OC ＝AC . 同理，OA ＝AD ＝OD ，∴OC ＝AC ＝AD ＝OD ，∴四边形OCAD 为菱形． ②同理于①.③∵E 为AO ，CD 的中点，∴四边形OCAD 为平行四边形． 又∵OC ＝OD ，∴▱OCAD 为菱形．④易得△AOC 为正三角形，又∵OA ⊥CD ，∴∠OCD ＝30°. ∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∴△AOD 为正三角形． 同理于①，四边形OCAD 为菱形．综上所述，条件①②③④都能推出四边形OCAD 是菱形．三、解答题1. 如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且OE ＝OF. (1)求证：AE ＝BF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.解：(1)过O 作OH ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点H ，则AM ＝MB.又∵OE ＝OF ，OH ⊥AB ，∴EM＝MF ，∴AM －EM ＝MB －MF ，即AE ＝BF ； (2)∵OH ⊥AB ，∴AH ︵＝BH ︵，∵OE ＝OF ，OH ⊥AB ，∴∠EOM ＝∠MOF ，∴CH ︵＝DH ︵，∴AH ︵－CH ︵＝BH ︵－DH ︵，即AC ︵＝BD ︵.2. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠DOC ＝90°，∠DOC 绕点O 旋转，D ，C 两点不与A ，B 重合．(1)求证：AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)AD ＋BC ＝CD 成立吗？为什么？解：(1)∵AB 为⊙O 直径，∠DOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOC ＝∠DOC ＝90°，∴AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)不成立，理由：在CD ︵上截取DE ︵＝AD ︵，连结DE ，EC ，故EC ︵＝BC ︵，则DE ＝AD ，BC ＝EC ，在△DEC 中，DE ＋EC ＞DC ，故AD ＋BC ＞CD.2. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC ∥MN.求证：(1)四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB ＝18∠BAC.解：(1)∵BC ∥MN ，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵D 为AO 中点，∴四边形ABOC 为平行四边形，∵AO ⊥BC ，∴▱ABOC 为菱形； (2)∵OB ＝ON ，∴∠MNB ＝∠OBN ，∴∠MOB ＝∠MNB ＋∠OBN ＝2∠MNB ，∵OD ＝12AO ＝12BO ，∴∠OBD ＝30°.∴∠BOD ＝60°，∴∠MOB ＝30°，∠BOC ＝120°，∴∠MNB ＝15°，∠BAC ＝120°，∴∠MNB ＝18∠BAC.3.如图所示，在⊙O中，AD，BC相交于点E，OE平分∠AEC.(1)求证：AB＝CD；(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE＝1，求AD的长．解：(1)证明：作OM⊥AD于M，ON⊥BC于N，连结OA、OC，如图，则AM＝DM，BN ＝CN，在Rt△OAM中，AM＝OA2－OM2，在Rt△OCN中，CN＝OC2－ON2，∵OE平分∠AEC，∴OM＝ON，而OA＝OC，∴AM＝CN，∴AD＝BC，∴AD︵＝BC︵，即AB︵＋BD︵＝BD︵＋CD︵，∴AB︵＝CD︵，∴AB＝CD；(2)∵AD⊥CB，∴∠MEN＝90°，∵OE平分∠MEN，∴∠MEO＝45°，∴△MEO为等腰直角三角形，∴OM＝EM，设ME＝x，则OM＝x，DM ＝ME＋DE＝x＋1，∴AM＝DM＝x＋1，在Rt△AOM中，∵OM2＋AM2＝OA2，∴x2＋(x ＋1)2＝52，解得x1＝3，x2＝－4(舍去)，故AD＝2AM＝8.4.如图，半圆的直径AB为2，C，D是半圆上的两点．若AC︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，动点P在直径AB上，求CP＋PD的最小值．解：如图，将半圆补成整圆，作点D关于直径AB的对称点D′，连结OC，OD，OD′，CD′，CD′交AB于点P，此时CP＋PD最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵AC︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，∴∠DOB＝36°，∠AOC＝96°，∴∠COD＝48°，∠BOD′＝36°，∴∠COD′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB为2，∴ON ＝12OC＝14AB＝12.∴CN＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴CD′＝ 3.∴CP＋PD的最小值为 3.。
浙教版九年级数学上册课件：3.4 圆心角(第1课时)
圆心角与所对弧度数之间的关系
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝25°，以点C为圆心，CA为半径的 圆交AB于点D，求A︵D的度数．
解析：连结CD，根据已知，可知CD＝CA， ∴∠DAC＝∠CDA. ∵∠A＝90°－∠B＝90°－25°＝65°， ∴∠DCA＝180°－2∠A＝50°， ∴A︵D的度数为50°. 反思：弧的度数等于它所对圆心角的度数， 关键是求出所对圆心角的度数．
例 ⊙O 的半径为 5，弦 AB 长也为 5，则弦 AB
所对的弧的度数为( )
A．60°
B．300°
C．60°或 300° D．不能确定
错解：A或B
正解：C
错因：圆心角所对的弧只有一条，而弦所 对的弧有两条．
变式1：如图，AD，BE，CF是⊙O的直径， 且∠AOF＝∠BOC＝∠DOE，弦AB，CD，EF相等吗？ 为什么？
答案：AB＝CD＝EF，理由略．
变式2：如图，CD是⊙O的直径，以D 为圆心，DO为半径作弧，交⊙O于点 A，B，求证＝A︵B，只需证明A︵C，B︵C，A︵B所对 的圆心角相等即可． 证明：连结AO，BO，AD，BD，则AO＝DO＝BO＝AD＝BD， ∴△AOD与△BOD均为等边三角形． ∴∠AOD＝∠BOD＝60°. ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°.∴A︵C＝B︵C＝A︵B.
