二次函数图像与性质(共计4课时)
二次函数的图像和性质(4)
1.y 2x 32 5; 2.y 0.5x 12;
3.y 3 x2 1;
4
4.y 2x 22 5; 5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
4
5.填写下表:
y=-½(x+1)²-1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y=-0.5x2类似.
y=-½x²
开口向下, 当x=-1时y有
最大值:且 最大值是 -1.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函 数y=0.5(x+1)2-1,会是什么样?
练习
在同一坐标系中作出二次函数 y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和 y=-3(x-1)2的图象
（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函 数y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴 和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的 图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向 上平移1个单位后得到的.
a就好啦!
x
点（3、0） 在抛物线 上，求a没 问题。
《二次函数的图像和性质》说课稿
《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》，这是九年级下册第26章的内容。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对一次函数有关内容的推广，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(知识讲解)Word版含解析
专题2.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.4 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像与性质（知识讲解）【学习目标】1.理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2.会用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3.掌握二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质．【要点梳理】要点一、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像及性质1.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像用描点法画出二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线．因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图像的最低点．因为抛物线y ＝x2有最低点，所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标．2.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的画法用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确．特别说明：二次函数y＝ax2（a≠0）的图像．用描点法画二次函数y＝ax2（a≠0）的图像，该图像是轴对称图形，对称轴是y轴．y＝ax2（a≠0）是最简单的二次函数，把y ＝ax2（a≠0）的图像左右、上下平行移动可以得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像．画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与x轴的交点，5）与y轴的交点．3.二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质二次函数y＝ax2（a≠0）的图像的性质，见下表：特别说明：顶点决定抛物线的位置．几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同．│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同．│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大， 图像两边越靠近x轴．【典型例题】类型一、作出二次函数2y ax=的图像1．画函数212y x=-的图像．举一反三：【变式1】2．画出二次函数y＝x2的图象．【变式2】3．画出二次函数y=﹣x2的图象．类型二、二次函数2y ax 的参数值4．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是 y ＝ax 2； y ＝bx 2； y ＝cx 2； y ＝dx 2．则a 、b 、c 、d 的大小关系为_____．举一反三： 【变式1】5．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax2上．求a 的值及点B 的坐标.【变式2】6．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）类型三、二次函数2y ax =的开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点坐标7．函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x -3的图象交于点（1，b ）． 求：（1）a 和b 的值；（2）求抛物线y=ax 2的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）作y=ax 2的草图． 举一反三： 【变式】8．已知函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数．（1）求m 的值．（2）当m 为何值时，该函数图像的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 类型四、二次函数2y ax =的增减性9．已知22(1)ky k x -=+是关于x 的二次函数.(1)求满足条件的k 的值；(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？(3)k 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 举一反三： 【变式1】10．已知24(2)k k y k x +-=+ 是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x 为何值时，y 随x 的增大而减少． 【变式2】11．已知函数y ＝（k ﹣2）245k k x -+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的k 的值；（2）当k 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增大而减小？类型五、二次函数2y ax =的综合应用12．如图，梯形ABCD 的顶点都在抛物线2y x =-上，且////AB CD x 轴.A 点坐标为（a,-4），C 点坐标为（3,b ）.（1）求a ，b 的值； （2）求B ，D 两点的坐标； （3）求梯形的面积. 举一反三： 【变式1】13．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.【变式2】14．抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时， AOB为直角三角形．参考答案：1．见解析【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图像即可．【详解】解：列表：描点、连线如下图所示：【点睛】本题考查了二次函数的画法，做题的关键是列出表格、描点、连线即可．2．图像见解析.【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．【详解】函数y＝x2的图象如图所示：【点睛】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．3．见解析【分析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．【详解】列表：描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；连线：用平滑的线顺次连接，如图：【点睛】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．4．a＞b＞d＞c【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．