2009级高等数学(下)考试试题及参考答案_A_

扬州大学2009级《高等数学I （2）》统考试题(A)卷班级 学号 姓名 得分一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设函数),(y x f 在),(00y x 处不连续，则【 】(A)),(y x f 在),(00y x 处必不可微 (B)),(lim ),(),(00y x f y x y x →必不存在 (C)),(00y x f 必不存在 (D)),(00y x f x '与),(00y x f y '必不存在 2．设函数),(y x f z =在点)0 ,0(处具有偏导数，且3)0 ,0(='x f ，1)0 ,0(='y f ， 则【 】(Ａ) y x z d d 3 d )0,0(+=(Ｂ) 曲面),(y x f z =在点))0 ,0(,0 ,0(f 的法向量为)1 ,1 ,3((Ｃ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)3 ,0 ,1((Ｄ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0 ,0(,0 ,0(f 的切向量为)1 ,0 ,3(3．设L 是2y x =上从)0,0(O 到)1 ,1(A 的一段弧，则22d d Lxy x x y +=⎰【 】(Ａ)2 (Ｂ) 1- (Ｃ) 0 (Ｄ) 14．设函数),(y x f 连续，且y x y x f xy y x f Dd d ),(),(⎰⎰+=，其中D 是由2 ,1 ,0x y x y ===所围成的闭区域，则=),(y x f 【 】(A) 81+xy (B) xy (C) xy 2 (D)1+xy 5．下列级数中，发散的是【 】(Ａ) ∑∞=+1)11ln(1n n n(Ｂ)∑∞=++112 2n nn n n (Ｃ) ∑∞=12sin n nn(Ｄ) ∑∞=1! n nnn 6．若幂级数nn n x a )1(1+∑∞=的收敛半径为R ，则n n nxa 21∑∞=的收敛半径为【 】(Ａ) R (Ｂ) 2R (Ｃ) 1-R (Ｄ)R题号 选择题 填空题 13～14 15～16 17～19 20～21 22～23 扣分扣分二、填空题（每小题3分，共18分） 7．=--→xy e xyy x sin 12lim)0,0(),( ．8．设6=-xyz e z ，则=z d ． 9．平面12=-+z y x 被三坐标面割下的面积为 ． 10．设22),,(z xy x z y x f +-=，则=)1 ,0 ,1( f grad ． ),,(z y x f 在点)1 ,0 ,1(处沿梯度方向的方向导数为 ．11．函数3126),(23+-+-=y x x y y x f 在点(,)x y = 处取得极大值． 12．设nn n x a )1(1-∑∞=的收敛域为)4 ,2(-，则11)3(-∞=+∑n n nx na 的收敛区间为 ．三、计算与应用题（每小题6分，共54分）13．设) ,sin ( ye x yf x z =，其中f 具有二阶偏导数，求x z ∂∂，z y ∂∂，，yx z∂∂∂2．14．求曲面1=++z y x 的一张切平面，使其在三坐标轴上的截距之积最大．扣分扣分扣分15．计算y x y x Dd d )cos( ⎰⎰+，其中D 是由直线x y =，0=y及2π=x 所围成的闭区域．16．计算曲线积分s eL y x d 22⎰+，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．扣分扣分17. 求半球面223y x z --=与旋转抛物面)(2122y x z +=所围立体的体积．18．计算曲面积分S z x ⎰⎰∑d 2，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的顶部．19. 计算曲面积分y x z zx z y z y x d )d 3( d d 2 d d 2-++⎰⎰∑，其中∑是锥面22y x z +=位于平面1=z 下方部分的下侧．扣分扣分扣分20．求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛域及和函数，并求∑∞=----1113 )12()1(n n n n ．21．将函数2234)(xx x f -+=展开成)2(-x 的幂级数，并指出展开式的成立范围．扣分扣分四、探究与证明题（每小题5分，共10分）22．设} 10 ,0|),{(≤≤≤≤=x x y y x D ，)(x f 为连续函数， 试利用二重积分的极坐标证明：x x f x y f Dd )(21d )(1⎰⎰⎰=σ．23．（1）判别级数∑∞=--11)1(n n n 的敛散性 (需说明理由，若认为收敛， 还要判明是绝对收敛还是条件收敛)；（2）若当∞→n 时，n a 与n 1为等价无穷小，试问交错级数∑∞=-1)1(n n na是否一定收敛？若收敛证明之，若不一定收敛，举一发散的例子．扣分扣分扬州大学2009级《高等数学I （2）》统考试题(A)卷参 考 答 案一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．A 2．C 3． D 4．A 5．B 6．D 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．21-8．y xye xz x xy e yz z z d d -+- 9．4610．)2 ,1 ,2(-，3 11．) 2 ,3 (- 12． )0 ,6(- 三、计算与应用题（每小题6分，共54分） 13．x y f x f xzcos 1⋅'+=∂∂1 cos f x xy f '+= ………………………………(2分) )sin ( 21y e f x f x yz⋅'+⋅'=∂∂21 sin f xe f x x y '+'= ………………………(4分) )sin ( 212y e f x f yx z⋅'+⋅'=∂∂∂1 cos f x x '+)sin ( cos 1211y e f x f x xy ⋅''+⋅''+ 121121 cos cos sin )cos (sin f x xye f x x xy f e f x x x y y ''+''+'+'+=…(6分) 14．