变式：如图，已知AB是⊙O的直径， OE⊥AB，点D是OE的中点，且CD∥AB， 求证：A︵C＝12C︵E.
答案：连结OC，CE， ∵CD∥AB，OE⊥AB ∴CD⊥OE，∵D是OE中点， ∴CE＝CO＝OE，∴△COE为正三角形， ∴∠COE＝60°，∴C︵E＝60°， ∵∠AOC＝∠AOE－∠COE＝30°， ∴A︵C＝30°，∴A︵C＝12C︵E.
【精】2019-2020学年度最新浙教版数学九年级上册教学课件：3.4 圆心角-PPT课件
你能将⊙Ｏ二等分吗？
用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于点Ｃ和 点 Ｄ。 点Ａ分吗？
提问：
把360度的圆心角360等分，每一等分的圆心角是多少度？
n 度弧
B
若∠AOB=900 ，则A⌒B
mA
= 900
f z d x y
如图：已知AB，CD是⊙O的两条直径， ⌒⌒
弦DE∥ AB，请说明CB=BE的理由。
小结：今天你学到了有关圆的哪些知识？
n O1
1度弧
我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。 所以，n0的圆心角所对的弧叫做n0度的弧。
判断题： （1）等弧的度数相等（ ）；
（2）圆心角相等所对应的弧相等（ ）； （3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（ ）
在 多 年 的 高 三 复 习 备 考 中 ， 老 师 认 为 以 下 六 句 话 可 作 引 导 学 生 科 和 应 基 本 指 南 。 这 就 是 ： 础 决 定 能 力 ； 过 程 结 果 细 节 成 败 心 态 状 度 落 实 一 切 毫 无 疑 问 ， 高 考 复 习 的 主 要 目 就 是 回 归 基 础 巩 固 夯 实 。 没 有 能 力 中 每 一 道 题 查 都 离 不 开 可 谓 成 也 败 分 拿 下 来 总 法 上 去 为 此 对 知 识 足 够 重 视 和 耐 心 急 功 近 利 往 自 多 次 测 试 过 程 决 定 结 果 些 学 生 因 平 时 或 间 投 入 所 以 到 了 出 后 才 感 紧 张 备 事 个 系 统 天 、 节 课 部 如 在 某 方 面 话 必 然 会 产 良 只 调 控 期 待 好 里 说 细 指 现 性 错 误 精品精品
3.4 圆心角九年级上册数学浙教版
解：相等.理由：如图，连结 ，
， ， . ，
， ， .
证“弧相等”可转化为证弧所对的圆心角相等，故连结 <m></m> ，证明 <m></m> ，这体现了转化思想
知识点3 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
2.圆心角定理及其推论如下表：
内容
图示
数学语言
圆心角定理及其推论
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在 中， ， , .
推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
在 中， ， , ， .
注意不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦、弦心距也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同， <m></m> 与 <m></m> 对应的圆心角相等，但 <m></m> ， <m></m> ， <m></m
知识点1 圆的旋转不变性
1.圆的中心对称性：把圆绕圆心旋转 ，所得的图形与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
知识点2 圆心角定理重点
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示， 就是一个圆心角.
概念深化 （1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角 所对的弦为线段 ，所对的弧为 .
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系： 的圆心角所对的弧就是 的弧.角与弧的度数相等可用符号“ ”表示.如图， .