故答案为：a＞b＞d＞c．【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．5．a=1, B（2,2）2【详解】试题分析：先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.解：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：16a=8a=12y=1x2.2x2得：再把点B（2，n）代入y=12n=2.B（2,2）.6．a1＞a2＞a3＞a4【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【详解】解：如图所示： y＝a1x2的开口小于 y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，y＝a3x2的开口大于 y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.【点睛】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．7．（1）a=b=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析【详解】试题分析：（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.试题解析：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，把点（1，-1）代入y=ax 2中，得a=-1； （2） 在y=-x 2中，a=-1<0， 抛物线开口向下；抛物线y=ax 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）； （3）作函数y=ax 2的草图如下：8．（1）m 1＝−4，m 2＝1；（2）当m ＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【分析】（1）根据二次函数的定义求出m 的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值； 【详解】解：（1） 函数()2323m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，m 2＋3m−2＝2，m ＋3≠0， 解得：m 1＝−4，m 2＝1； （2） 函数图象的开口向下， m ＋3＜0， m ＜−3，当m ＝−4时，该函数图象的开口向下； （3） m ＝−4或1，当m ＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值， m ＞−3， m ＝−4或1，当m ＝1时，函数为24y x =，该函数有最小值，最小值为0．【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．9．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k 的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．【详解】(1) 根据二次函数的定义得 22210k k ⎧-=⎨+≠⎩ 解得k=±2. 当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，k+1＞0，即k ＞-1，根据第(1)问得：k=2.该抛物线的解析式为2y 3x =， 抛物线的顶点为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1＜0，即k ＜-1，根据第(1)问得：k=-2.该抛物线的解析式为2y x =-，顶点坐标为(0，0)，当k=-2时，函数有最大值为0. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．10．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k 2+k ﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k +2＜0，即可得出k 的值；（2）利用（1）中k 的值得出二次函数的解析式，利用形如y =ax 2（a ≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴即可得出答案．试题解析：解：（1） 24(2)k k y k x +-=+是二次函数， k 2+k ﹣4=2且k +2≠0，解得k =﹣3或k =2． 函数有最高点， 抛物线的开口向下， k +2＜0，解得k ＜﹣2， k =﹣3；（2）当k =﹣3时，二次函数为y =﹣x 2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而减少．11．（1）1213k k ＝，＝；（2）k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；（3）k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【分析】（1）由于函数是二次函数，所以x 的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k 的值；（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k 的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．【详解】解：（1） 函数y ＝（k ﹣2）245kk x -+是关于x 的二次函数，k 满足2452k k +﹣＝，且k ﹣2≠0，解得：1213k k ＝，＝；（2） 抛物线有最高点，图象开口向下，即k ﹣2＜0，结合（1）所得，k ＝1，最高点为（0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．（3） 函数有最小值，图象开口向上，即k ﹣2＞0，k ＝3，最小值为0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．12．（1）2a =-,9b =-；（2）(2,4)-B ，(3,9)D --；（3）25.【分析】（1）把点A ，点C 坐标分别代入解析式，即可求出a ，b 的值；（2）由B 与A 的纵坐标相等，D 与C 的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B ，D 的坐标；（3）分别求出AB ，CD 和梯形的高，即可得到答案.【详解】解：（1）当4y =-时，24a -=-，2a =±.点A 在第三象限，2a =-.当3x =时，9y =-，9b =-.（2） ////AB CD x 轴，A 点与B 点，C 点与D 点的纵坐标相同.2y x =-关于y 轴对称，(2,4)-B ，(3,9)D --.（3）由题意，得AB 4CD 6==，，梯形的高为5， 1(46)5252ABCD S =⨯+⨯=梯形. 【点睛】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.13．34. 【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线1y x =+与y 轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】解：由题意得：221y x y x ⎧=⎨=+⎩解得：12x =-或1x = 点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >(1,2)A ，11(,)22B - 直线1y x =+与y 轴的交点坐标为：（0，1） 11131112224ABO S ∆=⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．141【分析】先求出AB两点坐标，再根据 AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a 的方程进行求解.【详解】 x=-1, y=a,x=2, y=4a，A（-1，a）,B（2，4a）当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=12，a=a>当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=±1，a>0, a=1，AO2=1+a2<9+9a2= AB2，AO2=1+a2<4+16a2= OB2AO不是斜边，1.【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.。
22.1.4二次函数的图像与性质
（配方）
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
开口方向 增减性
直线x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利 润最大？最大利润是多少？
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7.
