定比分点坐标公式
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
线段的中点坐标公式
的分点C的坐标
2
2 1 (5)
解
x 2 1 1
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (5) 1 21 3
2
y
3 1
1 4 2 1
64 2 1
2 3
2
因此分点C的坐标为（－
1 ， 3
2） 3
2、线段的定比分点坐标公式
x x1 x2 , y y1 y2 ( 1)
1
1
练习 1、 设点C分线段AB成定比 ，求分点C的坐标：
设D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，求点D，E，F的坐标
解 点D的坐标为 (2, 3) 2
点E的坐标为 (1 , 1) 2
点F的坐标为 ( 1 , 1 ) 22
1、线段的中点坐标公式： x x1 x2 y y1 y2
2
2
例2 已知线段AB的中点M的坐标为(3, 1 ) ，端点A的坐标为（4，2）
使得 | AC |
1
y1) (x2
| CB |
,
y2 ) ，设C是线段AB上的一点，
试问：点C的坐标是多少？
2
y
.B
A.
C.
e2
o e1
x
思考：
如图，已知线段AB的两个端点A，B的坐标
分别为, (x1,
使得 | AC |
1
y1) (x2
| CB |
,
y2 ) ，设C是线段AB上的一点，
试问：点C的坐标是多少？
2
y
.B
C.
A.
e2
o e1
x
2、线段的定比分点坐标公式
（1）定比分点 在直线AB上任取一点C，使得AC λ CB ，我们称
线段的中点坐标公式
(2) A(4, 1), B(1, 7), 2
(3) A(1, 3), B(2, 5), 2
2、已知两点A（1，2），B（-1，3），设点C使得
2 (1) A(3, 5), B(1, 4), 3
，求分点C的坐标：
1 AC CB 2
思考：
如图，已知线段AB的两个端点A，B的坐标 分别为, ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ，设C是线段AB上的一点， 使得 | AC | 1 | CB | 试问：点C的坐标是多少？ 2 y .B C . A
.
e2
o
e1
x
思考：
如图，已知线段AB的两个端点A，B的坐标 分别为, ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ，设C是线段AB上的一点， 使得 | AC | 1 | CB | 试问：点C的坐标是多少？ 2 y .B A C.
解
1)
y
点E的坐标为
( 26 , 2 1 (3) ) 2
A B o
(4, 2)
.D .
E C
x
1、线段的中点坐标公式：
x1 x2 y1 y 2 x y 2 2
练习
已知三角形ABC的顶点A，B，C的坐标分别为 （2，3），（-3，4），（-1，-5）， 设D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点，求点D，E，F的坐标 点D的坐标为 (2,
评注：1、点C在线段AB上，则定比 此时称分点C是内分点
0
y
，
B C .
A
e2
o
e1
x
2、线段的定比分点坐标公式
x1 x2 y1 y2 x , y ( 1) 1 1
定比分点的坐标表示
定比分点的坐标表示
哎呀，说起这个定比分点的坐标表示啊，就像咱们四川人摆龙门阵一样，得细细道来，才有味道。
你想象一下，咱们坐在茶馆里，泡上一杯热腾腾的盖碗茶，边喝边聊这数学里的“小秘密”。
首先啊，你得明白，定比分点，这个名字听起来就有点儿玄乎，但其实它讲的是两个点之间，按照一定比例分出来的一个新点。
就像咱们分蛋糕，一人一半或者我多点你少点，总有个比例在那儿。
在数学里，这个比例就是咱们说的“定比”，而那个点，就是咱们要找的“定比分点”。
坐标表示嘛，简单说，就是用数字来给这个点定位。
咱们在平面直角坐标系里头，每个点都有它的横坐标和纵坐标，对吧？那定比分点也不例外，它也有自己的坐标位置。
怎么找呢？就得用到公式了，公式就像是咱们手里的指南针，告诉你方向，让你能准确地找到那个点。
说到这儿，你可能要问了，为啥这个知识点这么重要呢？嘿，这你就问到点子上了。
定比分点的坐标表示，它不仅仅是个数学工具，更是连接几何和代数的桥梁。
有了它，咱们可以更方便地在图形上“动手术”，比如找中点、分割线段，甚至解决一些复杂的几何问题。
而且，它还能培养咱们的逻辑思维和计算能力，让咱们的大脑更灵活，更聪明。
所以啊，朋友们，下次遇到定比分点的坐标表示，别急着头疼，静下心来，用咱们四川人的智慧和耐心，一步一步去攻克它。
就像咱们爬山一
样，虽然路陡，但山顶的风景，绝对值得你付出汗水。
好了，今天咱们就聊到这儿，下次有机会再摆摆其他的数学龙门阵哈！。
定比分点公式
定比分点公式
定比分点坐标介绍
定比分点坐标公式是数学中一种重要的工具，如果应用得当，常常可以巧妙地解决函数、等差数列、解析几何和不等式中的一些数学难题。
和两点间的中点公式一样，定比分点公式是一种给出中点坐标的公式。
定比分点应该理解为：“固定比例分割点的坐标公式”，中点公式是他的一种特殊情况。
我们可以用它寻找三角形的内心、质心和外心。
他是在一个线段中按照固定比例将线段分为两部分。
定比分点坐标公式是：
x=(x1+kx2)/(1+k)
设x轴上点A(x1)，B(x2)，坐标分别为x1，x2，点M(x)分AB为定比k：AM：MB=K
则（x-x1)：（x2-x)=k
去分母得：x-x1=kx2-kx
所以x(1+k)=x1+kx2
所以x=(x1+kx2)/(1+k)
这就是定比分点的坐标公式
类似的方法可以推导平面上的定比分点的坐标公式
设A(X1,Y1),B(X2,Y2),点M(X,Y)分AB为定比k：AM：MB=K
则有公式x=(x1+kx2)/(1+k) , y=(y1+ky2)/(1+k)。
定点分比定理公式
定点分比定理公式
固定点分比定理是一种实用及经典的数学推理方法，它是一种艺术结合科学技术的创新，极为重要。
固定点分比定理更多地运用了数学的模型和实践，来检验问题的准确性和合理性。
简要来说，固定点分比定理是一种确定比例因子的方法，通过固定点和比例尺寸，它可以确定一个点与另一个点之间的距离。
举个例子，当一个点在一个集合变换中不变时，则称该点为固定点，而变换就会影响其他的点，即分比的系数即比例因子。
固定点分比定理的公式是：α：β＝γ：δ。
即：α：β＝γ：δ可以确定α：β与γ：δ之间的比例关系。
比如，固定点A的坐标是(1,1)，B的坐标是(2,2)，则可以得到A：B＝1：1，也就是说从A到B的距离与它们之间的比例关系恒定不变。
固定点分比定理在求解不同称重比例、面积和距离问题中也有重要应用，最关键的是，它可以帮助我们根据一定规律，将复杂的问题简化，使之不仅简单而且易懂。
例如，在求解称重问题时，只要能够根据固定点分比定理求出比例因子，就可以得出各组称重值的比例，从而使之更容易地求解。
固定点分比定理可以帮助我们更清楚地了解几何问题的规律，是一种有用的数学理论。
它为工程应用、经济学及其它科学研究带来了许多好处，值得被更多人探索和研究。
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。