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C
) D．AC∥BD
C．AB∥CD
第3题图
第4题图
5． (4 分)如图所示， AB 是⊙O 的直径， 如果∠COA＝∠DOB ＝ 60 ° ， 那 么 与 线 段 有 OA 相 等 的 线 段 ︵ 相等的弧 ， 与AC
OC，OD，OB，AC，CD，DB
︵ ︵ 有 CD，DB ．
6．(4 分)一条弦把圆分成 1∶3 的两部分，则劣弧所对的圆心 角的度数为90 ____ °． ︵ 的度数为 260° 7． (4 分)如图所示， 若∠AOB＝100°， 则ACB ； ︵ 的度数为 250°，则∠AOB＝____ 110． ° 若ACB
50° 为____ ．
14．(8 分)如图所示，已知 AB，CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且 ︵ 等于PD ︵ 吗？说明你的理由．如果∠A＝α，该结论 AP∥CD，∠A＝68°，那么BD 仍成立吗？
︵ ＝PD ︵ .理由如下：连结 OP，则 OP＝OA，∴∠P＝∠A＝68°.∵CD∥ 解：BD ︵ ＝PD ︵. AP，∴∠BOD＝∠A＝68°，∠DOP＝∠P＝68°.∴∠BOD＝∠DOP，∴BD ︵ ＝PD ︵ 仍成立． 当∠A＝α时，∠BOD＝∠DOP＝α，BD
3．(4 分)如图所示，MN 为⊙O 的弦，∠M＝45°，则∠MON 等于 ( A．50° B．65° C．80° D．90°
D
)
4．(4 分)如图所示，点 O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径 OA，OB 分别 交小圆于 C，D 两点，则下列结论中正确的是 ( ︵ ＝CD ︵ A.AB B．AB＝CD
16．(10 分)如图所示，在△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，以点 B 为圆 心，AB 为半径画圆，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E. ︵ ＝2ED ︵； 求证：(1)AD (2)D 是 AC 的中点．
︵ 的度 证明：(1)连结 BD.∵∠A＝60°，BA＝BD，∴∠ABD＝60°，即AD ︵ 的度数为 30°， ︵ ＝2ED ︵. 数为 60°.∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝30°， 即ED ∴AD (2)∵∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠C，∴DC＝DB.由(1)得 △ABD 为等边三角形，∴DB＝AD，∴DC＝AD，即 D 为 AC 的中点．
3.4 圆心角
第1课时 圆心角定理
1．(4分)下列语句中，正确的有 ( A ) A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧2．(4分)如图所示是一个旋转对称图形 ，以O为旋转中心，以下
列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合 ( C )
15．(8 分)如图，在⊙O 中，D，E 分别为半径 OA，OB 上的点，且 AD＝ BE，点 C 为弧 AB 上一点，连结 CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC. 求证：CD＝CE.
证明： ∵OA＝OB， AD＝BE， ∴OA－AD＝OB－BE， 即 OD＝OE.在△ODC OD＝OE， 和△OEC 中，∠AOC＝∠BOC，∴△ODC≌△OEC(SAS)．∴CD＝CE. OC＝OC，
12．(4 分)已知 AB，CD 是⊙O 的直径，弦 CE∥AB，∠COE ︵ 的度数是 ( D ) ＝40°，则BD A．70° C．40° B．110° D．70°或 110°
13．(4 分)如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝25°， ︵ 的度数 以点 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于点 D，那么AD
8．(6分)已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证： AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝ ∠BOC－∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
9．(8 分)如图所示，AB，CD，EF 都是⊙O 的直径，且∠1 ＝∠2＝∠3，判断⊙O 的弦 AC，BE，DF 的大小关系，并说明 理由．
17．(12 分)如图，A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点． (1)连结 AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD； (2)若 P 是圆周上异于已知六等分点的动点，连结 PB，PD，PF，写出这三条线 段长度的数量关系(不必说明理由)．
解：(1)证明：连结 OB，OF.∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB，△AOF 是等边三角形，∴ ︵ 上时， ︵ AB＝AF＝AO＝OD， ∴AB＋AF＝AD. (2)当 P 在BF PB＋PF＝PD； 当 P 在BD ︵ 上时，PD＋PF＝PB. 上时，PB＋PD＝PF；当 P 在DF
解：AC＝BE＝DF.理由如下：∵∠1＝∠2＝∠3，∠1＝∠ AOC， ∠2＝∠BOE， ∠3＝∠DOF， ∴∠AOC＝∠BOE＝∠DOF. ∴AC＝BE＝DF(在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等)．
10．(8 分)如图所示，D，E 分别是⊙O 的半径 OA，OB 上的 ︵ 与BC ︵ 的大小关系，并 点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，判断AC 说明理由．
A．60° B．90° C．120° D．180°
3．(4 分)已知⊙O 的半径为 2 cm，弦 AB 长 2 3 cm，则这条弦的中点 到弦所对劣弧的中点的距离为 ( A ) A．1 cm B．2 cm C. 2 cm D. 3 cm 4．(4 分)如图所示，AB，AC 是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径， 且 AD 平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是 ( A ) ︵ ＝DB ︵ A.AB ︵ ＝CD ︵ B.BD C．BC⊥AD D．∠B＝∠C
︵ ＝BC ︵ .理由如下：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE， 解：AC ︵ ＝BC ︵ CO＝CO， ∴Rt△CDO≌Rt△CEO， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴AC
11．(4 分)在半径为 2 的⊙O 内有长为 2 3的弦 AB，则此弦 所对的圆心角∠AOB 为 ( C ) A．60° B．90° C．120° D．150°