解这个方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
所求二次函数是y＝2x2－3x＋5．
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
九年级数学教案：二次函数的图像和性质(全4课时)
课时NO: 主备人： 审核人 用案时间： 年 月 日 星期 教学课题 5.2 二次函数的图像和性质（1） 教学目标1．能用描点法画函数y ＝x 2图像．2．能画y ＝－x 2图像，并说出它与y ＝x 2图像的共同特征． 教学重点 1．能用描点法画函数y ＝x 2图像．2．能作出函数y ＝－x 2图像，并说出它与y ＝x 2图像的共同特征． 教学难点 能作出函数y ＝－x 2图像，并说出它与y ＝x 2图像的共同特．教学方法教具准备教 学 过 程个案补充一．情景创设1．画函数图像步骤？——列表、描点、连线． 2．研究函数性质方法？——数形结合． 3．猜想二次函数图像是怎样的？ 二．探究交流 活动1．想一想．根据二次函数y ＝x ²表达式，你能描述它的图像有什么特征吗？画一画．在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y ＝x ²的图像． 思考：列表选取哪些点？为什么？画一画．x．．． -3 -2 -1 0 1 2 3 ．．． y ＝x ² ．．．41149．．．类似地，在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x²的图像．x ．．．-3 -2 -1 0 1 2 3 ．．．y＝-x²．．．-9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ．．．议一议．函数y＝x²的图像与函数y＝－x²的图像有什么共同特征？（小组交流）抛物线：二次函数y＝x²、y＝－x²的图像都关于y轴对称的曲线，称为抛物线．顶点：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．课时NO: 主备人： 审核人 用案时间： 年 月 日 星期 教学课题 5．2 二次函数的图像和性质（2）教学目标 1．能归纳总结y ＝ax ²（a ≠0）的图像性质；2．体会用类比方法研究数学问题，实现“探索——经验——运用”的思维过程． 教学重点 归纳总结y ＝ax ²(a ≠0)的图像性质． 教学难点 获得利用图像研究函数性质的经验．教学方法教具准备教 学 过 程 个案补充一．情景创设画一画．请在坐标系中画出函数y x 21＝2和y x 2＝2、y x -21＝2和y x -2＝2图像．想一想．这四个图像各有什么特征？归纳．二次函数y ＝ax ²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点． 当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．1．观察y＝ax²的图像，你还能发现什么？2．如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？归纳：（1）a＞0时，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＝0时，y的值最小，最小值是0．（2）a＜0时，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y的值最大，最大值是0．例1.说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．（1）y＝－3x²；（2）y＝0.6x²；（3）y＝0.75x²；（4）y＝－100x²．例2.已知函数2＝－是二次函数且其图像开口向下，(1)m my m x＋（1）求m的值和函数解析式．（2）x在什么范围内，y随x的增大而增大；y随x的增大而减小．。
人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质
C． D．
【例2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（）．
3、抛物线 （ ）的顶点坐标公式：（ ， ）；对称轴是直线： ；当 时，函数有最值： 。
4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加右减，上加下减。
二、典型例题：
考点一：二次函数的定义
【例1】下列函数中，关于 的二次函数是（ ）。
A、 B、 C、 D、
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【例2】已知二次函数 ，若自变量 分别取 ， ， ，且 ，则对应的函数值 的大小关系正确的是（）
