材料力学(机械工业出版社)知识小结：第三章 扭转
材料力学第3章 扭转
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学 第3章 扭转
例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶
矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，
内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一
倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1
由 D12 (1 0.52 ) 2 D2 (1 0.52 )得 D1 2
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学 第三章 扭 转
I p A 2dA
三、切应变 剪切胡克定律
材料力学 第三章 扭 转
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第三章 扭 转
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因
单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
d
I p A 2dA
D
02
2
2
d
D4
32
0.1D4
O
D
材料力学 第三章 扭 转
对于空心圆截面：
d
I p A 2dA
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学第三章-扭转
得
在单元体互相垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，
且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而它们的方向 同时指向公共棱边，或同时背离公共棱边。这个关系称为切 应力互等定理。
该应力情况由于只有切应力而没有正应力，称该应力情 况称为纯剪切。
三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切 比例极限时，切应力与切应 变成正比，如右图，即：
G
其中：G是比例常数，称为剪切弹性模量， 上式称为剪切胡克定律。
对于各向同性材料，有：
G E
2(1 )
§3.4～3.5 圆轴扭转时的应力和变形
先看实验
一、实验与假设
1、实验现象
﹢各圆周线的形状、大 小，两圆周线间的距离都 没有发生变化，但都绕轴 线转过了不同的角度。
﹢纵线仍近似为直线， 但都倾斜了一个角度， 使原来的矩形都变成了 平行四边形。
说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得 相同的正负号。
2、扭矩图
扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。
扭矩图的做法与轴力图相似。 例1
已知:传动轴转速n=300r/min,
主动轮A输入功率PA =400KW,
三个从动轮输出功率分别为
B
C
PB =120KW ，PC =120KW ,
PD =160KW
T
IP
R
max
TR IP
第三章 扭转
基本要求
1.理解扭转的概念，熟练掌握扭矩的计算和扭矩图的绘 制方法。
2.明确纯剪切应力状态的概念，深刻理解切应力互等定 理及剪切胡克定律。
3.理解圆轴扭转时的切应力和扭转角公式的推导过程， 明确其中平面假设的意义和方法。
材料力学第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
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第三章扭转
3–1概述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。
如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（γ）：直角的改变量。
3–2传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m)(N 9550⋅=n
P m 其中：P —功率，千瓦（kW ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7024
⋅=n P m 其中：P —功率，马力（PS ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7121⋅=n
P m 其中：P —功率，马力（HP ）n —转速，转/分（rpm ） 二、扭矩及扭矩图
1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。
2、截面法求扭矩
m
T m T m x ==-=∑00
3、扭矩的符号规定：
“T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的：①扭矩变化规律；
②|T |max 值及其截面位置->强度计算（危险截面）。
3–3薄壁圆筒的扭转
一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m 。
2.实验后：
①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
4.ϕ与γ的关系：L R ⋅=ϕγ
二、薄壁圆筒剪应力τ大小：t
r T 220πτ=
三、剪应力互等定理：ττ'=
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。
γτ⋅=G 式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ无量纲，故G 的量纲与τ相同
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。
对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)
1(2μ+=E G
3–4等直圆杆在扭转时的应力强度条件
一、等直圆杆扭转实验观察：
1、横截面变形后仍为平面；
2、轴向无伸缩；
3、纵向线变形后仍为平行。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1.变形几何关系：
x d d ϕργρ=，距圆心为ρ任一点处的γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。
x
d d ϕ：扭转角沿长度方向变化率。
2.物理关系：
x
G d d ϕρτρ= 3.静力学关系：
横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式：p
I T ρτρ⋅= 4.公式讨论：
①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
②式中：T —横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
ρ —该点到圆心的距离。
I p —截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
A I A p d 2
ρ⎰=，单位：mm 4，m 4
③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I p 值不同。
a.对于实心圆截面：44
1.032D D I p ≈=π
b.对于空心圆截面：)1(1.0)1(32 )(32 4444
44ααππ
-≈-=-=D D d D I p
④应力分布
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。
⑤确定最大剪应力：
t
W T =max τ，W t —抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm 3或m 3 对于实心圆截面：332.016D D R I W p t ≈==π 对于空心圆截面：)-(12.016)1(4343ααπD D R I W p t ≈-==（自：注意这里还是4
α）
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
转角α规定：x 轴正向转至截面外法线，逆时针：为“+”顺时针：为“–” αττατσαα2cos ; 2sin =-=
当α =0°时，τττσ===︒︒max 00 , 0
当α =45°时，0 , 45min 45=-==︒︒ττσσ
当α =–45°时，0 , 45max 45===︒-︒-ττσσ
当α = 90°时，τττσ-=-==︒︒max 9090 , 0
四、圆轴扭转时的强度计算 对于等截面圆轴：][max τ≤t
W T ，([τ] 称为许用剪应力。
) 强度计算三方面： ①校核强度：][max max ττ≤=t
W T ②设计截面尺寸：][max τT W t ≥⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：43
3116 16 αππD D W t ③ 计算许可载荷：][max τt W T ≤
3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件
一、扭转时的变形
长为l 一段杆两截面间相对扭转角ϕ为值不变）若 ( T GI Tl p
=ϕ 二、单位长度扭转角θ ： (rad/m) d d p GI T x ==ϕθ，/m)( 180 d d ︒⋅==π
ϕθp GI T x GI p 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。
三、刚度条件
[](rad/m) max max θθ≤=p GI T ，[]/m)( 180 max max ︒≤⋅=θπ
θp GI T [θ ]称为许用单位长度扭转角。
刚度计算的三方面：
①校核刚度：[]θθ≤ max ②设计截面尺寸： ] [max θG T I p ≥
③计算许可载荷：] [max θp GI T ≤
3–6等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤：
1、平衡方程；
2、几何方程——变形协调方程；
3、物理方程；
4、补充方程：由几何方程和物理方程得；
5、解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
3–7等直圆杆在扭转时的应变能
一、应变能与能密度 应变比能：22
121γτγG u == 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算（略）
位移的计算(能量法） 外力功：∆=P W 2
1 变形能：⎰⎰=
=V
V V U U d 21d τγ U W =
3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。
二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。
三、矩形杆横截面上的剪应力:
1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）
2. 最大剪应力及单位扭转角 t W T max max =
τ，其中：3 b t W β=，max 1 νττ= t
GI T =θ，其中：It —相当极惯性矩。
4 b I t α= （略）。