设切点坐标为),,(000z y x ，在此点处的切平面方程为0)(21)(21)(21000000=-+-+-z z z y y y x x x ， 即1000=++z zy y x x ……………………………………………(2分) 此切平面在三坐标轴上的截距之积为000z y x S =本题转化为求函数xyz S =在条件1=++z y x 下的最大值.令 )1(),,,(-+++=z y x xyz z y x F λλ由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++='=+='=+='=+='01 ,0202 ,02z y x F z xy F y xz F x yz F z y xλλλλ得91===z y x (5分)因此所求切平面为 31=++z y x …………………………………………(6分)15．原式y x y x D d d )cos(1⎰⎰+=y x y x D d d )cos(2⎰⎰+-+……………………………(2分)其中}40 ,2|),{(1ππ≤≤-≤≤=y y x y y x D}24 ,2|),{(2πππ≤≤≤≤-=x x y x y x Dx y x y yyd )cos(d 240⎰⎰-+=ππy y x x xxd )cos(224⎰⎰-+-πππ…………………(4分))421()214(ππ---=12-=π…………………………………………(6分) 16．s eLy x d 22⎰+s es es eL y x L y x L y x d d d 322222122⎰⎰⎰+++++=………………(1分)其中 )0( 0 :1a x y L ≤≤=，)40( sin ,cos :2π≤≤==t t a y t a x L ，)220( :3a x x y L ≤≤= 且1d d 1d 02122-==⋅=⎰⎰⎰++a ax ax L y x e x e x es ea a L y x ae t a e s e4d d 42220ππ=⋅=⎰⎰+1d 2d 22022322-=⋅=⎰⎰++a a x x L y x e x es e……………………………(5分)故s eLy x d 22⎰+a a a a a ae e e ae e 4)1(2141ππ+-=-++-= …………(6分)17．所围立体Ω在xOy 面上的投影区域2:22≤+y x D xy ． ⎰⎰⎰Ω=V V d ……………………………………………………………………(1分) z d d d 22132020⎰⎰⎰-=ρρπρρθ ………………………………………………(4分)ρρρρπ)d 21-3(2222-=⎰π)3532(-=…………………………(6分) 18．原式y x y x y x x xyD d d 42422222----=⎰⎰y x x y x d d 23222⎰⎰≤+=…………(3分)⎰⎰⋅=302220d cos d 2ρρθρθππ29=……………………………………(6分)19．设1∑为平面) 1 ( 122≤+=y x z 的上侧，Ω为∑和1∑所围成的空间闭区域，则y x z zx z y z y x d )d 3( d d 2 d d 21-++⎰⎰∑+∑v z d 2⎰⎰⎰Ω=y x z z zD d d 2 d 10⎰⎰⎰=⎰⋅=12d 2 z z z π2π=…………………(3分)又y x z zx z y z y x d )d 3( d d 2 d d 21-++⎰⎰∑y x y x d d 2122⎰⎰≤+-=π2-=故原式)2(2ππ--=π25=…………………………………………………(6分) 20．nn n u u 1lim+∞→12)1(12)1(lim 12112--+-=--+∞→n x n x n n n nn =2x 当12<x 即1<x 时，幂级数绝对收敛；当12>x 即1>x 时，幂级数发散； 所以收敛半径1=R ，收敛区间)1 ,1(-．当1=x 时，原级数为∑∞=---1112)1(n n n ，收敛；当1-=x 时，原级数为∑∞=--112)1(n nn ，收敛；故原级数的收敛域为]1 ,1[- …………………………………………………(3分) 设 ∑∞=----=112112)1()(n n n n x x S ，)1 ,1(-∈x ， 则 ∑∞=---='1221)1()(n n n x x S 211x +=， x x S a r c t a n )(=⇒∑∞=----=112112)1(n n n n x ，)1 ,1(-∈x …………………(5分) 在上式中，令31=x 得6)31()31(121)1(1211π==---∞=-∑S n n n n 故 ∑∞=----1113 )12()1(n n n n π63=…………………………………………………(6分)21．)1)(3(4)(x x x f +-=x x ++-=11313)2(1131)2(11-+⋅+--=x x ………(2分) nn x )2(0-=∑∞=nx n n )()1(31320-∞=∑-+n n n n x )2()3)1(1(01--+=∑∞=+……(5分)展开式的成立范围：)3 ,1(∈x ……………………………………………(6分) 四、探究与证明题（每小题5分，共10分） 22．ρρθθσθπd )(tan d d )(sec 040⎰⎰⎰⎰=f xy f Dθθθπd sec )(tan 21402⎰=f ………………………………………(3分)t t f t d )(21tan 10⎰=θ令x x f d )(211⎰=…………………………(5分) 23．（1）因∑∞=--11)1(n n n ∑∞==11n n 发散； 而 ∑∞=--11)1(n n n 为一交错级数，收敛；故原级数收敛，且为条件收敛……………………………………………(3分) （2）不一定收敛 ………………………………………………………………(4分)发散的反例：取n na nn )1(1-+=. ………………………………(5分)。