A. B. C. D.
三、强化训练：
【夯实基ห้องสมุดไป่ตู้】
1、二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
【例2】已知函数 （ 为常数）。
（1） 为何值时，这个函数为二次函数？
（2） 为何值时，这个函数为一次函数？
考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值
【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值；
（1） （2） （3）
考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）
【例1】把抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是；
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点五：直线与抛物线的位置关系
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
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0
0
1
2
3
4
· · ·
· · · 2 · · · · · ·
· · 1 2 · －8 y x 2 x · · · －2 · · · －8
－2 －0.5
－1 －2
－0.5 －2 －4.5 －8 0 0 0.5 1 1.5
－0.5 －0.5
y 2 x 2
－0.5 －2 －4.5 －8
－4
－2 －2 －4 －6
增减性；
不同点；
4
2 －4 －2 2
y
4
1 2 x 2
1 2 y x , y 2x2 2 有什么共同点和不同点？
函数
相同点：开口：向上，
的图象与函数 y=x2
的图象相比，
顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y = x2
···
9
4
1
0
1
4
9
···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平滑曲线顺次 连接各点，就得到y = x2 的图 象． 9
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象的确定。
直线 (1) 一次函数的图象是一条_____
(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论 性质是数形结合 的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
－8
y 2 x 2
1 2 2 函数 y x , y 2 x 的图象与函数 2
有什么共同点和不同点？ 相同点：开口：向下， 顶点：原点（0,0）——最高点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
y 轴右侧，y随x增大而减小
y=-x2
的图象相比，
－4
－2
－2 －4
2
8 6
y 2 x2
4
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小． 2 －4 －2 2
y41 2 Fra bibliotek 2探究
2 画出函数 y x , y
线有什么共同点和不同点．
1 2 x , y 2 x 2 的图象，并考虑这些抛物 2
x
· · · －4
－3 －4.5
－1.5 －4.5
－2
－1
y x2
y 2 x2
思考：若已知 则对应函数解析式为？
y ax2 过（2,2）
1 2 y x 2
2 4
－4
－2
1 2 y x , y 2x2 2 有什么共同点和不同点？
函数
相同点：开口； 顶点； 最值； 对称轴；
的图象与函数 y=x2
的图象相比，
y x2
8 6
y 2 x2
y=x2
6
3 －3 3
以0为中 心选取7个x 值列表
轴对称 是一条 曲线 图形
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴
的交点叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛 物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
1 2 x , y 2 x 2 的图象． 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x · · · －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
4
－6
不同点：a 值越小，抛物线的开 口越大．
1 y x2 2
y x2
－8
y 2 x 2
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 顶点; 2. 当a>0时； 当a<0时； 3. 对称轴； 4. 增减性和谁有关系； 5. 还可以发现，｜a｜决定什么？
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
2
4
1 y x2 2
y x2
－8
y 2 x 2
1 2 2 函数 y x , y 2 x 的图象与函数 2
有什么共同点和不同点？ 相同点：开口； 顶点； 最值； 对称轴；
y=-x2
的图象相比，
－4
－2
－2 －4
2
4
增减性；
不同点；
－6
1 y x2 2
y x2
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y
· · · · · · · · · · · ·
1 2 · · · y x 2
x · · ·
8
4.5 2
－1.5 －1
0.5
－0.5
0 0.5
0 0.5
2 4.5
1 1.5
8
2
· · · －2
2
y 2x
8
8
6 4 2
4.5
2
0.5
0
0.5 2 4.5 8
1. 顶点; 都在原点 2. 当a>0时， 开口向上；有最小值； 可以怎么表示 开口向下．有最大值； 可以怎么表示 当a<0时，
3. 对称轴，都是y轴， 可以怎么表示
4. 增减性和谁有关系，以谁为分界线， 可以怎么表示， 两种表示。 5. 还可以发现，｜a｜越大，则开口越小； ｜a｜越小，则开口越大
探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?
8
y
6
4
2
-2
o
5
X
-4
-6
-8
探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你一种什么感觉?
答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。两个图 象关于x轴对称。 探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点 坐标及其规律. y
2 二次函数y=ax 的图象
y x2
8 6
y 2 x2
4
2 －4 －2 2
1 y x2 2
4
二次函数的定义: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变 量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
(1) 一次函数的图象是一条_____ 直线
8 6 4 2
-2
o
5
X
-4
-6
-8
二次函数y=ax2的图象的性质